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（解析版）+知识点讲解-例题解析-强化训练大全

专题二因动点产生的等腰三角形问题

【类型综述】

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中

考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答,

一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系

和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。

在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、

平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图

象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点

和难点在于应用分类讨论思想和数形结合思想进行准确的分类.

【方法揭秘】

我们先回顾两个画图问题：

1.已知线段AB=5厘米，以线段A8为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶

点。的轨迹是什么？

2.已知线段AB=6厘米，以线段A8为底边的等腰三角形ABC有多少个？

顶点。的轨迹是什么？

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C.

己知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.

如果△ABC是等腰三角形，那么存在①®BA=BC,③C4=CB三

种情况.

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合,

可以使得解题又好又快.

几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？

如果△ABC的NA（的余弦值）是确定的，夹NA的两边A3和AC可以用

含x的式子表示出来，那么就用几何法.

①如图1,如果AB=AC,直接列方程；②如图2,如果84=BC,那么

-AC^ABcosZA;③如图3,如果C4=CB,那么AB=ACcos/A.

22

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.

如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表

示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来.

【典例分析】

例1如图1,在中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点、D为边BC

的中点，DE_LBC交边AC于点E,点尸为射线AB上的一动点，点。为边AC

上的一动点，且NPOQ=90°.

（1）求即、EC的长；

（2）若BP=2,求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段OE的交点为尼若为等腰三角形，求8尸的

长.

图1备用图

思路点拨

1.第（2）题BP=2分两种情况.

2.解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差

关系.

3.第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为

探求等腰三角形CDQ.

满分解答

（1）在Rt2k/5C中，.18=6,AC=3,所以BC=10.

31525

在RtACDE中，CD=5,所以£D=8tanNC=5x-=—,£C=—.

444

（2）如图2,过点。作DM1.45,DNLAC,垂足分别为M、M那么DM、DN是

A45C的两条中位线，DA/=4,DN=3.

由NPD0=9O°,/MDN±90°,可得NPDA/=N0）M

因此△1PD3A0DN.

4

PM=-ON.

所以券=瑞4•所以即=**3

图2图4

①如图3,当BP=2,P在上时，PM=\.

33319

止匕时QN=JPM==.所以CQ=CN+QN=4+J=二.

-4444

②如图4,当8P=2,P在MB的延长线上时，PM=5.

31515

止匕时QN=-PM=—.所以CQ=CN+QN=4+—=—.

'4444

nnnv2

（3）如图5,如图2,在RtA尸D。中，tanZ0PZ>=-^=—=-.

PDDM4

RA?

在RtZLLBC中，tanNC=t^=±.所以/OPD=NC.

CA4

由NPDQ=90°,ZCD£=90°,可得NRDF=NCD。

因此△尸£>尸sZkCD0.

当△尸D尸是等腰三角形时，△CD。也是等腰三角形.

①如图5,当CQ=CD=5时，aV=CO-C\-5-4=l（如图3所示）.

4445

此时PM=-OJV=-・所以3尸==3一—=一.

3~333

②如图6,当QC=。。时，由cosC=",可得CQ=9+3=".

CQ258

7S7

所以QV=CN—。。=4-（如图2所示）.

88

A7725

此时PM=-QN=—.所以BP=BM+PM=3+—=一.

3666

③不存在。p=。尸的情况.这是因为/。bPe/OQPA/OPQ（如图5,图

6所示）.

考点伸梭

如图6,当△C。。是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP

也是等腰三角形，PB=PD.在中可以直接求解护=生.学科@网

例2如图1,抛物线y=o?+笈+c经过A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3)三点，直

线/是抛物线的对称轴.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点尸是直线/上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐

标；

(3)在直线/上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写

出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

思路点拨

1.第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长

最小.

2.第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于.4（7,0）、5（3,0）两点，设尸也+lXx-3）,

代入点C（o,3）,得一3a=3.解得a=-l.

所以抛物线的函数关系式是y=-（x+l）（x-3）=-x:+2x+3.

（2）如图2,抛物线的对称轴是直线x=l.

当点P落在线段BC上时，R4+PC最小，2AC的周长最小.

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.

由理=出，BO=CO,得PH=BH=2.

BOCO

所以点P的坐标为（1,2）.

