一阶微分方程的初等解法及其应用

本文格式为Word版，下载可任意编辑——一阶微分方程的初等解法及其应用一阶微分方程的初等解法及其应用

摘要:本文介绍一阶微分方程的初等解法及其若干应用,把微分方程的求解问题化为积分问题,应用到实际中.用理论指导实践,由抽象总结出具体规律,加深对所学知识的理解.

关键词:变量分开方程;恰当微分方程;常数变易法;积分因子.

TheSolutionofFirst-orderDifferentialEquations

Abstract:Thisarticlefocusesonthesolutionoffirst-orderdifferentialequationsanditsseveralapplications,throughdifferentmethodstosolvethisimportanttechnologyfortheapplicationofintegration.Theoriestoguidepractice,Fromtheabstractintoconcretelaws,soastoenhancetheunderstandingoftheknowledge.

Keywords:separableequations;exactequations;constantvariation;integratingfactor.

引言

一阶微分方程的解法与好多,而且技巧性也很强,本文仅介绍了一些简单的方法和其应用.如变量变换法,常数变易法,恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.

1.变量分开法

1.1变量分开方程的解法形如

dydx?f(x)?(y)（1）

的方程,称为变量分开方程,这里f(x),?(y)分别是x,y的连续函数.

假使?(y)?0,我们可将（1）改写成

dy?f(x)dx,

?(y)1

这样,变量就\分开\开来了.两边积分,得到

??(y)??这里我们把积分常数c明确写出来,而把?dydyf(x)dx?c.（2）

?(y),?f(x)dx分别理解为

1?(y),f(x)的原

函数.常数c的取值必需保证（2）有意义,如无特别声明,以后也作这样理解.

把（2）理解为

y,x,c的隐函数关系式?(y,x,c)?0或

y的

x,c函数关系式

y?y(x,c).微分（2）两边,知对任意常数c,由（2）所确定的函数关系式y?y(x,c)满

足（1）,因而（2）是（1）的通解.

因（2）式不适合?(y)?0的情形.但假使存在y0使?(y0)?0,则直接验证知y?y0也是（1）的解.因此,还必需寻求?(y)?0的解y0,当y?y0不包括在方程的通解（2）中时,必需补上特解y?y0.1.2变量分开法的应用

例1求一曲线族,使它的切线介于坐标轴的部分被切点分成相等的两部分.解设所求的曲线方程为y?y(x),过曲线上任一点P(x,y)的切线交ox轴于A点,交oy轴于B点.由题意,?yxP为的AB中点,不妨设A(2x,0),B(0,2y),则切线的斜率为

dydxdydx,另一方面,曲线在P点的斜率为,因此

??yx,

将变量分开,得到

dyy??1xdx,

两边积分得

lny??lnx?c1.

因此方程的通解为xy?c,即得所求的曲线族为xy?c,这里c为任意常数.

2

1.3可化为变量分开方程的类型这里只是介绍一种简单的情形.形如

dydx?g(yx)（3）

的方程,称为齐次微分方程,这里g(u)是u的连续函数.

作变量变换

u?即y?ux,于是

yx（4）

dydx?xdudx?u（5）

将（4）,（5）代入（3）,则原方程变为

xdudx?u?g(u).

整理后,得到

dudx?g(u)?ux.（6）

方程（6）是一个变量分开方程.可按分开变量的方法求解,然后代回原来的变量,便得方程的解.

1.4可化为变量分开方程的一类方程的应用

例2xy??y?xtanyx.

解将方程改写成

dydx?yx?tanyx,

这是齐次方程.作变换y?xu,代入原方程得到

u?xdudx?u?tanu.

即

cotudu?dxx(sinu?0).

两边积分得

3

sinu?cx,

代回原变量,得通解sinyx?cx.此外,方程还有解sinu?0,它包含在通解中.

2.线性微分方程与常数变易法

2.1常数变易法一阶线性微分方程

dydx?P(x)y?Q(x)（7）

其中P(x),Q(x)在考虑的区间上是x的连续函数.若Q(x)?0,（7）变为

dydx?P(x)y,

（8）

（8）称为一阶齐次线性微分方程.若Q(x)?0,(7)称为一阶非齐次线性微分方程.（8）是变量分开方程,它的通解为

?y?ce

P(x)dx(9)

这里c是任意常数.

现在探讨非齐次线性微分方程(7)通解的求法.

不难看出,(8)是(7)的特别情形,可以设想:在(9)中,将常数c变易为x的待定函数c?x?.令

y?c(x)e?P(x)dx?10?

微分之,得到

dy?dc(x)dxe?P(x)dxdx?c(x)p(x)e?P(x)dx(11)

(10),(11)代入(7),得

dc(x)dxe?P(x)dx?c(x)p(x)e?P(x)dx?c(x)p(x)e?P(x)dx?q(x),

即

dc(x)dx?q(x)e??P(x)dx,

积分后得到

c(x)?

?e??P(x)dx?,q(x)dx?c4

?是任意常数.将上式代入(10),得到方程(7)的通解这里c??P(x)dxP(x)dx??).(12)y?e(?eq(x)dx?c这种将常数变易为待定函数的方法,我们寻常称为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换的方法,通过变换(10)可将方程(7)化为变量分开方程.

若方程不能化为(7)形式,可以将x看作是y的函数,再看是否为(7)形式.2.2常数变易法的应用例3

dydx??2xy?4x.

dydx?2xy?0解首先求线性齐次方程的通解.分开变量得

dyy??2xdx(y?0).

两边积分,化简后得到

y?ce?x2.

