有限元法基础平板弯曲问题详解演示文稿

有限元法基础平板弯曲问题详解演示文稿现在是1页\一共有47页\编辑于星期一（优选）有限元法基础平板弯曲问题现在是2页\一共有47页\编辑于星期一10.平板弯曲问题关键概念C1类板单元C0类板单元非协调板单元协调板单元Ks奇异性条件Ke非奇异性条件DKT板单元有限元法基础3现在是3页\一共有47页\编辑于星期一10.平板弯曲问题有限元法基础4Z

XY中面板的特点：在一个方向的尺度远远小于其他两个方向，中面是平面，只承受横向载荷。现在是4页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础5一.基本方程Kirchhoff假设1）变形前垂直于中面的直线段，变形后依然垂

直于中面，并且忽略它的伸缩变形2）忽略厚度方向的应力，即现在是5页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础6板中任意点的位移表示为三维问题二维问题现在是6页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础7定义广义应变和广义内力广义应力应变关系抗弯刚度现在是7页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础8应力与广义内力的关系平衡方程以中面挠度w表示的微分方程现在是8页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础9边界条件1）固支类边界2）简支类边界3）给定力边界现在是9页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础10现在是10页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础11最小势能原理以上广义应变是挠度w的二阶导数关系，基于此理论的板单元是C1类连续问题。现在是11页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础12有限元列式

设插值函数为

通过泛函取驻值得有限元方程

单元刚度矩阵现在是12页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础13二.非协调矩形板单元

每节点有3DOF，4节点单元共12个节点DOF。

现在是13页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础14插值函数

按广义坐标有限元法，在Pascal三角形中选取12项多项式

现在是14页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础15

现在是15页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础16以节点DOF表示插值函数

表示为矩阵形式

现在是16页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础17以自然坐标表示

现在是17页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础18收敛性检查1）

位移模式代表刚体位移

沿Z向的平移和绕y轴和X轴的转动2）位移模式代表常曲率

满足完备性要求现在是18页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础193）单元间连续性检查

单元边界为x=常数或y=常数，w是三次变化曲线。以2－3边为例，可以由4个参数完全确定。在2－3边的法向导数为

为三次x变化,而在边界上只有2个参数。

法向导数不连续现在是19页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础204）由于在单元间边界上法向导数不连续，所以插值函数是非协调的；5）单元不满足收敛准则，但是可以验证该单元通过补片试验（PatchTest），故当单元剖分不断缩小时，计算结果还是能收敛于精确解。

通过补片试验实际验算现在是20页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础21例:均布载荷下四边固支方形薄板,利用对称性取四分之一板计算现在是21页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础22例:载荷作用下方形薄板,利用对称性取四分之一板计算注：由于是非协调元，位移解并补满足下界条件现在是22页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础23三.3节点三角形非协调板单元共有3×3＝9个DOF三次完备多项式

ijm10项现在是23页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础24插值函数

面积坐标刚体位移常应变现在是24页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础25坐标变换代入节点坐标求出系数，得到形函数

现在是25页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础26位移插值函数的特点

插值函数包含有完备的线性项和二次项，能正确反映刚体位移和常应变；在单元边界上，w是三次变化，可由两端节点的w和w,s唯一确定，w是协调的；在单元边界上，w,n是二次变化的,不能由两端节点的w,n确定，w,n是非协调的。

现在是26页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础27

Irons等已证明如果单元网格是由3组等间距直线产生的，单元能够通过补片试验，并收敛于解析解。现在是27页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础283节点三角板元四.协调单元思路：在边界(如i-j)上寻找校正函数，具有性质1）在全部边界上2）在j-m,i-m边上3)在i-j上，按二次变化，且在中点上取1

单元边界上w,n二次变化非协调元现在是28页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础29插直函数w是非协调元的产值函数,为待定常数。目的：调整使在单元边界中点处的w,n等于两端节点的w,n的平均值，也即使得边界上法向导数线性化，可由两端点的值唯一确定。

现在是29页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础30

的确定线性化要求，在边界中点处原插值函数计算出的各边界中点值原插值函数计算的边界中点平均值现在是30页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础31校正函数可以验证以上函数满足校正函数的要求，即在全部边界上等于零，在i-m和j-m边法向导数为零，在i-j边上二次变化。令现在是31页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础32单元特点单元协调性完全满足随着单元尺寸不断减小，解能单调收敛于精确解有高阶校正函数，要提高数值积分阶次实际计算时，单元往往过于刚硬现在是32页\一共有47页\编辑于星期一10.1Kirchhoff板单元有限元法基础33例：简支方板受中心集中力现在是33页\一共有47页\编辑于星期一协调薄板元列式的其他方法1）组合单元法

将四个三角形单元组合为一个四边形单元，选用特殊插值函数，使之满足连续性要求，并凝聚内部节点2）多节点参数法

引入高阶导数项作为节点DOF，以提高边界的协调性，例如10.1Kirchhoff板单元有限元法基础34现在是34页\一共有47页\编辑于星期一Reissner-Mindlin变形假设

变形前垂直于中面的直线段，变形后仍然保持为直线段，但不在垂直于中面。10.2Mindlin板单元有限元法基础35现在是35页\一共有47页\编辑于星期一广义应变变分原理10.2Mindlin板单元有限元法基础36一般取k=5/6现在是36页\一共有47页\编辑于星期一位移插值10.2Mindlin板单元有限元法基础37现在是37页\一共有47页\编辑于星期一应变-节点DOF矩阵10.2Mindlin板单元有限元法基础38现在是38页\一共有47页\编辑于星期一有限元方程由泛函取极值条件得单元刚度矩阵10.2Mindlin板单元有限元法基础39现在是39页\一共有47页\编辑于星期一边界条件

三种类型：1）2）3）

给定位移属于强制边界条件，给定内力属于自然边界条件10.2Mindlin板单元有限元法基础40现在是40页\一共有47页\编辑于星期一剪切自锁

与Timoshenko梁单元一样Mindlin板元中剪切能量引入后，存在罚因子现象解决办法有减缩积分、假设应变等方法多变量有限元也是常见的处理方法10.2Mindlin板单元有限元法基础41现在是41页\一共有47页\编辑于星期一积分方案目标：保证K非奇异性和Ks奇异性保证K非奇异性的必要条件M单元数；ng高斯积分点数；d应变分量数；N系统的独立DOF数。N＝节点总数×每节点DOF数－给定约束数10.2Mindlin板单元有限元法基础42现在是42页\一共有47页\编辑于星期一对Mindlin板单元，保证K非奇异性的必要条件nb

和ns分别为Kb和Ks的高斯积分点数；db和ds分别为Kb和Ks的应变分量数，db＝3，ds＝2。保证Ks奇异性的必要条件10.2Mindlin板单元有限元法基础43现在是43页\一共有47页\编辑于星期一积分方案10.2Mindlin板单元有限元法