图2

（3）点M的坐标为（1,1）、（1,府、（1,-府或（1,0）.

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为（1,加）.

在△AMC中，AC2=10,MC2=l+（m-3）2,M/i2=4+w2.

①如图3,当时，MA2=MC2.解方程4+〃=1+（加-3）2,得m

=1.

此时点M的坐标为（1,1）.

②如图4,当AM=AC时，AM2=AC2.解方程4+加=10,得〃?=±而.

此时点M的坐标为（1,指）或（1,-逐）.

③如图5,当CM=CA时，CM2=CA2.解方程I+（加-3）2=]o,得加=。

或6.

当M（l,6）时，M、A、。三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为（1,0）.

至OB的位置.

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、。、3的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、。、8为顶点的

三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

图1

思路点拨

1.用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根

据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.

2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起.

满分解答

(D如图2,过点5作8C1),轴，垂足为C.

在RtA。5c中，ZBOC=30°,。3=4,所以5c=2,OC=邱.

所以点5的坐标为(-2,-20).

(2)因为抛物线与x轴交于。、.4(4.0),设抛物线的解析式为｝=s(x-4),

代人点3(—2,—2-J3)，—2yfi=-2ax(—6).解得a=-.

6

所以抛物线的解析式为尸—且x(x-4)=-苴V+幺且x.

663

(3)抛物线的对称轴是直线尤=2,设点P的坐标为(2,y).

①当。尸=08=4时，0尸2=16.所以4+9=16.解得y=±2后.

当「在(2,26)时，B、。、P三点共线(如图2).

②当BP=8O=4时，BP2=16.所以42+(y+2^)2=16.解得y=%=—

③当P8=P0时，PB2=PO2.所以42+(产2扬2=22+广解得尸_2。

综合①、②、③，点P的坐标为(2,-2g),如图2所示.

考点伸梭

如图3,在本题中，设抛物线的顶点为。，那么△OOA与4048是两个相

似的等腰三角形.

由=--"+苧，得抛物线的顶点为0(2,竽).

因此tanZDOA=3m.所以NOOA=30°,NOD4=120°.

3

例4如图1,已知一次函数丁=一九+7与正比例函数y=gx的图象交于点A,

且与x轴交于点B.

（1）求点A和点8的坐标；

（2）过点A作AC±y轴于点C,过点B作直线〃/y轴.动点P从点。出发,

以每秒1个单位长的速度，沿。一。一A的路线向点A运动；同时直线/从点8

出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线/交尤轴于点上交线段BA

或线段A。于点0.当点P到达点A时，点尸和直线/都停止运动.在运动过

程中，设动点P运动的时间为f秒.

①当，为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?

②是否存在以A、P、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求，的值；

若不存在，请说明理由.

思路点拨

1.把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.

2.求的面积等于8,按照点尸的位置分两种情况讨论.事实上，P

在C4上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.

3.讨论等腰三角形APQ,按照点尸的位置分两种情况讨论，点P的每一种

位置又要讨论三种情况.

满分斛答

y=-X+7,r,

(1)解方程组4得<：'所以点a的坐标是(3,4).

y=-x,b=4-

令kT+7=0,得X=7.所以点3的坐标是(7,0).

(2)①如图2,当P在OC上运动时，0WV4.由S-=S城「°同-S-b-£9=8,得

1(3+7-Ox4-1x4x(4-/)-ixr(7-O=8.整理，得F-"-12=0.解得『2或f=6(舍去).如图3,

当P在C4上运动时，M&PR的最大面积为6.

如图1,在△AOBW，ZB=45°,NAOB>45°,OB=7,AB=4五,所

liXOB>AB.因此

如图4,点P由。向C运动的过程中，OP=BR=RQ,所以PQ/x轴.

因此NAQP=45°保持不变，NPA。越来越大，所以只存在NAPQ=NA0P

的情况.

此时点A在PQ的垂直平分线上，OR=2CA=6.所以8R=1,f=l.

我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4^r<7.

在△AP。中，cosNA=3为定值，AP=l-t,

AQ=OA-OQ=OA--OR=-t~—.

如图5,当AP=AQ时，解方程7_=3-"，得公竺.

338

如图6,当。尸=QA时，点。在PA的垂直平分线上，AP=2(OR—OP).解

方程7T=2[(7-。-(f-4)],得f=5.

