加权平均值及其中误差

加权平均值及其中误差此时当各观测量的精度不相同时，不能按算术平均值（6-17）式和中误差（6-19）及（6-20）式来计算观测值的

最或是值和评定其精度。计算观测量的最或然值应考虑到各观测值的质量和可靠程度，显然对精度较高的观测值，

在计算最或然值时应占有较大的比重，反之，精度较低的应占较小的比重，为此的各个观测值要给定一个数值来比

较它们的可靠程度，这个数值在测量计算中被称为观测值的权（weight）显然，观测值的精度愈高，中误差就愈小，

权就愈大，反之亦然。在测量计算中，给出了用中误差求权的定义公式m2i(i=1,2,…,n)m2i6-21)式中P为观测值的权，卩为任意常数，m为各观测值对应的中误差。在用上式求一组观测值的权Pi时，必须采用同一卩值。当取P=1时，卩就等于m,即U=m，通常称数字为1的权为单位权，单位权对应的观测值为单位权观测值。单位权观测值对应的中误差卩为单位权中误差。当已知一组非等精度观测值的中误差时，可以先设定卩值，然后按（6-21）式计算各观测值的权。例如：已知三个角度观测值的中误差分别为m]=±3〃、m2=±4〃、m3=±5〃，它们的权分别为：P=1卩2/m21P=卩2/m222P=卩2/m233若设卩=±3"则P1=1P2=9/16P3=9/25若设卩=±1"则P1=1/9P2=1/16P3=1/25上例中P1：P2：P3=P'1：P2：P3=1：0.56:O.36。可见，卩值取得不同，权值也不同，但不影响各权之间的比例关系。当卩二±3"时，P1就是该问题中的单位权，血]=±3〃就是单位权中误差。中误差是用来反映观测值的绝对精度，而权是用来比较各观测值相互之间的精度高低。因此，权的意义在于它们之间所存在的比例关系，而不在于它本身数值的大小。对某量进行了n次非等精度观测，观测值分别为厶、L2、…、Ln，相应的权为P「P2、…、Pn，则加权平均值x就是非等精度观测值的最或是值，计算公式为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"PL+PL+•••+PL \PL]x=―1_1 2_2 n_n=6-22)\o"CurrentDocument"P+P+…+P [P]6-22)1 2 n显然，当各观测值为等精度时，其权为P1=P2=^=Pn=1，上式就与求算术平均值的（6-17）式一致。设L「・Ln的中误差为m「・mn，则根据误差传播定律，由（6-22）可导出加权平均值的中误差为P2 P2 P2\o"CurrentDocument"M2=1—m2+1m2+ 1 m2[P]21[P]22 [P]2n （6-23）m2

而，由（6-21）式，有Pim2=卩2，代入上式得M2百P+P2+Pn)诵实际计算时，上式中的单位权中误差卩一般用观测值的改正数来计算，其公式为:,I1实际计算时，上式中的单位权中误差卩一般用观测值的改正数来计算，其公式为:,I1Ipvv]『土-—n一16-25)【例】如图6-2所示，从已知水准点A、B、C经三条水准路线，测得E点的观测高程H及水准路线长度*求E点的最或是高程及其中误差。计算见表6-3，计算中的定权公式为Pi=1/Si。表6-3非等精度观测平差计算路线E点咼程H表6-3非等精度观测平差计算路线E点咼程H(m)路线长(km)P=1SV(mm)PVV1527.4594.50.221022.002527.4843.20.31-1569.753527.4584.00