2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题18三角恒等变换

专题18三角恒等变换

【考点预测】

知识点一.两角和与差的正余弦与正切

①sin(a±')=sinacosf3±cosasin[3；

@cos(a±/?)=cosacos+sin(2siny?；

③tan(a±£)=tana士颉尸；

1+tanatan0

知识点二.二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a；

③须2a=与华；

1-tan-a

知识点三：降次(幕)公式

sinacos«=—sin2«;sin-«=------------;cosa=------------;知识点四：半角公式

.a,1-cosaa,1+cosaasina1-cosa

sin—=±.；cos—=±J——;tan—=----------=-----------.

2V22Y221+cosasina知识点五.辅助角公式

<7sin«+bcosa=^a2+h2sin(a+(p)(其中sin0=-y————,cos0=—ra—,tan^=—).

yla2+h2yla2+h2«

【方法技巧与总结】

1.两角和与差正切公式变形

tana±tan/3=tan(a±4)(1干tanatan尸)；

八，tana+tanZ7tan«-tanZ?,

tana•tan/?=1-----------------=----------------1.

tan(a+0)tan(a-(3)

2.降募公式与升寨公式

.21-cos2a1+cos2a.1.

sina=------------；cos-2a=-------------；sincrcosdz=—sin2a；

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；1+sin2a=(sina+cosa)2；l-sin2a=(sin«-cosa)2.

3.其他常用变式

._2sinacosa2tana_cos2-sin2a1-tan2aasincr1-coscr

sin2a=—---------7-=--------z-；cos2a=—z----------z—=--------z-;tan-=-----------=—:-------

sina+cosa1+tanasina+cosal+tana21+cosasina

3.拆分角问题：(l)a=2~；a=(a邛)_0♦、®a=/3-(j3-a)；③a=g[(a+/7)+(a-0]；

④夕=51(a+Q)_(a_/7)];⑤?+a='_(?_a).

注意特殊的角也看成已知角，如£=工-（工-a）.

44

【题型归纳目录】

题型一：两角和与差公式的证明

题型二：给式求值

题型三：给值求值

题型四：给值求角

题型五：正切恒等式及求非特殊角

【典例例题】

题型一：两角和与差公式的证明

例1.（2022•山西省长治市第二中学校高一期末）（1）试证明差角的余弦公式C<a"：

cos（a-分）=cosacos>0+sinasin（5；

（2）利用公式推导：

①和角的余弦公式Ca+m，正弦公式先+夕）,正切公式兀,m；

②倍角公式片口，C<2"），工2a）.

【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析

【解析】

【分析】

在单位圆里面证明Ge,然后根据诱导公式即可证明Ga+m和Sy.，利用正弦余弦和正切的关系即可证明

Za+m；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.

【详解】

（1）不妨令ah2k乃+0,keZ.

设单位圆与x轴的正半轴相交「点A（l,0）,以x轴非负半轴为始边作角a,6,a-7?,它们的终边分别与单位

圆相交于点6(cosa,sina),4(cos夕,sin/?),尸(cos(a-,sin(a-.

连接AJAP.若把扇形04P绕着点。旋转/角，则点A,P分别与点A，6重合.根据圆的旋转对称性可知，"

与重合，从而，AP=A]P],：.AP=AlPl.

根据两点间的距离公式，得：

[cos(a-一if+sin2(a-力)=(cosa-cos/+(sina-sin^)2,

化简得：cos(a-尸)=cosacosy?+sinasin/7.

当a=2Z;r+/?(Z£Z)时，上式仍然成立.

,对于任意角a、B有：cos(a-p)=cosacos尸+sinasin£.

⑵①公式C(a+m的推导：

cos(2+尸)=cos[a-(-/7)]=cosacos(—/?)+sinasin(-/?)=cosacos/?-sinasiny?.

公式S3间的推导:

sin(a+。)=cosIa+P~—=cosasin尸+sinacos/?

正切公式％+0的推导:

sin(a+/)_sinacos夕+cosasin尸tana+tan/

tan(a+/)=②公式电团的推导:

cos(a+/7)cosacos/3-sincifsin/71-tanatan/?

山①知，sin2a=sin(a+tz)=cosasina+sinacosa=2sin(zcosa.

公式C(2“)的推导:

由①知，cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2a.