如1,当以二p。时，那么8S4=分.因此月2=2〃.8SN4.解方程｝_g=2(7T)x1,得

226

1T,

综上所述，f=l或仪或5或些时，A49。是等腰三角形.

考点伸展

当P在C4上，QP=QA时，也可以用AP=2AQ.cos4来求解.学科@网

例5如图1,在△ABC中，ZACB=90°,ZBAC=60°,点E是NBAC的

平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作A3的垂线，两垂线交于点

连接DB,点尸是8。的中点，DHLAC,垂足为H,连接E兄HF.

(1)如图1,若点”是AC的中点，AC=26,求AB、BO的长；

(2)如图1,求证：HF=EF.

(3)如图2,连接C/、CE,猜想：△CER是否是等边三角形？若是，请

证明；若不是，请说明理由.

思路点拨

1.把图形中所有30°的角都标注出来，便于寻找等角和等边.

2.中点尸有哪些用处呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助

线了.

满分解答

(1)如图3,在RtA45c中，Z5.4C=60°,AC=,所以43=4/.

在RtAlDH中，ND4H=30。,AH=5所以DE=1,AD=2.

在RtA的中，AD=2,AB=4依，由勾股定理，得BD=2后.

(2)如图4,由ND/5=90°,ABAC=6Q°,.4E平分N助C,得ND.4E=60°,

4DAH=30°.

在Rt△且DE中，AE=-AD.在RtZUDH中，DH=-AD.所以AE=DH.

22

因为点F是RIA.45D的斜边上的中线，所以E4=FD,AFAD=^FDA.

所以所以△E1E3ZVWH.所以EF=HF.

(3)如图5,作EMLAB于M,联结CM.

由FM〃D4,F是03的中点，得M是A3的中点.

因此FM=JA。，△ACM是等边三角形.

2

又因为AE=LAr),所以EM=EA.

2

又因为CM=C4,NCMF=/CAE=30°,所以△CMf丝△CAE.

所以NMCT=NACE,CF=CE.

所以NECE=NACM=60°.所以△CEE是等边三角形.

考点伸展

我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉.

如图6,如图7,当点尸落在8C边上时，点”与点C重合.

如图10,图11,等腰梯形ABEC.

B

图8图9图10

图11

例6如图1,已知RtA/lBC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点P以每秒1

个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A—3—C方向

运动，它们到C点后都停止运动，设点P、。运动的时间为f秒.

（1）在运动过程中，求P、Q两点间距离的最大值；

（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关

系式；

（3）P,。两点在运动过程中，是否存在时间t,使得△PQC为等腰三角形.若

存在，求出此时的，值，若不存在，请说明理由.（有。2.24,结果保留一位小

数）

图1

思路点拨

1.过点8作QP的平行线交AC于。，那么8。的长就是PQ的最大值.

2.线段P。扫过的面积S要分两种情况讨论，点。分别在A3、8C上.

3.等腰三角形PQC分三种情况讨论，先罗列三边长.

满分斛答

(1)在RtA儿BC中，.4C=8,BC=6,所以48=10.

如图2,当点。在乩8上时，作3DP。交.4C于点D,那么9=卫=二=2.

ADAPt

所以WD=5.所以CD=3.

如图3,当点。在5c上时，£2=3二2=2.

CP8-/

又因为乌=2=2,所以丝=乌.因此P。BD.所以P。的最大值就是即.

CD3CPCD

在Rt26CD中，BC=6,CD=3,所以5D=3布.所以P。的最大值是3指.

由△AQPSAAB。，得也竺=(d£)2.所以S=SAAQP=15x(')2=3户.

SMBD55

②如图3,当点。在3C上时，5V/W8,SMBC=24.

因为S、CQP=-CQCP=-(16-2f)(8=8)2,

22

所以5=SAABC—SACGP=24—(r—8)2=—产+16f—40.

(3)如图3,当点Q在BC上时，CQ=2CP,ZC=90°,所以△PQC不可能

成为等腰三角形.

当点。在AB上时，我们先用f表示△PQC的三边长：易知。尸=8—九

如图2,由QP//8O,得丝="，即丝=」.所以QP=3叵'

BDAD3石55

如图4,作Q/7LAC于H.在RtaA。“中，Q"=A。sinNA=,AH=^t'

在Rt^CQH中，由勾股定理，得CQ=也少+5=J（|f）2+（8_|f）2.

