2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题02常用逻辑用语

专题02常用逻辑用语

【考点预测】

一、充分条件、必要条件、充要条件

1.定义

如果命题“若〃，则4”为真(记作p=q),则〃是夕的充分条件：同时q是p的必要条件.

2.从逻辑推理关系上看

(1)若〃=4且44p,则p是q的充分不必要条件；

(2)若p%q且q=>p,则〃是q的必要不充分条件；

(3)若p=q且q=>p,则p是q的的充要条件(也说p和q等价)；

(4)若〃Aq且44p,则p不是q的充分条件，也不是q的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p=q,则〃是q的充分条件，同时q是〃的

必要条件.所谓"充分”是指只要p成立，q就成立；所谓“必要”是指要使得p成立，必须要q成立(即如果q

不成立，则“肯定不成立).

二.全称量词与存在童词

(1)全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“V”表示.

含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有p(x)成立"可用符号简记

为“VxeM,p(x)”，读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(2)存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个''在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“于‘

表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题‘'存在M中的一个与，使p(x0)成立''可用符号

简记为“mXoeM,P(Xo)”，读作“存在M中元素％,使p(x0)成立“(存在量词命题也叫存在性命题).

三.含有一个量词的命题的否定

(1)全称量词命题p：VxeA/,p(x)的否定-y?为三/eM,->p(x0).

；7

(2)存在量词命题p：^x06用,/?"())的否定？>为''^6团,一1〃度).

注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【方法技巧与总结】

1.从集合与集合之间的关系上看

设A={x|p(x)},3={x|q(x)}.

(1)若则p是q的充分条件(〃=q),q是p的必要条件；若A物，则p是q的充分不必要

条件，乡是p的必要不充分条件，即〃=><?且与4p；

注：关于数集间的充分必要条件满足：“小=大”.

(2)若BqA,则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

(3)若A=B,则〃与q互为充要条件.

2.常见的一些词语和它的否定词如下表

原词语等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(»(<)(所有)有一个有一个

否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有一个都

(<)(>)两个没有

(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合初中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词

命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x°，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.

(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合用中能找到一个与使之成立即可，否则这个存在量

词命题就是假命题.

【题型归纳目录】

题型一：充分条件与必要条件的判断

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例例题】

题型一：充分条件与必要条件的判断

例1.(2022婀北.模拟预测)“。<11”是“五€风/-2》+"0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

BxeR,x2-2x+a<0,列出不等式，求出从而判断出答案.

【详解】

2

3%GR,x—2,x+(/<0,则要满足A=4—4ci>0,解得：G<\,

因为但a<l=a<11

故"a<17'是"eR,3-2x+"0”的必要不充分条件.

故选：B

例2.(2022.重庆.三模)已知a>0且"1,“函数/(力=相为增函数”是“函数g(x)=x"T在(0,+功上单调

递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】c

【解析】

【详解】

函数〃司=优为增函数，则0>1,此时a-l>0,故函数g（x）=x"T在（0,+8）上单调递增;当g（x）=f在

（0,+8）上单调递增时,，所以0>1,故为增函数.

故选:C

例3.（2022・湖北•模拟预测）在等比数列｛q｝中，已知/020>°，则“%021>%024”是“%022>%023”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.

【详解】

•公比4H0,••42021>“2024，,,。202”>”20204，,..q（l—0）>0,..4（1—q）（l+g+g-）>0,

q（l-q）>0,/.0<^<1,

乂,“2022>“2023，“202（）4>“202应，,•»♦♦4（1一夕）>°，

，4<1且4片。，

0<4<1=4<1且qxO,

即"的）21>。2024”是“生。22>«2023”的充分不必要条件.

故选：A.

例4.（2022.山东•德州市教育科学研究院二模）已知根，〃是两条不重合的直线，口是一个平面，“ua,

贝广加La''是的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立.

【详解】

由线面垂直的性质知，若"z_Lar,"ua,则加_1_"成立，即充分性成立；

根据线面垂直的定义，心必须垂直平面a内的两条相交直线，才有m_La,即必要性不成立.

故选：A.

例5.（2022•四川・宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m,n和平面a,则mln的一个充分条件是（）

A.〃z_La且〃_LaB.〃?〃a且"uac.且“uaD.帆〃a且〃〃a

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案.