公式%a)的推导:

tana+tana_2tancr

山①知，tan2a=tan(a+a)

1-tana-tana1-tan2a

例2.(2022.云南•昭通市第一中学高三开学考试(文))已知以下四个式子的值都等于同一个常数

sin226+cos234->/3sin26cos34；

sin2394-cos221-百sin39cos21°；

sin2(-52°)+cos21120->/3sin(-52jcos112；

sin230+cos230-6sin30」cos30.

(1)试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.

(2)根据(1)的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.

【答案】⑴选第四个式子，5⑵证明见解析.

【解析】

【分析】

⑴选第四个式子，由sin30。=1,cos30。=且即可求三角函数式的值；

22

(2)由题意，设一个角为a,另一个角为60。-。，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平

方和关系化简求值

【详解】

(1)由第四个式子：sin230+cos230->/3sin30cos30-

4444

(2)证明：sin26?+cos2(60-tz)-73sincrcos(60

fiG.-gsina—coscr+^-sincr

a+—costed---sina

22122

=sin2a+』cos2a+—sinacosa+—sin2tz--sinacostz--sin2a=T【点睛】

424224

本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同

角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题

例3.(2022.陕西省商丹高新学校模拟预测(理))如图带有坐标系的单位圆。中，设NAQr=a,ZBOx=j3,

AAOB=a-/3,

【答案】(1)证明见解析；(2)—.

65

【解析】

(1)根据向量的数量积公式即可证明；

(2)根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案.

【详解】

(1)由题意知：|西|=|而|=1,且宓与丽的夹角为a-A，

所以OAOB=Ixlxcos(a-P)=cos(a-[}},

又ON=(cosa,sina),OB=(cos/7,sin/3),

所以OA-OB=cosacos/+sinasin[i,

故cos(a-(3)=cosacos/7+sinasin/7.

/八(兀、口，5.512

(2)兀J且tana=一立，则sina=w，cosa=一耳；

则一夕£(一1'°)，又&£仁,兀)，.,.a_/?w(O,乃)，cos(a-/?)=-1,sin(a-^)=|»

1245363,

cosp=cos[a-(a-/)]=cosacos(a-/)+sinasin(a一夕)=一二x+石亍花【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式,

属于中档题.

例4.(2022・全国•高三专题练习)如图，考虑点A(l,0),片(cosa,sina),多(cos6,一sin令),

P(cos(a+£),sin(a+£)),从这个图出发.

(1)推导公式：cos(a+/7)=cosacos-sinasin；

(2)利用(1)的结果证明：cosacosj3=[cos(a+/?)+cos(a-J3)],并计算sin37.5°-cos37.5°的值.

【答案】(1)推导见解析；(2)证明见解析，)十二

8

【解析】

【分析】

(1)根据图象可知|而「=|匾『，再展开化简，得到两角和的余弦公式：(2)首先令月=-求cos(e-〃)，

再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为sin37.5-cos37.5。=gsin75。=gcosl5。，再根

据两角差的余弦公式化简.

【详解】

(I)因为/}(cosa,sina),7^(cos人一sin0),P(cos(a+/7),sin(a+/?)),

根据图象，可得丽匕丽:即|而而『，

即(cos(a+1)-I)2+sin?(a+/7)=(cos/?-cosa)?+(sinf3+sina)2.

即cos(a+6)=cos[}cosa-sinPsina.

(2)山(1)可得cos(a+/?)=cos/?cosa-sin/?sina,①

cos(a-p)-cosPcosa+sin/?sina(2)

山①+②可得：2cos[icosa=cos(a+0+cos(a-[i)

所以cosPcosa=；[cos(a+4)+cos(a-夕)],所以sin37.5°cos37.5=gsin75=；cos15°cos(45-30)

=^-(cos45cos30+sin45°sin30)=+&【点睛】

乙乙14乙乙乙/O

本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应

用，属于基础题型.

【方法技巧与总结】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数

量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.

题型二：给式求值

例5.(2022•全国•高三专题练习)已知sina=2^,cos(a-〃)=巫，且0<a<芋，0<尸〈芬，则sin"

7v7544

(\

\)

A9屈R1而「屈nVio

35353535

【答案】A

【解析】

易知sin^=sin(a-(a—0)，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cosa和sin(a-0,分别在

sin(a-0=孚和-孚两种情况下，利用两角和差正弦公式求得疝尸，结合月的范围可确定最终结果.

【详解】

.2瓜夜口八3乃八TVr——5

,/sina=—^―<——目0<a<——,/.()<«<—,cosa=vl-sin-a=—.

72447

又,..sin(a一夕)=土-cos?(a一夕)=±.

