神奇的数学献给我的学生

神奇的数学献给我的学生第1页，共21页，2023年，2月20日，星期一蒙

娜

丽

莎

达

·

芬奇欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。

莱昂纳多·达·芬奇是意大利文艺复兴时期的画家，也是整个欧洲文艺复兴时期最杰出的代表人物之一。他是一位思想深邃、学识渊博、多才多艺的艺术大师、科学巨匠、文艺理论家、大哲学家、诗人、音乐家、工程师和发明家。他在几乎每个领域都做出了巨大的贡献。后代的学者称他是“文艺复兴时代最完美的代表”，是“第一流的学者”，是一位“旷世奇才”。所有的，以及更多的赞誉他都当之无愧。达·芬奇他一生完成的绘画作品并不多，但件件都是不朽之作。他曾结合绘画研究过光影、明暗、色彩和各种透视现象。《蒙娜丽莎》和《圣母子与圣安娜》是他两幅极为珍爱的作品，

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“余家有茅屋二间。南面种竹。夏日新篁初放，绿荫照人。置一小榻其中，甚凉适也。秋冬之季，取围屏骨子断去两头，横安以为窗棂，用匀薄洁白之纸糊之。风和日暖，冻蝇触窗纸上，冬冬作小鼓声。于时一片竹影凌乱。岂非天然图画乎？凡吾画竹，无所师承，多得于纸窗、粉壁、日光、月影中耳。”郑板桥——平行投影画墨竹郑板桥故居第3页，共21页，2023年，2月20日，星期一第4页，共21页，2023年，2月20日，星期一第5页，共21页，2023年，2月20日，星期一

分形几何与分形艺术我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。

第6页，共21页，2023年，2月20日，星期一什么是分形几何？什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。第7页，共21页，2023年，2月20日，星期一

"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。第8页，共21页，2023年，2月20日，星期一

分形时装设计

第9页，共21页，2023年，2月20日，星期一第10页，共21页，2023年，2月20日，星期一Newton分形

象树枝状

象尘埃一样的结构稳定的固态型第11页，共21页，2023年，2月20日，星期一

《汉书·律历志上》有言：“数者，一十百千万也。”数的观念是人类在生产和生活实践中逐渐形成和发展的。假如没有数，世界必定混乱不堪。观念和符号相结合，便有了数字，有了数字，便能实现数的基本功能——计算。然而，除此基本功能外，数还有其他许多用处。数，极大地丰富了祖国语言。拿成语来说，以“一”打头的就有几百个，带二、三、四、五、六、七、八、九、十的也为数甚多。如：一干二净、二满三平、三从四德、四分五裂、五颜六色……等等。俗话说，物以类聚，人以群分。在聚类、分群方面，数也起着特殊作用。有些植物以数命名，如半支莲、一品红、二叶、三角枫、四照花、五味子、六月雪、七星草、八仙花、九重蒿、十大功劳、百岁兰、千金榆、万寿菊。有些事物以数概括，如世界三大宗教、四大谜、七大奇迹；中国九大名关、十大名茶、十三大名酒。有些名人以数归类，如二乔、三苏、四杰、五霸、六君子；竹林七贤、饮中八仙、香山九老、大历十才子。作家秦牧说：“诗歌中适当引用数字，有时的确情趣横溢，诗意盎然。”在这方面，杜甫的《绝句》颇为后人称奇：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪，门泊东吴万里船。”相传扬州八怪之一的郑板桥，风雪天偶遇一群读书人，触景生情，随口吟道：“一片二片三四片，五六七八九十片。千片万片无数片，飞入芦花总不见。”又传乾隆皇帝下江南，见江中驶过一条渔船，即命大臣纪晓岚以十个“一”字作诗。纪晓岚脱口而出：“一帆一浆一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋。”第12页，共21页，2023年，2月20日，星期一

音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.

——

G.莱布尼茨

音乐是一种必须掌握一定规律的科学，这些规律必须从明确的原则出，这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究.我必须承认，虽然在我相当长时期的实践活动中获得许多经验，但是只有数学能帮助我发展我的思想，照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方.

——拉莫

在西方，从毕达哥拉斯时代开始，人们就认为，对音乐的研究本质上是数学的.就音乐的出现而言，是直觉的，但它的基础是数学.音乐必须有美的音调，美的音调必然是和谐的，希腊人发现，最和谐的音调是由比1：2：3：4确定的.第13页，共21页，2023年，2月20日，星期一

从古希腊起，科学与艺术就是相通的，前者以思想后者以感情表达宇宙物的永恒的秩序。

福楼拜说过，越往前走艺术越是科学化，同时科学越是艺术化，两者在山麓分手，有朝一日终将在山顶重逢。当前，科学与文化的发展有四个特点：一是各门学科的相互交叉与渗透；二是人与自然的融合；三是数学向所有领域的渗透，其中包括社会科学与艺术；四是计算机的渗入，音乐就处在这四个特点为交汇处。第14页，共21页，2023年，2月20日，星期一