【详解】

解：对于A,若机_Lan.〃_La,则/«〃“，故A不符题意；

对于B,若机〃a且“ua,则，“与w平行或异面，故B不符题意；

对于C,若〃?J_arR.〃ua,则机_L〃，故C符合题意；

对于D,若〃?〃a且”〃a,则机与“平行、相交或异面，故D不符题意.

故选：C.

（多选题）例6.（2022•山东临沂•二模）已知a,6eR,则使成立的一个必要不充分条件是（）

A.a2+b2>\B.|a|+|/”>lC.20+2*>1D.-+^->10

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】

对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B,先取特殊值说明不充分，再同时平方证必

要即可；对于C,先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；

【详解】

对于A,当a=b=-l时，满足/+从>1,不满足a+b>l,即标+从>i推不出，+6>1,不充分:

13

当a===时，满足a+人>1,不满足/+从>1,即a+b>l推不出/+店>],不必要；A错误；

对于B,当a=6=-l时，满足|a|+|b>l,不满足a+6>l,即|a1+|勿>1推不出a+b>1,不充分;

当a+A>l时，平方得°2+2a〃+从>1,X（|a|+|/?|）*=|a|2+2|«Z?|+|^|->a2+2ab+b2>1,又|a|+向>0,故

141+1例>1,

即a+b>l能推出|a|+|b|>l,必要；B正确;

对于C,当a=b=0时，满足2"+2">1，不满足。+力>1,即2"+2">1推不出。+匕>1,不充分；

当”+6>1时，由2">0,2’‘>0,2"+2〃22,22%=21*>2yli>1，即1能推出2"+2">1，必要；

C正确；

14b+\4b+\

对于D,当a=6=2时，满足上+一>10,不满足即上+一>10推不出a+b>l,不充分；

2abah

当”=2力=1时，满足a+力>1,不满足±+四>10,即a+b>l推不出，+5>10,不必要；D错误.

abah

故选：BC.

【方法技巧与总结】

1.要明确推出的含义，是〃成立4一定成立才能叫推出而不是有可能成立.

2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围

例7.（2022•湖南怀化•一模）己知。€凡，且“万>。”是“丁>2/’的充分不必要条件，则。的取值范围是

【答案】[2,+co）

【解析】

【分析】先确定d>2x的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，

【详解】

x2>2x等价于x<0或x>2,

而且“x>a”是>2x”的充分不必要条件,则a22.

故答案为：[2,+a））.

例8.（2022•浙江•高三专题练习）若（x-a）2<4成立的一个充分不必要条件是1+丁匚40,则实数a的取值

2-x

范围为（）

A.（一8,4]B.[1,4JC.（1,4）D.（1,4J

【答案】D

【解析】

【分析】

解一元二次不等式、分式不等式求得题设条件为真时对应x的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a

的取值范围.

【详解】

由（工一〃）2<4,可得：a-2<x<a+2；

山l+y^—=咨40,则[（，一；）°一：）,。，可得2<xW3；

2-x2-x[2-XHO

V（x-a）2<4成立的一个充分不必要条件是1+1—40,

2-x

[a-2<2,

・•・〈可得lvaW4.

a+2>3

故选：D.

例9.（2022・山西晋中•二模（理））已知条件P：Q：x>"；,若。是4的充分不必要条件，则实数

m的取值范围是（）

A.[-l,+oo)B.(-oo,-l)C.(-1,0)D.(Y»,T]

【答案】D

【解析】

【分析】

根据充要条件与集合的包含关系可得.

【详解】

因为。是0的充分不必要条件，所以{x\x>m},

1,

故选：D例10.(2022•河南平顶山•高三期末(文))若1+二740是(Xi)?<4成立的一个充分不必要条件,

则实数。的取值范围为()

A.(一8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】

理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系.

【详解】

由题意可得l+£w0=(x-a)2<4,而

]+^—40=北久0=卜_2)(犬-3)4。=2<%43(*_。)2

<4<=>-2<x-a<2<=>a-2<x<a+2

2-x2—x[1-2/0

a-2<2

3<a+2,故】<“"，

故选：D

例H.(2022・全国•高三专题练习(文))若关于x的不等式成立的充分条件是0<x<4,则实数a

的取值范围是()

A.(-co,1]B.(-as,I)

C.(3,+ao)D.[3,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据充分条件列不等式，由此求得〃的取值范围.

