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文档简介

行列式

一、选择题

0-11

1.3阶行列式10-1中第二行第一列元素的代数余子式A2产()(容易)

-110

A.-2B.1

C.-1D.2

01--11

,-1o1-1

2.行列式中第二行第一列元素句的代数余子式42户()(中档)

1-101

-11--10

A.-2B.-1

C.1D.2

a\2a\32%i2q22a”

=4,则行列式。23=()(容易)

3.设行列式3a22a23a2]a22

。31〃32〃333a3i3a323a33

A.12B.24

C.36D.48

—3%

a1%3-2a]2

4.设行列式生I022a23=2,则一%2%2-3/3=()(容易)

a1432。33一。312。32—3〃33

A.-12B.-6

C.6D.12

a1《2《33。"3a]2Ba*

5.设行列式。.1022〃23=2,则-a3l-a32一/=)(较难)

a1a32a33〃21_〃3】a22~〃32〃23一033

A.-6B.-3

C.3D.6

abc+aabc

6.设行列式。产a\仄,£>2=囚%。,则Di=()(容易)

ab

22c2+a2a2hc2

A.0B.D2

C.26D.3D2

xyz2x2)2z

h

7.设行列式4031,则行列式1=()(难)

1111

A.2

B.l

3

D.§

C.2

3

8.设A为三阶矩阵,且甲=3,贝ij卜34=()(较难)

A.-9B.-l

C.1D.9

9.设A为3阶矩阵,|A|=1,则卜2AT|=()(较难)

A.-8B.-2

C.2D.8

10.设A为3阶方阵,且=4,则卜2A|二()(中档)

A.-32B.-8

C.8D.32

125

11.已知行列式13-2=0,则数。二()(中档)

25a

A.-3B.-2

C.2D.3

kx+z=0

12.若齐次线性方程组<2x+6+z=0有非零解,则k=()(较难)

kx-2y+z=0

A.-2B.-l

c.oD.2

xi+x2+x3=4

13.已知非齐次线性方程组(玉+/+忍=3无解,则数斫()

2%+2ax2-4

D.1

二、填空题

111

14,246=(中档)

41636

9876

223242

15.(较难)

233343

1234

20072008

16.(较难)

20092010

123

17.111213=(较难)

101102103

210

18.若131=0,则仁(中档)

k21

l-k-2

19.若=0,则仁(容易)

2k-l

11%-伉„,a,b、

20.已知行列式则I______(容易)

%十%a2-b2a2b2

21.四阶行列式中,项的1。22。43。14的符号是(中档)

22.四阶行列式中具有因子03的1的项为(较难)

3040

23.行列式:111中第4行各元素的代数余子式之和为_______________(难)

(3—1()()

53-22

xal237

ya89

24.设Ai2(i=l,2,3,4)是行列式22中元素配的代数余子式,

za3223

wa4296

则7Ai2+9A22+3A32+6A42=

25.设3阶行列式。3的第2列元素分别为1,-2,3,相应的代数余子式分别为-3,2,1,则

£>3=(较难)

kx+y+z=5

26.已知非齐次线性方程组,x+6-z=3有无穷多个解,则1<=

2x-y+z=7

三、计算题

0120

1012

27.计算4阶行列式D=(一般)

2101

0210

abc

28.计算3阶行列式D=a2h2c2(一般)

。+a3b+b3c+c3

112

121

29.计算4阶行列式D=(较难)

1211

211

35-12

-453-3

30.计算4阶行列式列=(较难)

1201

20-34

1234

2341

31.计算4阶行列式D=(较难)

3412

4123

四、分析、证明题

32.(较难)设a、b、c是互异的实数,证明abc0的充要条件是a+b+c=O

a3b3c3

X12+x

33..设/(x)=224,试证明方程f(x)=O有小于1的正根.(较难)

3犬+24-x

%)+2X2+3%3=4

34.问。为什么值时,线性方程组《2/+。工3=2有惟一解?有无穷多解?(较难)

2再+2X2+3%=6

2玉+X2+X3=1,

35.设非齐次线性方程组V2+4/+/=%拟定当入取何值时,,方程组有惟一解、无解、

元]+,

有无穷多解?(较难)

矩阵

一、选择题

1.设二阶矩阵A=/b|,则A*=(

)(易)

(cd)

'-db

A.

