2023年题库线性代数

行列式

一、选择题

0-11

1.3阶行列式10-1中第二行第一列元素的代数余子式A2产（）（容易）

-110

A.-2B.1

C.-1D.2

01--11

,-1o1-1

2.行列式中第二行第一列元素句的代数余子式42户（）（中档）

1-101

-11--10

A.-2B.-1

C.1D.2

a\2a\32%i2q22a”

=4,则行列式。23=（）（容易）

3.设行列式3a22a23a2]a22

。31〃32〃333a3i3a323a33

A.12B.24

C.36D.48

—3%

a1%3-2a]2

4.设行列式生I022a23=2,则一%2%2-3/3=（）（容易）

a1432。33一。312。32—3〃33

A.-12B.-6

C.6D.12

a1《2《33。"3a]2Ba*

（

5.设行列式。.1022〃23=2,则-a3l-a32一/=）（较难）

a1a32a33〃21_〃3】a22~〃32〃23一033

A.-6B.-3

C.3D.6

abc+aabc

6.设行列式。产a\仄，£>2=囚%。，则Di=(）（容易）

ab

22c2+a2a2hc2

A.0B.D2

C.26D.3D2

xyz2x2)2z

h

7.设行列式4031,则行列式1=(）（难）

1111

A.2

B.l

3

D.§

C.2

3

8.设A为三阶矩阵，且甲=3,贝ij卜34=()(较难)

A.-9B.-l

C.1D.9

9.设A为3阶矩阵，|A|=1,则卜2AT|=()(较难)

A.-8B.-2

C.2D.8

10.设A为3阶方阵，且=4,则卜2A|二()(中档)

A.-32B.-8

C.8D.32

125

11.已知行列式13-2=0,则数。二()(中档)

25a

A.-3B.-2

C.2D.3

kx+z=0

12.若齐次线性方程组＜2x+6+z=0有非零解，则k=()（较难）

kx-2y+z=0

A.-2B.-l

c.oD.2

xi+x2+x3=4

13.已知非齐次线性方程组（玉+/+忍=3无解，则数斫（）

2%+2ax2-4

D.1

二、填空题

111

14,246=（中档）

41636

9876

223242

15.（较难）

233343

1234

20072008

16.（较难）

20092010

123

17.111213=（较难）

101102103

210

18.若131=0,则仁（中档）

k21

l-k-2

19.若=0,则仁（容易）

2k-l

11%-伉„,a,b、

20.已知行列式则I______（容易）

%十%a2-b2a2b2

21.四阶行列式中，项的1。22。43。14的符号是（中档）

22.四阶行列式中具有因子03的1的项为（较难）

3040

23.行列式:111中第4行各元素的代数余子式之和为_______________（难）

（3—1（）（）

53-22

xal237

ya89

24.设Ai2(i=l,2,3,4)是行列式22中元素配的代数余子式,

za3223

wa4296

则7Ai2+9A22+3A32+6A42=

25.设3阶行列式。3的第2列元素分别为1,-2,3,相应的代数余子式分别为-3,2,1,则

£>3=（较难）

kx+y+z=5

26.已知非齐次线性方程组,x+6-z=3有无穷多个解，则1<=

2x-y+z=7

三、计算题

0120

1012

27.计算4阶行列式D=（一般）

2101

0210

abc

28.计算3阶行列式D=a2h2c2（一般）

。+a3b+b3c+c3

112

121

29.计算4阶行列式D=（较难）

1211

211

35-12

-453-3

30.计算4阶行列式列=（较难）

1201

20-34

1234

2341

31.计算4阶行列式D=（较难）

3412

4123

四、分析、证明题

32.（较难）设a、b、c是互异的实数，证明abc0的充要条件是a+b+c=O

a3b3c3

X12+x

33..设/(x)=224，试证明方程f（x）=O有小于1的正根.（较难）

3犬+24-x

%）+2X2+3%3=4

34.问。为什么值时，线性方程组《2/+。工3=2有惟一解？有无穷多解？（较难）

2再+2X2+3%=6

2玉+X2+X3=1,

35.设非齐次线性方程组V2+4/+/=%拟定当入取何值时,，方程组有惟一解、无解、

元］+，

有无穷多解？（较难）

矩阵

一、选择题

1.设二阶矩阵A=/b|,则A*=(

）（易）

(cd)

'-db

A.