【详解】

<a成立的充分条件是0cx<4,贝!|a>0,

|x-l|<«=>1—a<x<l+a,所以《=>a>3.

1111+424

故选：D

例12.（2022・湖南怀化•一模）已知awH,,且“x>〃”是“犬>2/，的充分不必要条件，则〃的取值范围是

【答案】［2,内）

【解析】【分析】

先确定W>2》的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，

【详解】

f>2x等价于x<0或x>2,

而且“x>“”是“V>2x”的充分不必要条件，则让2.

故答案为：⑵+00）.

例13.（2022・重庆・高三阶段练习）若不等式岗<。的一个充分条件为-2<x<（）,则实数〃的取值范围是

【答案】

【解析】

【分析】

根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.

【详解】

由不等式|x|<。,

当时，不等式|x|<”的解集为空集，显然不成立；

当。>0时，不等式可得-a<x<a,

要使得不等式|x|<«的一个充分条件为-2<x<0,则满足{x|-2<x<0}u{x|-a<x<a},

所以-22-“，即aN2

二实数。的取值范围是a±2.

故答案为：a>2.

例14.（2022•全国•高三专题练习（文））已知集合4=卜|丫=/一:x+Lxe(,21，B={x\x+nr>\\.若

“xeA”是“xeB”的充分条件，则实数机的取值范围为.

【答案】1-00，-：D（'e）

【解析】

【分析】

求函数的值域求得集合A,根据“xeA”是“xeB”的充分条件列不等式，由此求得用的取值范围.

【详解】

-33

函数y=f—]x+i的对称轴为x=开口向上，

所以函数y=x2-]x+l在],2上递增，

37r7

当x=：时;乂而=71；当x=2时，％皿=2.所以A=—,2.

416|_16_

B=|x|x+/n2>lj=1^|X>1-AW2J,

由于“XEA”是“xw夕的充分条件，

7Q

所以1一/<AH2>—,

1616

,33

解得加工一一或"2之一，

44

所以加的取值范围是(F，-(=(，3).

故答案为：^-°°>—|D('+00)

例15.(2022・全国•高三专题练习)己知函数Ax)=1°震])的定义域为集合A,关于x的不等式

(x-机2)5-2%+1)4。的解集为民

(1)当机=2时，求(，A)U>；

(2)若尤64是的充分条件，求实数，〃的取值范围.

【答案】(1)(-a]33,+°°)；

(2)(-°o,-2J.

【解析】

【分析】

(1)求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A和8,利用集合的并补运算求(QA)UB.

(2)解含参一元二次不等式求集合B,根据充分条件有AUB,列不等式求，"的范围即可.

(1)

[4-x>0111

由题设得:-二<》<4，即函数的定义域4=(-不4),则QA=(-oo,-二]34+8),

[2x+l>0222

当m=2时,不等式(x-4)(x-3)40得：34x44,即8=[3,4],

所以&A)UB=(ro,-J。[3,”).

(2)

由“一川)(人一2,〃+1)=0得：工=)*或x=2m-l,

又m2-2m+1=（加一1）2>0,即m2>2m-\,

in2>4

综上，。-加2)(工-2"2+1)40的解集为8=[2/"-1,小]，若是的充分条件，则AG8,即〈1,

2〃?-1W—

2

得：m<-2,

所以实数〃?的取值范围是(-%-2].

例16.(2022・天津•汉沽一中高三阶段练习)不等式土七>1的解集是A,关于x的不等式/-4〃a-5加40

x+2

的解集是B.

(1)若，?i=l,求Af]8；

(2)若Au8=8,求实数"，的取值范围.

x2—x—6<0

⑶设。:实数x满足犬-4奴+3标<0,其中。>0,命题4：实数x满足'，C:八.若。是q的必要不充分

X2+2X-8>0

条件，求实数。的取值范围.

【答案】(l)Ac8={x|—14x<l}：

⑵(YO,—l]u[2,+co)

⑶(1,2]

【解析】

【分析】

(1)分别解出解出集合A,B,再求ACIB：

(2)由=B得到AuB.对分类讨论,分zn>0,zn=0和〃?<0三种情况，分别求出m的范围,即

可得到答案；

(3)用集合法列不等式组，求出“的范围.

(1)

由三音>1的解集是A，解得：A={X|-2<X<1}.

当m=l时，f一4如-5>40可化为*2-4x-5W0，解得3={x|-1Vx45}.