再应用常数变易法求线性非齐次方程的通解,为此在上式中把常数c变易成待定函数

c(x).令

y?c(x)e?x2.

代入原方程,得到

c?(x)e?x2?2xc(x)e?x2??2xc(x)e?x2?4x,

化简得

c?(x)e?x2?4x,

上式两边积分得

c(x)?2ex2?c,

于是原方程的通解为

y?ce?x2?2.

3.恰当微分方程与积分因子

5

3.1恰当微分方程我们可以将一阶方程

dydx?f(x,y)

写成微分的形式

f(x,y)dx?dy?0

或把x,y平等对待,写成下面具有对称形式的一阶微分方程

M(x,y)dx?N(x,y)dy?0(13)

这里假设M(x,y),N(x,y)在某矩形域内是x,y的连续函数,且具有连续的一阶偏导数.这样的形式有时便于探求方程的通解.

假使方程(13)的左端恰好是某个二元函数U(x,y)的全微分,即

M(x,y)dx?N(x,y)dy?dU(x,y)??u?xdx??u?ydy(14)

则称(13)为恰当微分方程.

简单验证,(13)的通解就是U(x,y)?c,这里c是任意常数.3.2恰当微分方程解法的应用例4

yxdx?(y?lnx)dy?o.

3解这里

M(x,y)?yx,N(x,y)?y?lnx,

3于是

?M(x,y)?y?1x??N(x,y)?x.

因此这是一个恰当微分方程.把方程重新分项组合,得到

(yxdx?lnxdy)?ydy?0,

3即

d(ylnx)?d14y?0.

4所以方程的通解为

6

ylnx?14y?c.

43.3积分因子

假使存在连续可微的函数u?u(x,y)?0,使得

u(x,y)M(x,y)dx?u(x,y)N(x,y)?0

为一恰当微分方程,即存在函数v使

uMdx?uNdy?dv(15)

则称u(x,y)为方程(13)的积分因子.这时v(x,y)?c是(15)的通解,因而也就是(13)的通解.

3.4积分因子解法的应用

例5(2xy4ey?2xy3?y)dx?(x2y4ey?x2y2?3x)dy?0.解M?2xy4ey?2xy3?y,N?x2y4ey?x2y2?3x,

?M?y?8xye?2xye?6xy?1.3y4y2?N?x?2xye?2xy?3.

4y2所以

?M?y??N?x??4y,?M

得到方程的积分因子为

41?dy?u(y)?ey?4.

y原方程可化为

(2xe?y2xy?1y)dx?(xe?32yxy22?3xy4)dy?0.

将原方程重新分项得

(2xedx?xedy)?(y2y2xydx?xy22dy)?(1y3dx?3xy4dy)?0,

7

即

d(xe?2yxy2?xy3)?0.

因此,方程的通解为

xe?2yxy2?xy3?c.

另外,y?0也是方程的解.

4.一阶隐式微分方程与参数表示

一阶隐式微分方程的一般形式可表示为F(x,y,y?)?0.假使能此后方程中解出导数y?,其表达式为y??f(x,y),则可依f(x,y)的具体形状如何而选择前面所介绍的某一方法求解.但假使难以从方程中解出y?或即使解出y?,而其表达式相当繁杂的状况下,则宜采用引进参数的方法使之变为导数已解出的方程类型,这正是本部分探讨的主要思想.这里主要介绍以下四种类型的求解方法:

(1)y?f(x,y?);(2)x?f(y,y?);

(3)F(x,y?)?0;(4)F(y,y?)?0.

4.1可解出y的方程探讨形如

y?f(x,dydx)(16)

的方程的解法.这里假设函数有连续的偏导数.

引进参数

dydx?p,则(16)变为

y?f(x,p),(17)

将(17)两边对x求导数,并以

dydx?p代入,得到

p??f?x??fdp?pdx,(18)

方程(18)是关于x,p的一阶微分方程,但它的导数已解出,于是可按前面的方法求出

8

它的解.

若已求得(18)的通解的形式为p??(x,c),将它代入(17)得y?f(x,?(x,c),这就是(16)的通解.

若求得(18)的通解的形式为x???p,c?则得到(16)的参数形式的通解为

?x??(p,c)?y?f(?(p,c),p)其中p是参数,c是任意常数.

若求得(18)的通解的形式为?(x,p,c)?0,则得到(16)的参数形式的通解为

???x,p,c???0?g?f(x,p)

其中p是参数,c为任意常数.4.2可解出y的方程解法的应用

例6y?xy?lnx?(xy?)2.解设

dydx?p,则原方程写为

y?xplnx?(xp)2两边关于x求到导,得

p?dp2dpdxxlnx?plnx?p?2xp2?2xpdx,

化简到

(lnx?2xp)(xdpdx?p)?0,

由此得到

p?lnx?2x或xdpdx??p.

把p?lnx?2x代入(19),得原方程的一个特解

y??14(lnx)2.

由方程

9

(19)

xdpdx??p.

解得p?cx,代入(19),得到原方程的通解

y?clnx?c.

24.3不显含y的方程.形如

F(x,y?)?0(20)

的方程的解法.记p?y??dydx.从几何的观点看,F(x,p)?0代表oxp平面上的条曲线.设把这曲线表为适当的参数形式

?dy?pdx.以(21)代入上式得

x??(t)p??(t)(21)

这里t为参数.再注意到,沿方程(20)的任何一条积分曲线上,恒满足基本关系式

dy??(t)??(t)dt,

两边积分,得到

y???(t)x??(t)dt?c,

于是得到方程(21)的参数形式的通解为

?其中c为任意常数.

例7y?y?2ey?.

x??(t)y??(t)x??(t)dt