、c-a

2.设A与8均为〃可逆矩阵，则下列各式中不对的的是（）（易）

A.（A+B）r=A1'+BrB.（A+B）-'=A''+B-'

C.（AB）-'=B^'A-'D.（AB）f=B'

3.设A与8均为〃x"矩阵，满足=则必有（）（中档）

A.A=0或5=0B.A+B^OC.网=（）或忸|=（）D.网+忸|=0

4.设〃阶方阵A,8,C满足A3C=E,则必有（）（中档）

A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E

5.设A为〃阶方阵，且满足A5=AC,则下列结论对的的是（）（中档）

A.A=OB.BHC,则A=OC.Aw。，则B=CD.同。0,则B=C

6.设A,B,C为同阶方阵，则(ABC)T=()(易)

A.B.。加41C.D./PZ^T

7.设A,B,C为同阶可逆方阵，则（A5C）-'=（）（易）

A.A'B'C'B.C'B'A12

C.C'A'B'D.A'C'B'

8.设A是可逆矩阵，且A+AB=E,则A-i=（）（易）

A.1+BB.E+BC.BD.（E+AB）~'

9.设A是〃阶可逆矩阵，人是不为。的常数，贝I（"）T=（）（易）

A.kA~'B.—A-1C.-kA~'D.-A''

knk

10.设A和B均为〃X”矩阵，则必有（）（中档）

（A）|A+B|=|A|+忸I（B）AB=BA

（C）|AB|=|BA|（D）（A+B）-1=A-|+B-|

二、填空题

,（24nf-13n,u

11.设A=,B=，则3A—2B=（易）

（035）（205）

1T

12.设A=（—1,1,3）,B=（2,—,-1）,则475=（易）

2

13.设A=（：=1）,则当满足时，AB=BA（较难）

14.已知a=（1,2,3）,尸=（1,；,g）,设A=//淇中a，是a的转置，则A"=

'aa1、

15.设A=a\a,则当a满足条件时，A可逆（易）

Ja%

(100、

16.设3阶矩阵A=220,则A*A=（易）

、333,

17.已知〃阶方阵A可逆，贝"A]=,（A*）-：（中档）

18.设A,5均为〃阶矩阵,|A|=2,忸|=—3，则|2A*b|=（难）

19.设矩阵A满足A?+A—4E=O,其中E为单位矩阵，则（A-6尸=（中档）

1-1

20.设矩阵4=,B=A2-3A+2E,^\B-'=(中档)

23

三、计算题

’11rT21、

21.设A=-1118=13-1,求(A-8)(A+8)及(中档)

312,

’137、’-124、

22.设A=—223B=1-3-1,求2A-36和A/B.(中档)

<6-41,、512)

‘123、

23.设A=111

、31L

,1-11、

(1)求Ai；(2)设AX=110求X.（中档）

314,

'010]p-P

24.若AX+B=X,其中A=-111,B=20,求X(较难)

-J卜

<-1o-3>

25.设3阶方阵A的随着矩阵为4*,且|A|=g,求|（3A）T-2A[.（中档）

26.已知AP=~B,其中

'100、‘100、

B=020,P=2-10

〈00-1；(211,

求4及At（难）

四、证明题

27.已知”阶方阵A满足矩阵方程A?—3A—2E=0.证明A可逆，并求出其逆矩阵/T.(中

档)

28.已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得A*=0.试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩

阵的表达式(£为〃阶单位阵).(较难)

29.设A是〃阶矩阵，满足A4,=E(E是〃阶单位矩阵,是A的转置矩阵),同<()，求

|A+/].(较难)

30.设n阶矩阵A和8满足条件A+B=AB.