所以AcB={x|—

(2)

因为Au8=8,所以AuB.

由(1)得：A={x|—2<x<l}.

当，〃>0时，由彳2_4痛一5m240可解得3={X|T”W5W}.要使AuB,只需{_加<_2，解得：m>2-.

当机=0时，由/一4如一5疗£0可解得B={0}.不符合4U8,舍去;

[—mN1

当初<0时，由炉-4m_5加240可解得3={x|5"?4x4-m}.要使AuB,只需[加]—2，解得：

所以，加工一1或帆N2.

所以实数机的取值范围为：(-8,-1]7[2,+8).

(3)

设关于X的不等式x2-4or+3a2<0(其中〃>0)的解集为M,则M=(a,3a)；

X2—x—6<0

不等式组2c；，、的解集为M则N=(2,3]；

X2+2X-8>0」

要使p是夕的必要不充分条件，只需NM,即I："?解得：1<。42.

[3d>3

即实数。的取值范围(1,2]

例17.(2022.陕西.武功县普集高级中学高三阶段练习(理))已知条件p:A={HY—4"+4〃-140},条

件乡:8二{x|x2-x-2<01.(/=R.

(1)若a=l,求a(AcB).

(2)若9是。的必要不充分条件，求。的取值范围.

【答案】(1)七(Ac8)={乂x<l或r>2}

⑵o，；

【解析】

【分析】

(1)首先求出集合A3,代入”=1,得出A,进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.

(2)由(1)知，得出集合AB,再根据9是P的必要不充分条件转化为集合A是集合5的真子集，即AfB

即可求解.

(1)

^x2-4ax+4«2-l<0-W2a-l<x<2a+l,

所以A=^x\2a-1<x<2a+1},

由W-x-240,得—14XM2,所以B={Y-14X42}

当a=l时，A={x|l4x43}.所以AcB=*|14x42}

所以4，(Ac8)={x|x<l曲>2}；

(2)

由(1)知，A=|x|2a-1<x<2a+1},B={x|-l<x<2},

••.4是。的必要不充分条件，，A18,

所以《"J"：，解得OWaR所以实数”的取值范围为.

[2。一1之一122_

【方法技巧与总结】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假

例18.(2022•黑龙江齐齐哈尔•三模(理))已知,下列四个命题：①Vxe(0,4w),优>",②Wxe(O,l),

abx

log,,x>log/,x,③Hre(0,l),x>x,@3xe(0,/?),a>logax.

其中是真命题的有()

A.®®B.②④C.①②D.③④

【答案】C

【解析】

【分析】

作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判

断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.

【详解】

对于①，由0<人<。<1得：f>l,Vxe(0,-w>),《=(色]>(父=1,则/>加，①正确；

bh'yb)\b)

对于②，Vxe(0,l),log<7-log/?=logY<log1=0,即0<log〃<log/,则log“x>log〃x,②正确；

vv'vbx

对于③，函数y=W(O<"<1)在(0,1)上为减函数，而则“<〃"，即Vre(0,l),③错

误；

xx

对于④，当xw(0,b)时,a<\,•og(1x>logaZ>>logoa=l,Bpa<logox,④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选：C

4

例19.(2022•江西・二模(理))已知命题8：存在与>0,使得与+—44,命题小：对任意的xwR,都

xo

有tan2x==：；,命题P3：存在x°eR,使得3411%+4(：。5号=6,其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

取特值可判断B和P2，由辅助角公式化筒可判断2.

【详解】当/=2时，显然P1成立：当x=（时，可知P2不成立.；由辅助角得3sinx°+4cosx（）=5sin（x（）+g）,

所以所以3sin%+4cos%的最大值为5,所以P?为假.

故选：B

例20.（2022.河南.新乡县高中模拟预测（理））已知函数/（X）和g（x）的定义域均为句,记〃x）的最大

值为M-g（x）的最大值为孙，则使得“M＞%”成立的充要条件为（）

A.Vjqe[a,b],VAJe[a,b],/（不）〉g（七）

B.e[a,b],e[a,b\,/（A,）＞g（x2）

C.e[a,b],Vx,e[a,b],/（与）＞8（々）

D.Vxe[tz,Z＞],/（x）＞g（x）

【答案】C

【解析】

【分析】

先解读选项ABC,D选项是MpM?成立的充分不必要条件，再判断得解.

