椭圆的标准方程及其几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质(1)第一定义：平面内与两个定点F、F的距离之和为常数2a(2a>|FF|)的动点P的1222轨迹叫椭圆,其中两个定点F、F叫椭圆的焦点.FFP121212(2)椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常(利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).2.椭圆的方程与几何性质:(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)a标准方程参数关系焦点焦距范围顶点对称性离心率(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)性质22P(x0,y0)与椭圆x2+y2=1(a>b>0)的位置关系:a2b2aba2b2a2b2椭圆上;标分别是(-4,0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点的距离35⑵两个焦点坐标分别是(0，－2)和(0,2)且过(-)x它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为+=1⑵因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为2222y2x2所以所求标准方程为+=1yx235∴可设所求方程+=1，后将点()的坐标代入可求出a，从而求aa242,2∴所求椭圆的方程为：.x∴所求椭圆方程为：+=1(5)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：ABABOCx∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.∴－c－(－10)＝2，故c=8.y2x2∴所求椭圆的标准方程是+=1.程yy (y≠0)(特别强调检验)yyA2A所示的平面直角坐标系，M为重心，则|MB|+|MC|=×3EMMBOCxBOCx圆，故所求椭圆方程为+=1(y≠0)x2x题4。已知x轴上的一定点A(1,0)，Q为椭圆+y2=1上的动点，求AQ中点M的轨迹方程4yx2xQ因为点Q为椭圆+y2=1上的点，QM4M-2OA2x-242223解：设动点M的坐标为(解：设动点M的坐标为(x,y)，则A的坐标为(x,0)B的坐标为(0,y)2y552525B4xyx552525B42525OAx所以点M的轨迹方程是x2+y2=494r＝8r＝8分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，MxMQMPPOQx9练根据条件对一些点进行取舍.依题意得.=，依题意得.=，xx9PF2A2yOF1xPF2A2yOF1x说明：方程x2+y2=1对应的椭圆与y轴有两个交点，而此两交点为(0，－6)与题8．P为椭圆+=1上的点，且P与F,F的连线互相垂直，求P25912xxy500161644444444题9．椭圆x2+y2=1上不同三点A(x,y),B(4,9),C(x,y)与焦点F(4,0)的距离成25911522等差数列，求证x+x=844证明：由题意，得(5+x)+(5+x)＝2(5+4)x+x=844515251222与此椭圆长轴为直径的圆内切b焦半径FP是圆O的直径，1PF2aPFPF则由a2=2=1=OO知，两圆半径之差等于圆心距，2221所以，以线段FP为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切2PF2121PF|的等差中项.212选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题.解：(1)由题设|PF|＋|PF|＝2|FF|＝4121233y43(2)设∠FPF=9，则∠PFF＝60°－θ21FFPFPFPF1OF2xFFPF+PF和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程.2mn①mnmn422解①②得2222243则1+1则1+1=1，①4343①－②，得+=0.x_x4y+y1212343∴直线l的方程为y－1=－(x－1)，4(1)求椭圆方程；(2)求m的取值范围．[解析](1)由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设C:y2+x2=1(a>b>0)a2b22a212〈|(y＝kx＋m得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0(*)|lx1x2＝－3x－2kmm2－1112－2m2m2＝4时，上式不成立；m2≠4时，k2＝4m2－1，容易验证k2>2m2－2成立，所以(*)成立11即所求m的取值范围为(－1，－2)∪(2，1)(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程.(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP=OA+OB，是否存在这lOAPBl存在，试说明理(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j，b=xi+(y－2)j，且|a|+|b|=8，∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8.两边平方，得y(2)∵l过y轴上的点(0，3)，332118k552118k55kk45∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形.4椭圆作业则△MNF2的周长为ABC解析：利用椭圆的定义易知B正确.x2A.B.22x411173yPCAOBxQ3yPCAOBxQ3C.D.2aaaaaa16D长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是[解析]按小球的运行路径分三种情况:x2y21.已知F、F为椭圆+=1的两个焦点，过F的直线交椭圆于A、B两点若1225912ABF4a=20，：AB=82解析：椭圆方程化为x2+y2=1.22 k2焦点在y轴上，则>2，即k<1.k25945225解析：由椭圆方程可得a=5，b=3，c=4，e=，准线方程为x=±=±.5442554解析：利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求．259解析：利用第二定义.案：ac或a、c用同一个量表示.本题没有a解：设椭圆方程为x2+y2=1(a＞b＞0)，F1(－c，0)，c2=a2－b2，aa即－=.∴aaca2b225167则PF+PF+PF+PF+PF+PF+PF=________________1234567[解析]由椭圆的对称性知：PF+PF=PF+PF=PF+PF=2a=35．1726351.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a,b,c的式子“描述”出来(b=c4442圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.la=2c|lc=3129912圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.y424222169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数题21。已知椭圆x2+y2=1(a>b>0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l有且只有一个公共点T共点T，且椭圆的离心率e=．求椭圆方程22由已知a2-b2=3亭a2=4b2①a2212ab2(1)求椭圆的标准方程；(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值。[解析](1)∵点M是线段PB的中点CAB2(2)∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点xoyxBAOxB122若以MN为直径的圆恰好过原点,则OM」ON若以MN为直径的圆恰好过原点,则OM」ON,所以xx+yy=0,1212121212122题24。如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P2(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；(2)设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围。(1，0)x2(2)直线MN的方程为y=k(x+1),设M(x,y),设M(x,y,),N(x,y)111122(y=k(x+1)由〈得(1+2k2)x2+4k2x+2(k21)=0x2+2y22=0∴方程有两个不等的实数根MBN7k2777777综上所述，k的取值范围是(7,0)(0,7)771椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则PA.5B.6