分三种情况讨论等腰三角形P。。：

（1）①当PC=P5寸，解方程8-1=半。，得f=6石-10=3.4（如图5所示）.

②当。C=2四寸，J（3）2+（8_$）2=gr.整理，得11/_12即+320=0.

所以（11L4O）（L8）=O.解得"*3.6（如图6所示），酬=8（舍去）.

③当CP=C@寸，8T=柠尸+（"｝）2.整理，得"2-161=0.

解得『=竺=3.2（如图7所示），或r=0（舍去）.

5

综上所述，当t的值约为3.4,3.6,或等于3.2A寸，△PQC是等腰三角形.

考点伸展

第（1）题求P、。两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法：

①如图8,当点。在A8上时，PQ=ylQH2+PH2=J（|/）2+（|/-r）2=^-t-

当。与8重合时，P。最大，此时r=5,PQ的最大值为3君.

②如图9,当点。在上时，PQ=y]CQ2+CP2=7（2CP）2+CP2=75（8-r）.

当。与B重合时，尸。最大，此时f=5,PQ的最大值为3君.

综上所述，PQ的最大值为36.

【变式训练】

--（x>0）

1.（2017四川省达州市）已知函数y=J的图象如图所示，点P是y

—（x<0）

轴负半轴上一动点，过点尸作y轴的垂线交图象于A,8两点，连接QA、OB.下

列结论：

①若点Mi（xi,yi）,M2（X2,>2）在图象上，且2V0,则yi<y2；

②当点P坐标为（0,-3）时，△A08是等腰三角形；

③无论点尸在什么位置，始终有SAAOB=7.5,AP=4BP；

④当点P移动到使NAOB=90°时，点A的坐标为（2后，-76）.

【解析】

试题分析：①错误...'X］<X2<0,函数］,随X是增大而减小，.：］〉”，故①错误.

②正确."'P<0,-3),：.B(-1,-3),A(4,-3),：.AB=5,OA=^32+4*1=5,：..4B=.4O,：.^4.OB

是等腰三角形，故②正确.

41?2

③正确.设P（0,，〃），则8（—，加），A（——,加），PB=-―,PA=

tnmm

12312

-—,**•PA-4PB***SAOBS^OPB+S^OPA=—I---=7.5,故③正确.

m22

?194

④正确.设P（0,m）,则B（—，加），A（-一，根），,PB=——,PA二

mmm

12

--,OP=-m,VZAOB=90°,ZOPB=ZOPA=90°,/.ZBOP+ZAOP=90°,

OPPB

NAOP+NOPA=90°,：.ZBOP=ZOAP,：./\OPB^AAPO,：.—=—,，

APOP

OP?=PB・PA,:卅二：.m4^36,Vm<0,：.m=-瓜，,A(276,

mm

-V6),故④正确，...②③④正确，故选C.

考点：1.反比例函数综合题；2.综合题.学科@网

2.(2017浙江省绍兴市)如图，NAO3=45°,点M、N在边0A上，OM=x,

ON=x+4,点P是边08上的点.若使点P、M、N构成等腰三角形的点P恰好有

三个，则x的值是.

【答案】x=0或x=40-4或4Vx<40.

【解析】

试题分析：以卬为底边时，可作的垂直平分线，与OB的必有一个交点Pi,且以M为圆

心为半径画圆，以,V为圆心&N为半径画圆，①如下图，当M与点。重合时，即E时，除了巧,

当即为P”当时，即为己；

只有3个点P;

O

②当0VxV4时，如下图，圆N与08相切时，NP2=MN=4,且NPU0B,此时

例尸3=4,则。M=0N-MN=y/2m-4=40—4.

③因为.VAM,所以当x>0时，MV<0N,则乂\=\?>不存在，除了P外，当MP=MV=4时，过点5/作

1。3于。，当。时，圆M与。5刚好交。3两点已和外；

当MD=MN=4时,圆M与08只有一个交点，此时0知=0用£>=40,故4W尤

<472.

与08有两个交点P2和小，故答案为：尸0或产4夜-4或4WJCV4A.

考点：1.相交两圆的性质；2.分类讨论；3.综合题.