、c-a

2.设A与8均为〃可逆矩阵,则下列各式中不对的的是()(易)

A.(A+B)r=A1'+BrB.(A+B)-'=A''+B-'

C.(AB)-'=B^'A-'D.(AB)f=B'

3.设A与8均为〃x"矩阵,满足=则必有()(中档)

A.A=0或5=0B.A+B^OC.网=()或忸|=()D.网+忸|=0

4.设〃阶方阵A,8,C满足A3C=E,则必有()(中档)

A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E

5.设A为〃阶方阵,且满足A5=AC,则下列结论对的的是()(中档)

A.A=OB.BHC,则A=OC.Aw。,则B=CD.同。0,则B=C

6.设A,B,C为同阶方阵,则(ABC)T=()(易)

A.B.。加41C.D./PZ^T

7.设A,B,C为同阶可逆方阵,则(A5C)-'=()(易)

A.A'B'C'B.C'B'A12

C.C'A'B'D.A'C'B'

8.设A是可逆矩阵,且A+AB=E,则A-i=()(易)

A.1+BB.E+BC.BD.(E+AB)~'

9.设A是〃阶可逆矩阵,人是不为。的常数,贝I(")T=()(易)

A.kA~'B.—A-1C.-kA~'D.-A''

knk

10.设A和B均为〃X”矩阵,则必有()(中档)

(A)|A+B|=|A|+忸I(B)AB=BA

(C)|AB|=|BA|(D)(A+B)-1=A-|+B-|

二、填空题

,(24nf-13n,u

11.设A=,B=,则3A—2B=(易)

(035)(205)

1T

12.设A=(—1,1,3),B=(2,—,-1),则475=(易)

2

13.设A=(:=1),则当满足时,AB=BA(较难)

14.已知a=(1,2,3),尸=(1,;,g),设A=//淇中a,是a的转置,则A"=

'aa1、

15.设A=a\a,则当a满足条件时,A可逆(易)

Ja%

(100、

16.设3阶矩阵A=220,则A*A=(易)

、333,

17.已知〃阶方阵A可逆,贝"A]=,(A*)-:(中档)

18.设A,5均为〃阶矩阵,|A|=2,忸|=—3,则|2A*b|=(难)

19.设矩阵A满足A?+A—4E=O,其中E为单位矩阵,则(A-6尸=(中档)

1-1

20.设矩阵4=,B=A2-3A+2E,^\B-'=(中档)

23

三、计算题

’11rT21、

21.设A=-1118=13-1,求(A-8)(A+8)及(中档)

312,

’137、’-124、

22.设A=—223B=1-3-1,求2A-36和A/B.(中档)

<6-41,、512)

‘123、

23.设A=111

、31L

,1-11、

(1)求Ai;(2)设AX=110求X.(中档)

314,

'010]p-P

24.若AX+B=X,其中A=-111,B=20,求X(较难)

-J卜

<-1o-3>

25.设3阶方阵A的随着矩阵为4*,且|A|=g,求|(3A)T-2A[.(中档)

26.已知AP=~B,其中

'100、‘100、

B=020,P=2-10

〈00-1;(211,

求4及At(难)

四、证明题

27.已知”阶方阵A满足矩阵方程A?—3A—2E=0.证明A可逆,并求出其逆矩阵/T.(中

档)

28.已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A*=0.试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩

阵的表达式(£为〃阶单位阵).(较难)

29.设A是〃阶矩阵,满足A4,=E(E是〃阶单位矩阵,是A的转置矩阵),同<(),求

|A+/].(较难)

30.设n阶矩阵A和8满足条件A+B=AB.

