吉林述余市第二实验学校届高三数学下学期3月月考试题B文

PAGE10PAGE11吉林省扶余市第二实验学校2021届高三数学下学期3月月考试题（B）文注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合中至少有2个元素，则（）A． B．C． D．2．若，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．棣莫弗公式（为虚数单位，）是由法国数学家棣莫弗（1667—1754）发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4．若下面的程序框图输出的是30，则条件①可为（）A． B． C． D．5．已知时，不等式恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．6．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心．已知，则角A的最大值为（）A． B． C． D．7．已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是的中点，半径为2，平面截此球所得的截面面积是（）A． B． C． D．8．关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查理实验，受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计的值（如图），若电脑输出的的值为29，那么可以估计的值约为（）A． B． C． D．9．设等差数列和的前项和分别为和，且，若，则（）A． B． C． D．10．对任意，用表示，中的较小者，记为．若，，下列关于函数的说法错误的是（）A．函数是偶函数 B．方程有三不等实数解C．函数在区间单调递增 D．函数最大值为1，无最小值11．设为坐标原点，，是椭圆（）的左、右焦点，若在椭圆上存在点满足，且，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象，则不等式的解集为（）A． B．C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数在区间上的最大值是最小值的倍，则______．14．邢台市物价部门对市区的天一城、北国商城、恒大城、家乐园、中北世纪城5家商场的某件商品在7月15号一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格销售量已知销售量与价格之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______．15．已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是__________．16．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列的前项和为，且，．（1），求证：数列是等比数列；（2）设，求证：数列是等差数列．18．（12分）在三棱锥中，平面，，，点在棱上且是的外心，点是的内心，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．19．（12分）某电器企业统计了近年的年利润额（千万元）与投入的年广告费用（十万元）的相关数据，散点图如图，对数据作出如下处理：令，，得到相关数据如表所示：（1）从①；②；③，三个函数中选择一个作为年广告费用和年利润额的回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；（2）根据（1）中选择的回归类型，求出与的回归方程；（3）预计要使年利润额突破亿，下一年应至少投入多少广告费用？（结果保留到万元）参考数据：，．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．20．（12分）已知平面内的两个定点，，，平面内的动点满足．记的轨迹为曲线．（1）请建立适当的平面直角坐标系，求的方程；（2）过做直线交曲线于，两点，若点是线段的中点，点满足，求面积的最大值，并求出此时直线的方程．21．（12分）已知函数．（1）判断的单调性；（2）若方程有唯一实根，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．2020-2021学年下学期高三3月月考卷文科数学（B）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】因为集合中至少有2个元素，所以，解得，故选D．2．【答案】C【解析】设，则在上单调递增，因为，所以，即，可得，所以由“”可以得出“”，若，则，即，因为在上单调递增，所以，所以由可以得出，所以若，，则“”是“”的充要条件，故选C．3．【答案】A【解析】由题意，对应点坐标为，是第一象限角，正弦，余弦都为正数，即对应点的横坐标和纵坐标均为正，点在第一象限，故选A．4．【答案】B【解析】循环前，，，第1次判断并循环，，，第2次判断并循环，，，第3次判断并循环，，，第4次判断并循环，，，第5次判断不满足条件①并退出循环，输出，条件①应该是或，故选B．5．【答案】C【解析】由题意，因为时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对应任意恒成立，则满足，解得或，即的取值范围为，故选C．6．【答案】A【解析】取的中点D，则，，∴，又∵，当且仅当时等号成立，∴，故选A．7．【答案】A【解析】∵正方体的棱长为6，∴正方体对角线为，所以球心到平面的距离，由题得平面截此球所得的截面是圆，又球半径，设截面圆半径为，则，∴，故选A．8．【答案】A【解析】由题意知，100对之间的随机数满足，满足且的点对应的平面区域（如图中阴影部分）的面积为，因为共产生了100对内的随机数，其中能使且的有对，所以，解得，故选A．9．【答案】A【解析】由题意可得，，则，解得，故选A．10．【答案】C【解析】的图象关于轴对称，所以函数是偶函数，故选项A正确；图象与轴有三个交点，所以方程有三不等实数解，故选项B正确；函数在区间单调递减，在区间单调递增，故选项C不正确；当时，取得最大值，没有最小值，故选项D正确，故选C．11．【答案】A【解析】因为为的中点，故，所以，故，故，所以，又，故，故，故选A．12．【答案】A【解析】函数的最大值为2，，在区间上单调，所以，即，，即，，是函数的对称轴，，是函数的对称中心，，和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，当时，取到最大值2，，，当时，，，根据题意可知，，，，解得，．的解集是，故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】，所以，函数在区间上为增函数，由已知条件可得，，，解得，故答案为．14．【答案】10【解析】依题意，，代入回归直线方程得①，根据题意②，解①②组成的方程组得，故答案为．15．【答案】【解析】由直线，即，此时直线恒过点，则直线的斜率，直线的斜率，若直线与线段相交，则，即，所以实数的取值范围是．16．【答案】【解析】设，其中，则，设．①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，当时，，对于函数，该函数的对称轴为直线，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，不合乎题意；②当时，令，可得，列表如下：极小值所以，．（i）当时，即当时，，则，不合乎题意；（ii）当时，即当时，则，此时，即．对于函数，，所以，当时，，，则对任意的恒成立，综上所述，实数的取值范围是，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1），，两式相减，得，即，，，，又由题设，得，即，，∴是首项为3，公比为2的等比数列．（2）由（1）得，，，即，∴数列是首项为，公差为的等差数列．18．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）延长交于点，又是直角三角形的外心，∴，即是的中点，，∴是正三角形，又是的中心，∴是的中点，即．∵平面，平面，∴．∵，∴平面，且平面，∴平面平面．（2）法一：连接，，即求点到平面的距离．∵，∴，又平面，即，∴．在等边中，，有．∴在中，，，，有．由（1）知：平面，由平面，知．在中，，，有．∴，∴综上有．法二：连接，，由，知，∵平面，则，∴．在等边中，，有．（亦可使用正弦定理）在中，，，，有．由（1）知平面，且平面，则．在中，，，有，所以，得．19．【答案】（1）选择回归类型更好；（2）；（3）下一年应至少投入万元广告费用．【解析】（1）由散点图知，年广告费用和年利润额的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，且与呈正相关．所以选择回归类型更好．（2）对两边取自然对数，得，，，则，由表中数据得，所以，所以，所以年广告费用和年利润额的回归方程为．（3）由（2），知，令，得，得，所以，所以（十万元）．故下一年应至少投入万元广告费用．20．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）以，的中点为原点，，所在直线为轴建立直角坐标系，由椭圆定义可知的轨迹为为椭圆，，，，即．（2），设直线，，，，代入得，由于恒成立，则有，，，点到直线的距离，则，当且仅当：，即时取等号，又由于，知，所以面积的最大值为，此时．21．【答案】（1）在上是减函数，在上是增函数；（2）证明见解析．【解析】（1）因为，所以，则，所以，函数在上是增函数，且，所以，当时，；当时，，所以在上是减函数，在上是增函数．（2）设，则，因为是增函数，又，，所以存在唯一的，使得．当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增，所以，．方程有唯一实根，则，且，即，