应用不变量化简二次曲线的方程

§5.7应用不变量化简二次曲线的方程1.不变量与半不变量二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为（1）设在直角坐标变换(5.6-3)下，曲线方程(1)的左端变为那么多项式也是二元二次多项式，它的每一个系数都可以用多项式的系数和坐标变换(5.6-3)的系数表示.

定义5.7.1由的系数组成的一个非常数函数，如过经过直角坐标变换(5.6-3)，

变为时，有那么这个函数叫做二次曲线(1)在直角坐标变换(5.6-3)下的不变量.

如果这个函数的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线(1)在直角坐标变换下的半不变量.

定理5.7.1二次曲线(1)在直角坐标变换下，有三个不变量,与一个半不变量：证

因为直角坐标变换(5.6-3)总可以分成移轴(5.6-1)与转轴(5.6-2)两步来完成，因此本定理的证明,也就分成移轴与转轴两步来完成.

先证明在移轴(5.6-1)下，不变，而一般要改变.

根据(5.6-6)知，在移轴下，二次曲线(1)的二次项系数不变.所以而上面的第三个等式是由第三列减去第一列乘以,第二列乘以而得到的，第四个等式是由第三行减去第一行乘以，第二行乘以而得到的.

在移轴下一般是要改变的，例如

，它的，而通过移轴(5.6-1),

变为而这时

现在我们来证明在转轴(5.6-2)下，与都不变.

对于与只要考虑方程的二次项系数就够了，根据(5.6-7),在转轴下有：利用三角函数关系(2)(2)可化为：现在来证明在转轴下也不变.因为而在转轴下，刚才已证得不变，即

，且在转轴下二次曲线的方程的常数项不变，所以又有，因此将(5.6-7)代入，化简整理得同理可得所以最后我们来证明在转轴下也是不变的，因为定理证毕.定理5.7.2

当二次曲线(1)为线心曲线时，在直角坐标变换下是不变量.证首先证明当线心曲线的方程具有简化方程时不变，因为是半不变量，所以只要证明它在移轴下不变.在移轴(5.6-1)下，的左端变为而

其次，如果经过移轴(5.6-1)变成

,那么反过来经过移轴(5.6-1`)就变成,所以当线心二次曲线通过移轴其方程能化成时，那么不变.

现在设线心二次曲线经过任意的直角坐标变换变成，

我们来证明

因为为线心二次曲线，因此总存在直角坐标变换把变成左端,

因此反过来也一定可以通过之交左边变换把的左端变成，

再通过坐标变换把变成，也就是存在一个直角坐标变换把的左端变成，变换的过程，如下图所示：

因此，根据前面已证明的，当通过直角坐标变换把变成的左端时不变，所以有而通过直角坐标变换把的左端变为时，又有所以定理证毕.2.应用不变量化简二次曲线的方程

再定理5.6.1中已经指出，任何一个二次曲线的方程总可以化成三个简化中的一个.

在这里我们将应用二次曲线的三个不变量

与一个半不变量来化简二次曲线的方程.这种方法可以不必求出具体的坐标变换公式，只要计算一下这些不变量与半不变量就可以决定二次曲线的简化方程，

从而可以写出它的标准方程.

现在我们仍然分中心曲线、无心曲线与线心曲线三种情况来讨论.10

中心曲线这时,它的简化方程为因此我们有根据二次方程的根与系数的关系知道,与是特征方程的两根，即分别是二次曲线的特征根.其次又有而所以这样我们就得到：

定理5.7.3如果二次曲线(1)是中心曲线，那么它的简化方程为（5.7-1）其中是二次曲线特征方程的两个根(方程中的撇号已略去).例1求二次曲线的简化方程与标准方程.解因为所以而特征方程的两根为所以曲线的简化方程(略去撇号)为：曲线的标准方程(略去撇号)为这是一个椭圆.20

无心曲线

这时或

（见§5.2习题7）,它的简化方程为因此我们有而所以因此有

定理5.7.4如果二次曲线(1)是无心曲线，那么它的简化方程为（5.7-2）这里的正负号可以任意选取(方程中的撇号已略去).例2求二次曲线的简化方程与标准方程.解曲线的简化方程(略去撇号)为或它的标准方程(略去撇号)为或曲线是一条抛物线.30

线心曲线

这时或(见§5.2习题7),它的简化方程为因此我们有而所以（5.7-3）因此有定理5.7.5

如果二次曲线(1)是线心曲线，那么它的简化方程为(5.7-3)(方程中得撇号已略去).从(5.7-1)，(5.7-2)与(5.7-3)我们又可以得到定理5.7.6

如果给出了二次曲线(1)，那么用它的不变量与半不变量来判断已知曲线为何种曲线的条件是：[1]椭圆:[2]