(1)证明A-E为可逆矩阵；

'1-30、

(2)已知6=210，求矩阵A

02,

向量组的线性相关性

一、选择题

1.设3阶方阵A=[%,%■],其中见«=123)为A的列向量，若

忸忤|因+2a2，%，%卜6,则同=()(较易)

A.-12B.-6C.6D.12

2.设A=\ai,a2,ay],其中a,(i=l,2,3)是三维列向量，若同=1,则

|4a,,2a,-3a2,a3|=()(中档)

A.-24B.-12C.12D.24

3.设向量组a尸(1,2),a2=(0,2),4=(4,2),则()(中档)

A.a,,a2,4线性无关B.夕不能由%,a2线性表达

C.4可由线性表达，但表达法不惟一

D.4可由a”a2线性表达，且表达法惟一

4.设囚,4，L为〃维向量，下列结论对的的是（）（较难）

A.若左乌+网。2+1+£“a"=0’则线性相关

B.若任意一组不全为零的数匕，无2,…&,有Si+%2%+L+（“％产。，则

，，的,L线性无关

C.若线性相关，则对任何一组不全为零的数勺&，…，心有

k9]+k2a2+L+kmam=0

D.若Oa+O%+L+0%,=0,则a”a2，L线性相关

5.下列命题中错误的是（）（较易）

A.只具有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

6.设名,12，。3，%是三维实向量，贝I（）（较易）

A.%,%，。3，。4一定线性无关B.%一定可由4，%，%线性表出

C.%,12，%，。4一定线性相关D.一定线性无关

7.已知向量组囚,。2，。3线性无关,夕线性相关，则（）（较易）

A.四必能由。2,%,夕线性表出B.%必能由四，4£线性表出

C.必能由四,。2,P线性表出D.夕必能由%,。2，%线性表出

8.设〃维列向量组%%，L,4（加＜〃）线性无关,则〃维列向量组凡⑸,L,总线

性无关的充足必要条件是（）（难）

A.向量组%,%L可由向量组4,4L，乩线性表达

B.向量组幺〃2，L,凡可由向量组，％„线性表达

C.向量组四,里1电与向量组尸i，&L，&等价

D.矩阵A=@,a2，L,4,）与矩阵8=（凡4L,凡）等价

9.设向量组（I）a1,a?,L,%可由向量组（II）凡&L应线性表达，则（）（中

档）

A.若向量组（I）线性无关，则Ys；

B.若向量组（I）线性相关，则「＞6；

C.若向量组（II）线性无关，则rWs；

D.若向量组（H）线性相关，则

10.已知£i，△是Ar=人的两个不同的解，a\.a?是相应齐次方程组4r=0的

基础解系，匕，也是任意常数，则­=匕的通解是（）（较难）

A.%乌+女2(q+%)+'')B.k©i+&2(«_%)+'

C.&乌+左2(4—D.%乌+左2(河—夕2)+---

二、填空题

11.设a=(L1,T),夕=(-2,1,0),/=(-1,-2,1),贝13a—夕+5y=.

(较易)

12.设向量a=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量丫满足2a+y=3B，则

1-•

13.已知向量组%=（1,七-3）,a?=（2,4,-6）线性相关，则数公.（较易）

14.已知向量组%=（1,2,3）,%=⑶T，2）,%=（2,3,k）线性相关,

则数A.（中档）

15.已知向量组%=（1,2,3）,%=（3,-1,2）,%=（2，3,k）线性无关，

则数A.（中档）

16.设向量组四，a2,er；线性无关，则向量组/%-%，加（“一%，线性无关的

充足必要条件是常数/,相满足条件。（难）

17.设线性无关的向量组四,。2,…，％可由向量组四，人，…,A线性表达，则r与

s的关系为.(中档)

18.已知向量组%=(1,2,-1),%=(2,0,，),%=(0,-4,5)的秩为2,则数

t=.(中档)

19.向量组(Z|=(1,2,0),a2=(2,4,0),a3=(3,6,0),a4=(4,9,0)

的秩为.(中档)

2O.n阶矩阵A的各行元素之和为0,且R(A)=n-l,则方程组Ar=O的通解为___.

(较难)

三、解答题

-2214J

21.把向量£=表达成向量组%=,a2=,a3=的线性组合.(简朴)

22.设囚

(1)。为什么值时，£不能由线性表达；

(2)a为什么值时，夕能由4，。2，。3，4唯一的线性表达，并写出线性表达式.