当sin(a一1)=—时，

sin/?=sin(a-(a-£))=sinacos(a-/7)—cosasin(a-/7)—,

...o<£<?,.•.sin£>0,...sin夕=一等不合题意，舍去；当sin(a-夕)=一，，同理可求得sin0=需,

符合题意.

综匕所述：sinP=———.

故选：A.

【点睛】

易错点睛：本题中求解cosa时，易忽略sine的值所确定的a的更小的范围，从而误认为cosa的取值也有

两种不同的可能性，造成求解错误.

例6.（2020.四川•乐山外国语学校高三期中（文））已知sin[15。-■!）=tan210。，则sin（60。+a）的值为（）

2

ABCD.

-I-4-t3

【答案】A

【解析】

\6

2a

根据题意得到sin（15。-葭）=乎进而得到cos-=-

5°279

sin（60。+a）=sin[90°-（30°-«）]=cos（30°-a）.

【详解】

•/sinl15°-1-j=tan210°,

sin15°-^•卜tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=^,

则COS2115°-£=l-sin2l150-1-6

9

cos（30°-a）=

223

.・.sin（60°+a）=sin[90°-（300-a）]

=cos（30°-a）=^,

故选A.

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.

77771\7

例7.（2。2。・全国•高三专题练习）若8s丁2幻=盛,则sin（x+?的值为（）人]B.

8

c-士;D-4

【答案】c

【解析】

【分析】

利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】

71冗、兀7

•/cos(----2x)=cos[2(--x)]=2cos2(--x)-1=——,

cos(----x)=i-,

64

sin(尤+g=cos《一(x+g]=cos£-x)=±；,

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.

(多选题)例8.(2022・全国•高三专题练习)设sin(夕+工)+sin〃=3里，则sin(p；)=()

623

A.gB.：C.--D.-3

2222

【答案】AC

【解析】

【分析】

利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得

【详解】

依题意sin(£+—)+sin/?="+1>

62

.(Q冗冗、.乃乃、V3+1

sin(/?--+-)+sm^--+-=——，

J乙\JDJ乙

cos(A-?)+｝山("一口+*cos(尸-1)='

1.(吟6+2兀、6+1

^sin/R3--+—-cos(/?--)=——)

sin(£-g卜(G+2)cos(p-令=6+1,②乂尸兀)+,代入

研崂卜8十一升1,

2

(6+1)-sin]/}_%

+=1»

>/3+2

化简得(8+4代卜抽2,_幻_(26+2)

=0,

两边除以石+2,4而2(万一£|+(2-26kin(〃—一6=0,

2sin(万一qj+l2sin("一一百=0,

3

n兀

323

故选：AC

34

例9.(2022.全国.模拟预测(文))已知a,/?e呜,852夕二m，cos(a+y0)=—,则cosa=

【答案］"叵

25

【解析】

【分析】

由a/i鼾,cos(a+〃)=j即可求得sin(c+〃)，用二倍角公式即可求得sin"和cos6,用拼凑角

思想可表示出a=(a+p)-p,用三角恒等变换公式求解即可.

【详解】

1,B.a,btS,,所以sin(a+/?)=:.又因为cos26=l-2sir尸=],解得sin£=@,

因为cos(cr+£)=P_

林2535

________?R

则cosP=-sin2/}=—^―,

故cosa=cos[(a+£)-/7]=cos(a+〃)cos£+sin(a+/?)sin分=±x+-x—="石

555525

故答案为：噜

例10.(2022・上海静安•模拟预测)已知sina+工,则sin2。的值为..【答案】y##0.5

【解析】

【分析】

由倍角公式以及诱导公式求解即可.

【详解】

2Ic31A71T](71T.

,/cos21a+—j=l-2sin|a+—=l-2x—=——cos2a+—=cos一+2。=-sin2asin2a=；故答案

444242

为：3

例11.（2022•江苏泰州•模拟预测）若"4时，〃e）=sin26—cos2。取得最大值，则sin

【答案】叵

10

【解析】

【分析】

首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.

【详解】

/⑻=sin26-g(1+cos2。)=cos2=si的,（2。一夕）-；（其

sin2^--cos2^--sin20--^4T

5

227

中coss=^^，sin*=4),

当〃。)取最大值时，24-夕=1，24=夕+]

sin24=sin(0+四]=cose=拽，cos24=cosf9+三]=-sin<p=—叵

故答案为：叵

10

【方法技巧与总结】

给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成

所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.