是的，哪里有数，哪里就有美。人类对数学的认识最早是从自然数开始的。这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震颤了。

毕达哥拉斯将自然界和和谐统一于数。他认为，数本身就是世界的秩序。他的名言是：凡物皆数。但在一次集会上，一位学者提出了他的疑问：在我结交朋友时，也存在着数的作用吗？

“朋友是你灵魂的倩影，要象220与284一样亲密。”望着困惑不解的人们，毕达哥拉斯解释道：神暗示我们，220的全部真因子1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110之和为284；而284的全部真因子1、2、4、71、142之和又恰为220。这就是亲密无间的亲和数。真正的朋友也象它们那样。毕达哥拉斯第15页，共21页，2023年，2月20日，星期一

学者们为毕达哥拉斯的妙喻折服了，更为这“你中有我，我中有你”的美妙的亲和数惊呆了，震撼了。人们惊叹道：亲和数的关系太微妙了。

在数之中存在着让人叹为观止的景象。就拿最简单的6来说吧，古代意大利曾把它作为“美满婚姻”的象征。因为它恰好等于其所有真因子1、2、3之和。人们称这类数为完数，而6正是其中最小的一个。

这样的关系足以让人惊叹，惊叹之余，我们不禁对隐在宇宙深处的和谐统一之数学美肃然起敬。自然数所具有的美妙性质组成的数论学，曾引无数天才竞折腰。第16页，共21页，2023年，2月20日，星期一

许多人为探寻费尔马大定理、哥德巴赫猜想的奥妙而“三月不知肉味”。费尔马华罗庚与陈景润6＝3＋38＝3＋510＝3＋712＝5＋714＝7＋716＝5＋1118＝7＋1120＝7＋13哥德巴赫猜想不定方程

没有正整数解费尔马大定理第17页，共21页，2023年，2月20日，星期一

幻方，是数学世界的百慕大三角，也是数学奇珍中最耀目的一颗。最初的魔方阵，是中国所谓神龟背上的法宝――洛书的图形。这是一个三阶幻方，古代人们为它的美妙与神秘所吸引，甚至曾把它作为护身符挂在身上。而后人们又找到了“美妙方”、“超魔方阵”，以及令人叹为观止的双料幻方。而形式上也从平面正方图形扩展为多角形图、立体图、圆图，花色满目，美不胜收。而对幻方工作进行得愈深入，研究得愈细致，它的奇巧特点就愈见其层出不穷，它所呈现出的美也就越令人震颤。

据说很早以前，夏禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"。

第18页，共21页，2023年，2月20日，星期一1·9＋2＝11

12·9＋3＝111

123·9＋4＝1111

1234·9＋5＝11111

12345·9＋6＝111111

123456·9＋7＝1111111

1234567·9＋8＝11111111

12345678·9＋9＝111111111

123456789·9＋10＝1111111111

9·9＋7＝88

98·9＋6＝888

987·9＋5＝8888

9876·9＋4＝88888

98765·9＋3＝888888

987654·9＋2＝888888

9876543·9＋1＝8888888

98765432·9＋0＝88888888

1·1＝1

11·11＝121

111·111＝12321

1111·1111＝1234321

11111·11111＝123454321

111111·111111＝12345654321

1111111·1111111＝1234567654321

11111111·11111111＝123456787654321

111111111·111111111＝12345678987654321

9·9＝81

99·99＝9801

999·999＝998001

9999·9999＝99980001

99999·99999＝9999800001

999999·999999＝999998000001

9999999·9999999＝99999980000001

第19页，共21页，2023年，2月20日，星期一

这些，就是普通的自然数所体现的无穷花样中的一部分。而无穷尽的数正象辽阔的海洋，那大海深处蕴含着一个五彩缤纷的世界。当你畅游其中时，你会为这无垠海洋中数不尽的奇珍的美而陶醉，甚而你也许会有幸步入龙宫，见到更加奇伟怪丽、五彩斑斓的景象，进入数学海洋深处的殿堂，一窥数学的美境。这时，你肯定会与普洛克拉斯产生共鸣，而由衷赞叹一声：啊，哪里有数，哪里就有美。

审美实践告诉我们，人们对美的感受都是直接由形式引起的。但数学的形式美还不单纯表现在自然数所表现的这些许花样上，和谐的比例与优美的曲线或图形都能给人以强烈的形式美的享受。第20页，共21页，2023年，2月20日，星期一

和谐的比例中最负盛名的是为开普勒称为欧氏几何学两颗明珠之一的黄金分割。它成为人们普遍喜爱的美的比例，并为广泛应用。艺术家利用它塑造了令人赞叹的艺术珍品，科学家利用它创造了丰硕的科技成果。象征黄金分割的五角星在欧洲也成为一种巫术的标志。这神圣的比例值也被抬高了身价，而被