(较难)

rr

23.拟定常数a,使向量组q=(11«),a2=(1al),a3=(o11)，可由向

量组用=(11a),尾=(-2a4)r,^=(-2aa)，线性表达，但是向量组

片血，夕3不能由向量组?，，%线性表达。(难)

TT

24.设向量组％=(1,3,0,5尸,a2=(l,2,1,4),a3=(l,1,2,3),a4=(l,0,3,k)\

拟定在的值，使向量组四,%，。3，。4的秩为2,并求该向量组的一个极大线性无

关组.(简朴)

TTT

25.设向量组%=（2,1,3,1尸，%=（1,2,0,1）,a3=（-l,1,-3,0）,a4=（l,1,1,1）,

求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表达向量组中的其

余向量.（中档）

x-8X+10玉+2几=0

26.求齐次线性方程组卜七}+%2+5工374=0的基础解系与通解.（中档）

3%+8X2+6X3-2X4=0

x,+x2=5

27.求非齐次方程组25+9+七+2〜=1的通解及相应的齐次方程组的基础

5玉+3X2+2X3+2X4=3

解系.（中档）

四、证明题

28.设%,%,线性无关，证明%,%+2a2,%+3a3也线性无关.（简朴）

29.已知向量组四,%,%线性无关，证明：向量组4+3a2,2a2+3。3，2a?+外线

性无关.（简朴）

30.设"维向量组（I）：a,,a2,L,ar；向量组（H）：=a,-a2,/32=a2-a3,L,

A-l=ar-l~ar»3=%+%,证明：R（I）=R（II）o（较难）

线性方程组

一、选择题

1.已知才是一个3X4矩阵，下列命题中对的的是（）（中档）

A.若矩阵4中所有3阶子式都为0,则秩（4）=2

B.若1中存在2阶子式不为0,则秩（4）=2

C.若秩（4）=2,则/中所有3阶子式都为0

D.若秩（4）=2,则A中所有2阶子式都不为0

2.设{为矩阵，赭n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充足必要条件是A的秩

（）（中档）

A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n

3.设1是n阶方阵，若对任意的n维向量/均满足4斤0,贝U（）（中档）

A.A=0B.A=EC.秩C4）=nD.0〈秩（4）＜n

4.设"为0义〃矩阵，且则齐次方程4虑0必（）（较难）

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解D.不能拟定

+2x?—&=4-1

5.若方程组13%-七=4一2有无穷多解，则几二（）（较难）

2X2-X3=（2-3）（2-4）+（2-2）

A.1B.2C.3D.4

$+々+/=4

6.已知线性方程组（玉+%+&=3无解，则数无（）（中档）

2%+2ax2=4

11

A.——B.0C.一D.1

22

&+/+无3=%-1

2x,一与=4—2

7.若方程组■有唯一解，则4=（）（较难）

x3=2—3

（丸—1）-^3=_（九一3）（4一1）

A.1或2B.T或3C.1或3D.-1或-3

2xj-x+x=0

8.设齐次线性方程组卜「々2-巧3=。有非零解，贝〜为（

）（中档）

孙+冗2+均=0

A.-1B.0C.1D.2

9.设a是非齐次线性方程组/产力的解，£是其导出组//0的解，则以下结论对的的（）（较

易）

A.a+夕是的解B.a+尸是月产6的解

C.夕-。是的解D.a-£是4Y=0的解

10.设力是4X6矩阵，r（A）=2f则齐次线性方程组月产0的基础解系中所含向量的个数是

（中档）

A.1B.2C.31）.4

11.下列矩阵不是初等矩阵的是（）（较易）

00、’0or'100、"100

A.001B.0-100--0D.01-4

2

、01J0°,S01J、001

二、填空题

71

12.设线性方程组1a1%=1有无穷多个解，则。=（较难）

ax

,11）\i）[12,

13.设4为〃阶矩阵，6为〃阶非零矩阵，若6的每一个列向量都是齐次线性方程组月产0

的解，则|却=.（中档）

14.设%曾2是齐次线性方程组力行0的两个解，则4（3%+7a2）=.（较易）

15.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为nT,则齐次线性方程组Ax=0的通解

为一.（难）

16.三元方程为+四=1的通解是（中档）.

%+A,X2+x3=0

17.设方程组,石+々+*3=0有非零解，且数彳＜0,则