题型三：给值求值

oza、Jtan——

例12.(2022•福建省福州第一中学三模)若sina=—1,且“e加三，则------看=()

5I71+tan—

2

A.-B.—C.2D.—2

22

【答案】D

【解析】

【分析】

八.aa八a

2sincos2tan

,.A.aa_2_2__2a

由sina=2sin]cos—=,可解得tan即可求解

2ca20a,

sirr+costan2-+1

222

【详解】

a

2sin-cos—2tan-

•、•aa33

sina=2sin—cos—=——,故222

—a>aoa1S'

225sin--+cos~—tan—+1

222

,a

1—tan—

可解得tan?=或tan^二-3,又ae卜”），故ta吟a=-3故------1=-2

2ia

1+tan—

2

故选：D

7t

例13.（2022•湖北武汉•模拟预测）已知sin--X=7，贝"os2崂=()

4

D・孚

AL.-----

-44

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意得呵工-看的值，再根据cos[2x—1J=l-2sin2

求解即可.

【详解】

因为sin仁7)=-sin,所以sin(x-_1

941

cos(2x-?)=cos[2(1]=l-2sin2(7

兀、X三

X------（故选：B.例14.（2022•湖北•模拟预测）

16,6,8

\7t7t\f71

已知ael-y,—I,且以外。一1=—,则cos2a=()

4

7B.士平

c-iD-T

【答案】D

【解析】

【分析】

71=1•即可解得a的值，cos即可求解

由已知a的取值范围，求出的取值范围，再结合cosa——2a

4

【详解】

3d乃汽匚口、［3冗n7i

因为一彳〈。〈彳，所以——<a~~

22444

又cos(a_?)=g,所以所以《=一5

718

所以cos2a=coscos—=——

62

故选：D

例15.(2022.全国.模拟预测)已知sin'+ajq,则cos(2a一,卜()

A,"B.-争C.矩D.一逑

252555

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.

【详解】

因为sin(?+a)-cos(*-a)=cos(a-?)=",

所以cos(2a_q)=cos2(a_7)=2cos2(a_^1_l=2xG)-1=~~-

故选：B.

例16.(2022•黑龙江•哈师大附中三模(文))已知sin(45o+a)=《，45°<«<135°,则cos2a=()

247

B.C.-D.

252525

【答案】B

【解析】【分析】

首先根据同角三角函数的基本关系求出cos(45o+a)，再利用:倍角公式及诱导公式计算可得;

【详解】

3

解：因为45°vovl35。，所以9()。<二+45。<18()。，又sin(450+a)=g,

所以cos（45。+a）=-J1-sin?（45。+a）=-]

324

所以sin2（45。+a）=2sin（450+a）cos（450+a）=2x-x

25

2424

H[Jsin（90°+2«）=--,所以cos2a=—石

故选：B

例17.（2022•广东茂名•模拟预测）己知sin"看71）=；,则cos（8+"71］=（

)

63

A.4D.B

B.——C-

22

【答案】B

【解析】

【分析】

利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.

【详解】

7171故选：

cos0+-=cos^--+-=-sin］，一看-gB.

362

jr3乃4/.

（多选题）例18.（2022•江苏•高二专题练习）已知一4a4兀，兀&。4――,sin2a——,cos（tz+。）=----,

42510

则()

V10

A.cosa=-------B.sina-cosa=—

105

3冗D.cosacos夕=一#

C.

【答案】BC

【解析】

4

先根据sin2a=g,判断角a的范围，再根据cos2a求cosa；

根据平方关系，判断sina—cosa的值；利用公式cos（尸-a）=cos［（a+/7）-2a］求值，并根据角的范围判断

角夕一。的值；利用公式cos（/?+a）和cos（£-a）,联合求cosacos/?.

【详解】

jr7T

①因为乃，所以5工24〈2万，

4TC冗71

又sin2a=w>0,故有—<2a<7r,

42

3冬故A错误;

解出cos2a=—二=2cos2a-1=>cos2a=—=>cosa=

55

②(sina-cosaf=l-sin2a=(,

/冗

由①知:—4<,a<­，所以sina>cosa,

42

所以sina-cosa=正故8正确;

5

③由①知：fvawg,而乃孝，所以苧4。+642万，

4224

又cos(6z+夕)=<0，所以Ka+/,

解得sin(a+,)=_~~，

印、।g、「/小。】四r31/7夜14&

所以cos(尸_a)=cos[(a+/)_2a]=_-j^x(_wJ+[-Jx-=-

TF7T

又因为S宁4a+尸4苓，-7r<-2a<-^,

TT

所以7—4，有"—a=故C正确；

44

厂正正

④山cos(a+J3)=-=>cosacosyff-sinasinp=---,

山③知，cos(/?-a)=cosacos/+sinasin/=一,

两式联立得：cosacos4=-噜，故。错误.