(1)证明A-E为可逆矩阵;

'1-30、

(2)已知6=210,求矩阵A

02,

向量组的线性相关性

一、选择题

1.设3阶方阵A=[%,%■],其中见«=123)为A的列向量,若

忸忤|因+2a2,%,%卜6,则同=()(较易)

A.-12B.-6C.6D.12

2.设A=\ai,a2,ay],其中a,(i=l,2,3)是三维列向量,若同=1,则

|4a,,2a,-3a2,a3|=()(中档)

A.-24B.-12C.12D.24

3.设向量组a尸(1,2),a2=(0,2),4=(4,2),则()(中档)

A.a,,a2,4线性无关B.夕不能由%,a2线性表达

C.4可由线性表达,但表达法不惟一

D.4可由a”a2线性表达,且表达法惟一

4.设囚,4,L为〃维向量,下列结论对的的是()(较难)

A.若左乌+网。2+1+£“a"=0’则线性相关

B.若任意一组不全为零的数匕,无2,…&,有Si+%2%+L+(“%产。,则

,,的,L线性无关

C.若线性相关,则对任何一组不全为零的数勺&,…,心有

k9]+k2a2+L+kmam=0

D.若Oa+O%+L+0%,=0,则a”a2,L线性相关

5.下列命题中错误的是()(较易)

A.只具有一个零向量的向量组线性相关

B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关

D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

6.设名,12,。3,%是三维实向量,贝I()(较易)

A.%,%,。3,。4一定线性无关B.%一定可由4,%,%线性表出

C.%,12,%,。4一定线性相关D.一定线性无关

7.已知向量组囚,。2,。3线性无关,夕线性相关,则()(较易)

A.四必能由。2,%,夕线性表出B.%必能由四,4£线性表出

C.必能由四,。2,P线性表出D.夕必能由%,。2,%线性表出

8.设〃维列向量组%%,L,4(加<〃)线性无关,则〃维列向量组凡⑸,L,总线

性无关的充足必要条件是()(难)

A.向量组%,%L可由向量组4,4L,乩线性表达

B.向量组幺〃2,L,凡可由向量组,%„线性表达

C.向量组四,里1电与向量组尸i,&L,&等价

D.矩阵A=@,a2,L,4,)与矩阵8=(凡4L,凡)等价

9.设向量组(I)a1,a?,L,%可由向量组(II)凡&L应线性表达,则()(中

档)

A.若向量组(I)线性无关,则Ys;

B.若向量组(I)线性相关,则「>6;

C.若向量组(II)线性无关,则rWs;

D.若向量组(H)线性相关,则

10.已知£i,△是Ar=人的两个不同的解,a\.a?是相应齐次方程组4r=0的

基础解系,匕,也是任意常数,则­=匕的通解是()(较难)

A.%乌+女2(q+%)+'')B.k©i+&2(«_%)+'

C.&乌+左2(4—D.%乌+左2(河—夕2)+---

二、填空题

11.设a=(L1,T),夕=(-2,1,0),/=(-1,-2,1),贝13a—夕+5y=.

(较易)

12.设向量a=(6,-2,0,4),p=(-3,1,5,7),向量丫满足2a+y=3B,则

1-•

13.已知向量组%=(1,七-3),a?=(2,4,-6)线性相关,则数公.(较易)

14.已知向量组%=(1,2,3),%=⑶T,2),%=(2,3,k)线性相关,

则数A.(中档)

15.已知向量组%=(1,2,3),%=(3,-1,2),%=(2,3,k)线性无关,

则数A.(中档)

16.设向量组四,a2,er;线性无关,则向量组/%-%,加(“一%,线性无关的

充足必要条件是常数/,相满足条件。(难)

17.设线性无关的向量组四,。2,…,%可由向量组四,人,…,A线性表达,则r与

s的关系为.(中档)

18.已知向量组%=(1,2,-1),%=(2,0,,),%=(0,-4,5)的秩为2,则数

t=.(中档)

19.向量组(Z|=(1,2,0),a2=(2,4,0),a3=(3,6,0),a4=(4,9,0)

的秩为.(中档)

2O.n阶矩阵A的各行元素之和为0,且R(A)=n-l,则方程组Ar=O的通解为___.

(较难)

三、解答题

-2214J

21.把向量£=表达成向量组%=,a2=,a3=的线性组合.(简朴)

22.设囚

(1)。为什么值时,£不能由线性表达;

(2)a为什么值时,夕能由4,。2,。3,4唯一的线性表达,并写出线性表达式.