【详解】

解：A选项表述的是“X）的最小值大于g（x）的最大值；

B选项表述的是/（x）的最小值大于g（x）的最小值；

C选项表述的是,f（x）的最大值大于g（x）的最大值成立的充要条件；

D选项是＞加2成立的充分不必要条件.

故选：C

例21.（2022.浙江.高三专题练习）下列命题中，真命题为（）

A.存在与GR,使得*40

B.直线：_1_力，au平面a,平面。n£=力，则平面a-L£

C.丫=5皿2%+一一（力氏万入2）最小值为4

sinx

D.a＞\,匕＞1是必＞1成立的充分不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

由指数函数y=e"的性质，可判定A为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B为假命题；利用基

本不等式和正弦函数的性质，可判定C为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判

定D为真命题.【详解】

对于A中，由指数函数y=，的性质，可得炉>0恒成立,

所以不存在x°eR,使得*40,所以A为假命题；

对于B中，如图所示，在正方体ABC。-〃中，

设平面ABCQ为平面a,平面ABCD为平面夕，直线AB为直线。，直线BC为直线。,

此时满足。_L力，且au平面a,平向an/=。，但平面a与平间/不垂立，

所以C为假命题.

-4—>2Jsin2x--4—

对于C中，[±]y=sin2x+=4,

sin-xvsin'x

4

当且仅'Isin2x=一时，即sin2x=2时，等号成立,

smx

显然si!?x=2不成立，所以C为假命题

对于D中，由〃>11>1,可得而>1,即充分性成立；

反之：例如：a=g,6=4,此时满足必>1,但。>1力>1不成立，即必要性不成立，

所以a>1,6>1是必>1的充分不必要条件，所以D为真命题.

故选：D

（多选题）例22.（2022•全国•高三专题练习）下列命题中的真命题是（）

A.VxGR,2X-/>0B.VXSN*,（X-1）2>0

C.3xGR,lgx<lD.3xGR,taar=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】

对选项A,根据指数函数值域即可得到A正确；对选项B,当x=l时，不满足题意，故B错误；对选项C,

根据存在x=l,使得lgx<l,故C正确；对选项D,根据正切函数的值域为R,即可判断D正确.

【详解】对选项A,令r=x-l,y=2',

因为xeR,所以y=2'>0,故A正确；

对选项B,当x=l时，（x-l）2=0,故B错误;

对选项C,当x=l时，lgl=0<l,故存在xeR,lgx<l,C正确;

对选项D,因为y=tanx的值域为R,所以存在xeR,使得tanx=2.

故选：ACD

例23.(2022・全国•高三专题练习)下列命题中正确的是(写出正确命题的序号)

⑴可，使/(%)>g(xo),只需/(x)1raJgUL；

(2)Vxw[a,同，/(x)>g(x)恒成立，只需[/(X)-g(x)L>0；

(3)句,巧e[c,d],g(&)成立，只需一(力二乂⑺3；

(4)3^e[a,b],)4匕心,/(x,)>,g(x2),只需〃力而”>g(x)1nhi.

【答案】(2)(3)

【解析】

【分析】

根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】

对于(1),玉()w[a,句，使〃不)>g(毛),只需.f(x)11m>g(x)11m,故(I)错误；

对于(2),Vxe[a,b],/(x)>g(x)恒成立，即〃x)-g(x)>()恒成立，

应需"(x)-g(切向/0,故(2)正确；

对于(3),VA,e[a,b\,Xje\c,d\,，(％)>8仇)成立,

即需/(力所>屋到网，故(3)正确；

对于(4),&w[c,d],/(jq)>g(x,),,

应需/(x)a>g(xL，故⑷错误•

综上，正确的命题是(2)(3).

故答案为：(2)(3).

【方法技巧与总结】

I.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定

例24.(2022•四川成都•三模(理))命题“VxeR,e"+2>0”的否定是().

A

A.3xoeR,e&+240B.VxeR,e+2<0C.3x0eR,e*+2>0D.Vx0eR,

e%+2<0

【答案】A

【解析】

由全称量词命题的否定可知：“VreR,e"+2>0”的否定是“现wR,et»+2<0".

故选：A.