故选：BC

【点睛】

4

关键点点暗：本题的关键是三角函数恒等变形的灵活应用，尤其是确定角的范围，根据三角函数值sin2a=g,

确定542a4万，目.cos（a+0=-*<O,进一步确定与4a+夕4与，这些都是确定函数值的正负，以

及角的大小的依据.

【方法技巧与总结】

给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角

相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用己知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结

论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,

并根据这些关系来选择公式.

题型四：给值求角

例19.（2022•全国•模拟预测）已知m<a<M，4国哈sina-^+4si哈8s导。网限=收

63

贝IJ”____

【答案】］

【解析】

【分析】

由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出sin（a-£）=sin*,再由正弦函数的性质结合?<a<三得出a.

【详解】

5/3-tan71-6cos"-sin三

由题知氐in_______151515即

A.717T

4sin7r4sincos

151515

3.2万2万

2sin——cos——

,B|J2sin(——11

2sina----+——iV-即

I36.L7t

2sin2"sin——

1515

.[71\ITT.(7T2TT\.WK411乃…「TC1\7V…e、i_

sma----=cos—=sin-----------=sin-------,则a-----=-----+2Avru攵a-----F------=4+2%4,ZeZ.因为

I6)15U15J30630630

7T27rr\万冗乃11乃...z,।87r

~<a<~^所以。<a-丁<彳，所以。-T=V，解得a=77・

636263015

故答案为：

例20.（2022•河南・南阳中学高三阶段练习（文））已知sin（?-a卜-日,sin（弓+〃卜*,且

a年）匹（吟｝求a”的值为.

【答案】:TT##:1兀【解析】

44

【分析】

注意到a-〃="-（?-a+,利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意尸范围的确定.

,注意到

+,+不妨记

一小，于是

71子3万+尸，Ssin(«-^)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx,而工£(一手0卜inx=

x=：4_a，y4

cosx=2叵（负值舍去），又ye（包/],siny=典，则cosy=-亚（正值舍去），于是计算可得:

514）1010

sin（a-sin（x+y）=sinxcosy+sinycosx=>而a-£e（0,,）,于是

故答案为：

71

/\sina-sin——

例21.（2022•河北石家庄•一模）已知角。［。仁），tan-^=--------------贝!ja=.

'）coscr+cos一

12

7T

【答案】V

4

【解析】

【分析】

兀

sina-sin—（、

化简tan唳=----------+即可得到sin《=sina*,再根据a的范围，即可求出结果.

cosa+cos—1）

12

【详解】

兀7T7T

sina-sinsin—sina-sin

TC12

tan—=---------------12=12

12兀兀71

cosa+coscos——cosa+cos—

121212

.It（兀、7C（..兀）兀.兀7171Tl71

sin—Icosa+cos—=cos—sinsin—sin—cosa+sin—cos——=cos—sina-cos—sm—

12J12112；121212121212

.7171兀.兀71.71

sin—cos—4-cos—sin—=cos—sincr-sin—cosa

121212121212

，sin*n（"部.小唱,兀兀5兀］

a-----GmJ

12

兀71...TlTI71

—=a----,则。=—I—=—.

6121264

故答案为：

7C

例22.（2022•上海市大同中学高三开学考试）若ae（O,不），且cos2a=sin~~a,则。的值为.

【答案】:或工

【解析】

【分析】

根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得(cosa+sina)(cosa-sinez)=—(cosa-sina),分类讨论

当cosa-sina=0、cosa-sinaw0时的情况，结合a£(0,冗)和辅助角公式计算即可.

【详解】

由题意知，

cosla=sing-a)则cos2a-sin2a-(cosa-sina),

正

即(cosa+sina)(cosa-sina)=——(cosa—sina),

2

当cosa-sina=0时，cosa=sina,即tancr=1,

由。£(0,乃)，得a=工；

4

当cosa-sinawO时，cosa+sina=—,

2

所以>/2sin(a+—)=,即sin(a-\—)=—,

4242

山。£(0,左)，得a+£c(f，m)，所以二+£=¥，得a==.

4444612

故答案为：g或二例23.(2022・全国•高三专题练习)若sin2a=^^,sin(/?-a)="◎,且aw-,

412