(较难)

rr

23.拟定常数a,使向量组q=(11«),a2=(1al),a3=(o11),可由向

量组用=(11a),尾=(-2a4)r,^=(-2aa),线性表达,但是向量组

片血,夕3不能由向量组?,,%线性表达。(难)

TT

24.设向量组%=(1,3,0,5尸,a2=(l,2,1,4),a3=(l,1,2,3),a4=(l,0,3,k)\

拟定在的值,使向量组四,%,。3,。4的秩为2,并求该向量组的一个极大线性无

关组.(简朴)

TTT

25.设向量组%=(2,1,3,1尸,%=(1,2,0,1),a3=(-l,1,-3,0),a4=(l,1,1,1),

求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表达向量组中的其

余向量.(中档)

x-8X+10玉+2几=0

26.求齐次线性方程组卜七}+%2+5工374=0的基础解系与通解.(中档)

3%+8X2+6X3-2X4=0

x,+x2=5

27.求非齐次方程组25+9+七+2〜=1的通解及相应的齐次方程组的基础

5玉+3X2+2X3+2X4=3

解系.(中档)

四、证明题

28.设%,%,线性无关,证明%,%+2a2,%+3a3也线性无关.(简朴)

29.已知向量组四,%,%线性无关,证明:向量组4+3a2,2a2+3。3,2a?+外线

性无关.(简朴)

30.设"维向量组(I):a,,a2,L,ar;向量组(H):=a,-a2,/32=a2-a3,L,

A-l=ar-l~ar»3=%+%,证明:R(I)=R(II)o(较难)

线性方程组

一、选择题

1.已知才是一个3X4矩阵,下列命题中对的的是()(中档)

A.若矩阵4中所有3阶子式都为0,则秩(4)=2

B.若1中存在2阶子式不为0,则秩(4)=2

C.若秩(4)=2,则/中所有3阶子式都为0

D.若秩(4)=2,则A中所有2阶子式都不为0

2.设{为矩阵,赭n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充足必要条件是A的秩

()(中档)

A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n

3.设1是n阶方阵,若对任意的n维向量/均满足4斤0,贝U()(中档)

A.A=0B.A=EC.秩C4)=nD.0〈秩(4)<n

4.设"为0义〃矩阵,且则齐次方程4虑0必()(较难)

A.无解B.只有唯一解C.有无穷解D.不能拟定

+2x?—&=4-1

5.若方程组13%-七=4一2有无穷多解,则几二()(较难)

2X2-X3=(2-3)(2-4)+(2-2)

A.1B.2C.3D.4

$+々+/=4

6.已知线性方程组(玉+%+&=3无解,则数无()(中档)

2%+2ax2=4

11

A.——B.0C.一D.1

22

&+/+无3=%-1

2x,一与=4—2

7.若方程组■有唯一解,则4=()(较难)

x3=2—3

(丸—1)-^3=_(九一3)(4一1)

A.1或2B.T或3C.1或3D.-1或-3

2xj-x+x=0

8.设齐次线性方程组卜「々2-巧3=。有非零解,贝〜为(

)(中档)

孙+冗2+均=0

A.-1B.0C.1D.2

9.设a是非齐次线性方程组/产力的解,£是其导出组//0的解,则以下结论对的的()(较

易)

A.a+夕是的解B.a+尸是月产6的解

C.夕-。是的解D.a-£是4Y=0的解

10.设力是4X6矩阵,r(A)=2f则齐次线性方程组月产0的基础解系中所含向量的个数是

(中档)

A.1B.2C.31).4

11.下列矩阵不是初等矩阵的是()(较易)

00、’0or'100、"100

A.001B.0-100--0D.01-4

2

、01J0°,S01J、001

二、填空题

71

12.设线性方程组1a1%=1有无穷多个解,则。=(较难)

ax

,11)\i)[12,

13.设4为〃阶矩阵,6为〃阶非零矩阵,若6的每一个列向量都是齐次线性方程组月产0

的解,则|却=.(中档)

14.设%曾2是齐次线性方程组力行0的两个解,则4(3%+7a2)=.(较易)

15.设n阶矩阵A的各行元素之和均为0,且A的秩为nT,则齐次线性方程组Ax=0的通解

为一.(难)

16.三元方程为+四=1的通解是(中档).

%+A,X2+x3=0

17.设方程组,石+々+*3=0有非零解,且数彳<0,则

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