信号与系统刚2009年9月4第四章

§4-8系统稳定性分析一、系统稳定的一般概念稳定性是指系统在一个很小的时间间隔内受到一个幅度很小的干扰之后所表现出来的运动形态。如果系统在干扰作用下，系统产生响应最后衰减为零，这种系统为渐近稳定。如果系统在干扰作用下，系统产生响应无界增长，则系统为不稳定。如果系统在干扰作用下，系统产生响应保持在一定界限而不返回到原始工作状态，则系统为临界稳定。稳定性的三种不同情况用下图说明：对系统的干扰实质上是外界对系统提供一个很小的能量，成为系统运动的动力。系统的响应由系统本身决定，即系统函数极点在s平面上的位置决定。一阶极点j二阶极点j系统函数的极零点分布决定h(t)时域特性

根据系统函数的极零点分布可以判定系统的稳定性极点全部位于s平面的左半开平面，系统是稳定的。

极点是分布于s平面的右半开平面或虚轴上的重阶极点，系统是不稳定的。极点中除分布于s平面的左半开平面上的极点外，只要在虚轴上有一对单阶极点或坐标原点有一个单阶极点，则系统为临界稳定。二、系统不稳定的简单判据(稳定的必要条件)若系统特征多项式为：

D(s)=ansn+an-1sn-1+an-2sn-2++a1s+a0

(1)若系统为渐近稳定，则(1)式中：

1、各项系数全不为零；

2、各项系数同号。

例4.4-1已知各系统的特征多项式如下，试判断各系统的稳定性(1)D(s)=s5+3s4+4s3+2s2-5s+1(2)D(s)=7s5+6s4+3s2+2s+4(3)D(s)=(s-2)(s+1)(s+3)(4)D(s)=(s2+1)(s+2)(5)D(s)=(s2+1)2(s+2)(6)D(s)=-s2-2s-1(1)s前的系数为-5，不是渐近稳定(2)缺s3项，不是渐近稳定(3)有一个零点s=2在s平面右侧，不稳定(4)虚轴上有单阶的极点，临界稳定(5)虚轴上有重阶的极点，不稳定(6)渐近稳定解：三、劳斯－赫尔维茨判据判定系统渐近稳定的充分必要条件若系统特征多项式为：

D(s)=a0sn+a1sn-1+a2sn-2++an-1s+an劳斯－赫尔维茨阵列sn

a0

a2

a4

a6

sn-1

a1

a3

a5

a7

sn-2

b1

b2

b3

sn-3

c1

c2

c3

sn-4

d1

d2

d3

s1

e1

s0

f1观察首列元素，若各元素同号，则D(s)=0没有在s平面的右侧的根，系统渐近稳定；若元素符号有改变，则改变的次数是D(s)=0在s平面的右侧根的个数。例4.4-2D(s)=s3+14s2+41s-56求D(s)=0在s平面右侧根的个数。解：劳斯－赫尔维茨阵列

s3141s214-56

s1

b1

s0

c1=45=-56第一列元素符号改变一次，即由45-56，所以D(s)=0在s平面右侧根的个数为1。可能出现的特殊情况1、出现首列为0的情况例如D(s)=s4+s3+2s2+2s+3罗斯阵列s4123s312s203

()当

0时，b1-

，首列元素符号改变两次，

D(s)=0在s平面右侧根的个数为2，所以系统不稳定s1b1

s032、出现某一行元素全为0的情况例如:若系统特征多项式D(s)=s5+s4+3s3+3s2+2s+2劳斯阵列s5132s4132s3000用上一行的元素构造多项式P(s)=s4+3s2+2对P(s)求一次导数,P’(s)=4s3+6s+0

s3

460

s21.52

s10.660s02第一列元素同号，故D(s)=0没有在s平面右侧根，令P(s)=s4+3s2+2=0解得系统临界稳定。例4.4-3图示系统，试分析K对系统稳定性的影响。解：求系统传函H(s)H1(s)Y(s)F(s)H2(s)KX(s)分母D(s)=s3+s2+10(K+1)s+10劳斯阵列s3110(K+1)s2110

s110K0s010若10K>0，即K>0，系统渐近稳定若10K<0，即K<0，系统不稳定若10K=0，即K=0，构造多项式P(s)=s2+10对P(s)求一次导数,P’(s)=2s+0

s120s010第一列元素同号，故D(s)=0没有在s平面右侧根，令P(s)=s2+10=0解得系统临界稳定H2(s)-kU2(s)U1(s)例4.4-4下图所示系统，已知H(s)=U2(s)/U1(s)=2求(1)画出其信号流图；

(2)求H2(s)；

(3)欲使子系统H2(s)为渐近稳定子系统，求k值的范围。解：(1)信号流图为U2(s)H2(s)1111U1(s)-kBAABCC(2)求H2(s)U2(s)H2(s)1111U1(s)-k1=1G2=12=1(3)H2(s)有一个极点，s=k-5，为使系统为渐近稳定系统，则有

k-5<0解得k<5加法器、数乘器和积分器