第七节二次型的正定性

第七节二次型的正定性第1页，共23页，2023年，2月20日，星期一§5.7二次型的正定性一、正负定的定义二次型的另一个重要问题是分类问题。对于标准形式的有心二次曲线椭圆及双曲线，前者二次型对于任意一组x,y不全为零或对任意的第2页，共23页，2023年，2月20日，星期一，其值恒大于0，我们称其为恒正二次型或正定二次型。而后者对于不全为零的，其值既可取正值也可取负值，我们称其为不定二次型。我们将上述概念推广到一般情况。第3页，共23页，2023年，2月20日，星期一定义5.8设n元二次型则称f为正定（半正定）二次型。这时称A为正定矩阵（或半正定矩阵）记A>0(或A≥0)

若对任意的x≠0，恒有f>0(或f≥0)若对任意的x≠0，恒有f<0(或f≤0)则称f为负定（半负定）二次型。这时称A为负定矩阵（或半负定矩阵）记A<0(或A≤0)

第4页，共23页，2023年，2月20日，星期一其它情况称二次型为不定二次型A称不定矩阵。所谓不定指存在X≠0有f>0,又存在X≠0有f<0因二次型与实对称矩阵A一一对应，故讨论二次型的正定性与讨论A的正定性是等价的。二。二次型正定性的判别第5页，共23页，2023年，2月20日，星期一设二次型经可逆线性变换变成实二次型，即由故由此可得，如果正定时，故当时，从而，即正定。第6页，共23页，2023年，2月20日，星期一反之，如正定，时，故当时，从而即正定即正定正定。同理负定（不定）负定（不定）。第7页，共23页，2023年，2月20日，星期一总之，二次型经可逆线性变换后正定性是不变的。又因标准形的正定性一目了然，故可利用标准形的正定性来判断原二次型的正定性。显然，对于标准形正定。由此得：第8页，共23页，2023年，2月20日，星期一定理5.10n个变量的实二次型正定的正惯性指数为n（即正项的个数）。又因为实对称矩阵A存在正交矩阵P,使得：其中为A的特征值。故有第9页，共23页，2023年，2月20日，星期一推论1A正定A的特征值全正。又因为，故又得推论2A正定。推论3A正定存在可逆矩阵p，使第10页，共23页，2023年，2月20日，星期一例5.7.1判断二次型的正定性。A的特征值。解方法一：利用定理5.10的推论1，求的特征值为均为正，故A正定，即第11页，共23页，2023年，2月20日，星期一解方法二：用配方法化二次型为标准形令，其正惯性指数为p=2,故正定第12页，共23页，2023年，2月20日，星期一与被判别正定性类似，关于负定性判别有如下结论：1）n个变量的实二次型负定的负惯性指数为n2）n个变量的实二次型负定n个特征值皆小于0；.存在可逆矩阵p使得3）n个变量的实二次型负定第13页，共23页，2023年，2月20日，星期一利用化标准形的方法判正定性是一个间接的方法，一般还比较麻烦。下面我们介绍一个直接利用矩阵的顺序主子式判其正定性的方法。按自然顺序取A的前k行k列组成的k阶行列式称A的k阶顺序主子式。第14页，共23页，2023年，2月20日，星期一定理5.11n阶实对称矩阵A正定A的各级顺序主子式全大于0。即。该定理称霍尔威茨定理。证略。第15页，共23页，2023年，2月20日，星期一n阶实对称矩阵A负定奇数阶顺序主子式小于0。偶数阶顺序主子式大于0。与此对应有：定理5.12

第16页，共23页，2023年，2月20日，星期一例5.7.2判断下列二次型的正定性。解1）的矩阵为，故是负定的。第17页，共23页，2023年，2月20日，星期一2）f的矩阵为，故f既非正定，非也负定。第18页，共23页，2023年，2月20日，星期一例5.7.2取何值，是正定的？

，要使f正定即A正定则必须使且

联立解上面两不等式得：第19页，共23页，2023年，2月20日，星期一例5.7.3证明A正定证：A正定二次型，令代入得：，同理可证如A负定第20页，共23页，2023年，2月20日，星期一例5.7.4实二次型A正定的充分必要条件为：存在可逆矩阵B使得：A=BTB证明：必要性：因A正定，故存在可逆p使得：pTAp=I上式左乘（pT）-1,右乘p-1得：令B=p-1得：A=BTB充分性：因A=BTB，相应二次型为：

第21页，共23页，2023年，2月20日，星期一因B可逆，故对设n维向量，则：，故f正定，即A正定。同理可证：A负定。注：（1）请同学们将上述关于矩阵正负定的判定总结一下（2）大家可否按不同的体系对上述关于矩阵正负定的判定进行证明，以加强推证能力的训练。（3）关于正负定的运算，应用也可总结一下。第22页，共23页，2023年，2月20日，星期一