例25.（2022・云南昆明•模拟预测（文））已知命题p：V〃eN*,n2+n>2.则为（）

A.VN",/+〃<2B.£N*,/+〃<2

C.叫)生N*,若+%<2D.叫)eN”,+%<2

【答案】D

【解析】

-f>：3n0eN",欣+”o<2.

故选：D

例26.（2022•江西赣州•二模（文））已知命题"：VxcR,sinx+cosA：>V2，贝!I-/7为()

A.VxeR,sinx+cosx<-72B.玉？R，sinx4-cosx<V2

C.VxgR,sinx+cosxc也D.玉eR，sinx+cosx<v2

【答案】D

【解析】

命题P：VxeR,sinx+cosx*血的否定是：SxsR,sinr+cosx<A/2-

故选：D.

例27.（2022•辽宁•建平县实验中学模拟预测）命题“*«0,e），的否定是（）

-1

A.G(0,-KO),lnx0<x0B.3XQe(0,+oo),In.%-1

C.Vxe(0,4-co),\nx<x-lD.Vx^(0,+oo),lnx>x-l

【答案】c

【解析】

由存在量词命题的否定知原命题的否定为：Vx«0,+8）,lnx<x-l.

故选：C.

例28.（2022•山东潍坊•二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程

x"+/=z"没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁•怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，

则费马大定理的否定为（）

A.对任意正整数"，关于x,y,z的方程x"+y"=z"都没有正整数解

B.对任意正整数〃>2,关于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一组正整数解

C.存在正整数“W2,关于x,y,z的方程x'+y"=z"至少存在一组正整数解D.存在正整数〃>2,关于x,

y,z的方程/+y"=z"至少存在一组正整数解

【答案】D

【解析】

【分析】

根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可

【详解】

命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；

故只有D满足题意；

故选：D

例29.（2022・全国•高三专题练习（文））己知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则力为（）

A.任意一个无理数，它的平方不是有理数

B.存在一个无理数，它的平方不是有理数

C.任意一个无理数，它的平方是有理数

D.存在一个无理数，它的平方是无理数

【答案】A

【解析】

【分析】

根据存在命题的否定的性质进行判断即可.

【详解】

因为存在命题的否定是全称量词命题，

所以9为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，

故选：A

例30.（2022•山西晋中•模拟预测（理））命题P：Vx>0,x2-2x+e2<3,则Y为.

2

【答案】王。^。，x^-2x0+e>3

【解析】

22-

命题P：Xfx>0,x—2x+e<3.则!P为：3x0>0,x；—2x0+e~>3

2

故答案为：3x0>0,xj-2x0+e>3

【方法技巧与总结】

1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.

1.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

例31.（2022.山东青岛•一模）若命题“VxeR,++120”为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<\【答案】B

【解析】

【分析】

结合二次函数的性质来求得。的取值范围.

【详解】

依题意命题“VxeR,ar?+120”为真命题，

当a=0时，120成立，

当。>0时，加+]20成立，

当。<0时，函数、=加+1开口向下，片+120不恒成立.

综上所述，a>0.

故选：B

例32.（2022•浙江•高三专题练习）若命题“存在xeR,使/+2x+相40”是假命题，则实数加的取值范围

是（）

A.（-oo,l]B.（-w,l）

C.（l,+oo）D.[1,+℃）

【答案】C

【解析】

【分析】

该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数用的取值范围.

【详解】

:命题“存在xeR,使Y+2x+机40”是假命题,

则其否定“任意xeR,/+2工+相>0”为真命题，

AA=22-4m<0，

所以机>1.

故选：C.

例33.（2022•江苏・南京市宁海中学模拟预测）若命题4]时，/>帆”是假命题，则加的取值范围（）

A.m>16B.m>1

C.m<16D.m<1

【答案】B

【解析】

【分析】

全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围【详解】

因为“VXG[1,4],*2>〃?，，是假命题，

则其否定“王«1,4],f4机''为真命题

则

而当x=l时，f取得最小值1

所以HN7

故选：B

例34.（2022•黑龙江齐齐哈尔•二模（文））若命题“弘目一1,3],以=（2a-l）x+3—a<0”为假命题，则实数x

的取值范围为（）

A.[—1,4]B,0,gC.[-1,O]Ug,4D.[-l,0）U^,1,4

【答案】C

【解析】

【分析】

等价于“Vae[―1,3],以—-（2a—l）x+3-。之0”为真命题.令g（a）=（x~—2x—l）a+x+3>0.解'不等式

5（-1）>0

即得解.

g⑶20

【详解】

解：命题Fae[--（2a-l）x+3-a<0”为假命题，其否定为真命题,

即“Vae[-1,3"-（勿-l）x+3-a20”为真命题.

