矩阵及其运算

矩阵及其运算第1页，共96页，2023年，2月20日，星期一§2.1矩阵

一、矩阵的定义二、几种特殊矩阵三、同型矩阵与矩阵相等的概念四、小结第2页，共96页，2023年，2月20日，星期一一、矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作第3页，共96页，2023年，2月20日，星期一简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.第4页，共96页，2023年，2月20日，星期一例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.第5页，共96页，2023年，2月20日，星期一例如是一个3阶方阵.二、几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作第6页，共96页，2023年，2月20日，星期一只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0第7页，共96页，2023年，2月20日，星期一（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作第8页，共96页，2023年，2月20日，星期一(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.三、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1第9页，共96页，2023年，2月20日，星期一2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.第10页，共96页，2023年，2月20日，星期一四、小结(1)矩阵的概念第11页，共96页，2023年，2月20日，星期一(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵.第12页，共96页，2023年，2月20日，星期一思考题矩阵与行列式有何区别?第13页，共96页，2023年，2月20日，星期一思考题解答

矩阵与行列式有本质的区别:(1)行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表;(2)行列式的行数和列数必须相同，而矩阵的行数和列数可以不同.第14页，共96页，2023年，2月20日，星期一§2.2矩阵的运算

一、矩阵的加法、减法二、数与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置五、方阵的行列式第15页，共96页，2023年，2月20日，星期一１、定义一、矩阵的加法、减法设有两个矩阵将矩阵与的和记作，规定为第16页，共96页，2023年，2月20日，星期一2、矩阵加法的运算规律第17页，共96页，2023年，2月20日，星期一1、定义二、数与矩阵相乘第18页，共96页，2023年，2月20日，星期一2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为实数）第19页，共96页，2023年，2月20日，星期一1、定义并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中三、矩阵与矩阵相乘第20页，共96页，2023年，2月20日，星期一例１设例2第21页，共96页，2023年，2月20日，星期一故解第22页，共96页，2023年，2月20日，星期一注意

只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘！！！例如不存在.第23页，共96页，2023年，2月20日，星期一2、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且第24页，共96页，2023年，2月20日，星期一注意

矩阵不满足交换律！！！即：例

设则第25页，共96页，2023年，2月20日，星期一例3

计算下列乘积：解第26页，共96页，2023年，2月20日，星期一例4设解第27页，共96页，2023年，2月20日，星期一3、矩阵相乘的三大特征1、无交换律2、无消去律3、若第28页，共96页，2023年，2月20日，星期一定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵四、矩阵的转置第29页，共96页，2023年，2月20日，星期一2、转置矩阵的运算性质第30页，共96页，2023年，2月20日，星期一例4已知解法1：两矩阵先相乘，然后转置第31页，共96页，2023年，2月20日，星期一解法2：两矩阵分别转置后，再相乘第32页，共96页，2023年，2月20日，星期一3、对称阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等说明第33页，共96页，2023年，2月20日，星期一例5设列矩阵满足证明第34页，共96页，2023年，2月20日，星期一五、方阵的行列式1、定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或2、运算性质第35页，共96页，2023年，2月20日，星期一3、定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵性质证明则称为矩阵的伴随矩阵.第36页，共96页，2023年，2月20日，星期一第37页，共96页，2023年，2月20日，星期一五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式第38页，共96页，2023年，2月20日，星期一

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意

（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.第39页，共96页，2023年，2月20日，星期一思考题成立的充要条件是什么?第40页，共96页，2023年，2月20日，星期一思考题解答答故成立的充要条件为第41页，共96页，2023年，2月20日，星期一§2.3逆矩阵一、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的求法三、矩阵的多项式四、小结第42页，共96页，2023年，2月20日，星期一一、逆矩阵的概念和性质定义

对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵,

则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.使得例设第43页，共96页，2023年，2月20日，星期一说明

若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的若设和是的可逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,即第44页，共96页，2023年，2月20日，星期一定理1

矩阵可逆的充要条件是，且

证明(1)必要性若可逆，(2)充分性第45页，共96页，2023年，2月20日，星期一按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义第46页，共96页，2023年，2月20日，星期一逆矩阵的运算性质第47页，共96页，2023年，2月20日，星期一证明第48页，共96页，2023年，2月20日，星期一证明第49页，共96页，2023年，2月20日，星期一第50页，共96页，2023年，2月20日，星期一例1求方阵的逆矩阵.解二、逆矩阵的求法(伴随阵法)第51页，共96页，2023年，2月20日，星期一同理可得故第52页，共96页，2023年，2月20日，星期一例2求下列矩阵的逆，其中解1）依对角矩阵的性质知：第53页，共96页，2023年，2月20日，星期一依矩阵的逆的定义，必有易知：解2）即第54页，共96页，2023年，2月20日，星期一例3求解设且满足有而第55页，共96页，2023年，2月20日，星期一设求例4其中为矩阵的伴随矩阵.解例5解矩阵方程解第56页，共96页，2023年，2月20日，星期一所以可逆.由，得例6可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明所以可逆.第57页，共96页，2023年，2月20日，星期一例7第58页，共96页，2023年，2月20日，星期一解给方程两端左乘矩阵第59页，共96页，2023年，2月20日，星期一给方程两端右乘矩阵得第60页，共96页，2023年，2月20日，星期一给方程两端左乘矩阵第61页，共96页，2023年，2月20日，星期一得给方程两端右乘矩阵第62页，共96页，2023年，2月20日，星期一例8

设第63页，共96页，2023年，2月20日，星期一第64页，共96页，2023年，2月20日，星期一三、利用逆阵解线性方程组

使用矩阵符号线性方程组写成其中解为第65页，共96页，2023年，2月20日，星期一逆矩阵法与克拉默法则的关系

当线性方程组的系数行列式时方程组的解可以表示为（1）（2）二者有什么关系呢？

第66页，共96页，2023年，2月20日，星期一五、矩阵的多项式与变量x的多项式相对应，可以定义矩阵A的多项式：例13中计算An的方法常被用来计算A的多项式：（1）如果则从而第67页，共96页，2023年，2月20日，星期一（2）如果为对角阵，则

，从而

第68页，共96页，2023年，2月20日，星期一四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在第69页，共96页，2023年，2月20日，星期一§2.4矩阵分块法一、矩阵的分块二、分块矩阵的运算法则三、小结第70页，共96页，2023年，2月20日，星期一一、矩阵的分块

对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为大矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.第71页，共96页，2023年，2月20日，星期一例即第72页，共96页，2023年，2月20日，星期一即第73页，共96页，2023年，2月20日，星期一第74页，共96页，2023年，2月20日，星期一二、分块矩阵的运算规则第75页，共96页，2023年，2月20日，星期一第76页，共96页，2023年，2月20日，星期一第77页，共96页，2023年，2月20日，星期一第78页，共96页，2023年，2月20日，星期一分块对角矩阵的行列式具有下述性质:第79页，共96页，2023年，2