令g（a）=ax2-2ax+x+3-a=（x2-2x-\'）a+x+3>0,

则S"即尸+3X+4"

AJU（3）>0W-5X>0

-1<X<4「<.

解得5T八，所以实数X的取值范围为［-l，0］U黑4

x>-^x<03

3

故选：C

例35.（2022•全国•高三专题练习）若“公子,‘，tanxWw”是真命题，则实数小的最大值为.

【答案】Y

【解析】

【分析】

利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.【详解】

7T7T

若“曾€［-；,7］,tanxNm”是真命题，

34

则实数机小于等于函数y=tanx在的最小值，

TT7T

因为函数y=3n%在丁］匕为增函数，

34

所以函数丫=31%在［-£,£］上的最小值为-6,

34

所以加工-6,即实数机的最大值为-石.

故答案为：-百

例36.(2022•全国•高三专题练习)己知定义在R上的函数/心)满足2/?(x)+/?(x)>0且M1)=F，其中

e~

的解集为A.函数f(x)='7+1,g(x)=a'(«>1),若VX|CA,Hr?eA使得/(xj=g(x,),则

ex-1

实数«的取值范围是.

【答案】(1,3)

【解析】

【分析】

构造函数"(X)=〃(》)•e2,,利用导数结合已知条件可得"(x)的单调性,由"⑴=1,不等式〃(x)>±等价

e

于H(x)>"(l),由"(x)的单调性即可求得解集A,再分别求得/(x),g(x)的值域，由己知可得函数/(x)的

值域是函数g(x)的值域的子集，从而可求得实数”的取值范围.

【详解】

解：构造函数H(X)=MX)/K,

所以，'(x)=h(x)•e2'+2/i(x)-e2r=e2A[/?(x)+2/z(x)],

因为定义在R」二的函数〃(x)满足2/?(x)+h(x)>0,

所以〃'(x)>0,所以H(x)在R上单调递增，且出1)=力⑴e?=l,

所以不等式h(x)>可化为〃(x)-e2,>1,即H(x)>H(l),

e

所以X>1,

所以力(x)>9的解集4=(1,+8),

函数/(x)=3_x+]=(x_l)2+x_l+l=x_]+J_+]22j(x_i)._L+]=3,当且仅当x-l=-L,x=0

x-1x-1x-1Vx-\x-\

或x=2时等号成立，在A上仅当x=2时等号成立，所以〃x)在A上的值域为[3,+oo),

g(x)="(a>l)为增函数，

所以g(x)在A上的值域为(a,+。。)，

若VX|WA,A使得/(xj=g(9),

则[3,+»)=(〃,+<»),

所以。<3,又因为

即实数。的取值范围是(1,3).

故答案为：(1,3).

例37.(2022・湖北・荆门市龙泉中学二模)若命题“叫」9，』3%>"，是假命题，则实数，”的取值范围

是.

【答案】[C,+8)

【解析】

【分析】

转化为命题的否定是真命题后求解

【详解】

由题意得“%>eg,g，tanx0<m,'为真命题，故2(tan%)2=tan==G,

_o3J3

故答案为：[百,+8)

例38.(2022•全国•高三专题练习)若“玉:。目-1』，/+2-。>0”为假命题，则实数。的最小值为.

【答案】3

【解析】

【分析】

由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出。的取值范围，进而可求得。的最小值

【详解】

“玉%+2-〃>0”的否定为“心€[-1,1],都有x+2-a40”，

因为“现e[—1,1],+2—a>0”为假命题，

所以都有x+2-a40”为真命题，

所以aNx+2在上恒成立，

所以423,

所以实数。的最小值为3,故答案为：3

例39.(2022•全国•高三专题练习)在①axeR，x2+2ax+2-a=0,②丞，GR,使得区间A=(2,4),B=(a,3a)

满足AnB=0这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

已知命题p：Vxe[l,2],X2-«>0,命题q：,小q都是真命题，求实数a的取值范围.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】

由命题p为真命题可得选择①，可得方程/+2奴+2-4=0有解，借助判别式求解即得；选择②，

由给定条件列