3.（2017四川省南充市）如图1,已知二次函数yud+fec+c（a、b、c为常

数，aWO）的图象过点。（0,0）和点A（4,0）,函数图象最低点M的纵坐

标为-g,直线/的解析式为度X.

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线/沿x轴向右平移，得直线,I'与线段0A相交于点8,与x轴下

方的抛物线相交于点C,过点C作CELx轴于点E,把△BCE沿直线/'折叠，

当点E恰好落在抛物线上点E'时（图2）,求直线/'的解析式；

（3）在（2）的条件下，I'与y轴交于点N,把△80N绕点。逆时针旋转135°

得到△夕ON',P为I'上的动点，当APB'N'为等腰三角形时，求符合条

件的点P的坐标.

【答案】⑴y亨一*⑵尸…⑶尸坐标为。7）或（电孚C

30-3-36、­/30+3+3630-3+36、

-----------）或（------------，------------）

【解析】

QQ

试题分析：3)由题意抛物线的顶点坐标为(2,-1),设抛物线的解析式为y=«x-2y-把(0,0)

代人得到,即可解决问题；

3

2e211

(2)如图1中，设E(m,0),贝ijC(m,-m2-一m),B(—m2+—m,0),由E、5关于对称轴对

3333

,,2,11、

w+(—m24—m)

称，可得-------------—=2,由此即可解决问题；

2

(3)分两种情形求解即可①当Pi与N重合时，APEN'是等腰三角形，此

时Pi(0,-3).②当N'=N'B'时，设尸(〃?，m-3),列出方程解方程即

可；

试题解析：(1)由题意抛物线的顶点坐标为(2,-|),设抛物线的解析式为

y=a(x-2>-|,把(0,0)代入得到.=1•一•.抛物线的解析式为>=1(》-2)2-|,

即y=—x2--x.

33

9Qoii

(2)如图1中，设E(〃?，0),则C(优，—m2——m),8(——irr+—m,0),

3333

、

m+(/——2m2H——11m)

•:E'在抛物线上，...E、8关于对称轴对称，,------2----3_=2,解得

2

加=1或6(舍弃)，.•.8(3,0),C(L-2),直线/'的解析式为y=x-3.

(3)如图2中，①当n与N重合时，APBM是等腰三角形，此时乃(0,-3).

②当M三V’炉时，设P(加川-3),则有(掰-芈^+5-3-=（3点）2,解得“30+：-36

3&+3+3遣3&+3-3召3&-3-3力30+3+3g3&-3+34

.，•・P：V,/｝「3'■,■'

44icc'ji、-0=Mg上iii4^，c-ir/3-^2+3-35/33^2—3—3y/3..3-^2+3+3\^

综上所述，洞足条件的点pn坐标为（o,-3）或（——-~J,—■_-_上-）或r（—_-_J

222

372-3+373,

考点：L二次函数综合题；2.几何变换综合题；3.分类讨论；4.压轴题.学

科@网

4.(2017四川省广安市)如图，已知抛物线y=-f+hx+c与y轴相交于点A(0,

3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线产1.

(1)求此抛物线的解析式以及点8的坐标.

(2)动点M从点。出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时

动点N从点。出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到

达A点时，M.N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段4B于点Q,交

抛物线于点P,设运动的时间为/秒.

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形.

②当，>0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出，的值；若不能，请说明

理由.

8点坐标为(3,0)；(2)①；②.

【解析】

试题分析：(1)由对称轴公式可求得A由A点坐标可求得c,则可求得抛物线

解析式；再令产0可求得8点坐标；

(2)①用f可表示出ON和OM,则可表示出尸点坐标，即可表示出PM的长，

由矩形的性质可得。N=PM,可得到关于，的方程，可求得f的值；②由题意可

知。8=04故当△80Q为等腰三角形时，只能有。8=8。或0。=%,用/可表

示出。点的坐标，则可表示出。。和BQ的长，分别得到关于［的方程，可求得

I的值.

试题解析:

(1)：抛物线)--/+辰+。对称轴是直线1=1,二----=1,解得K2,•抛物线过+(0,3),

2x(-1)

二.c=3,.,.抛物线解析式为1yn-V+Zx+B,令产0可得一1+2》+3=0,解得尸-1或k3,「.5点坐

标为(3,0);

(2)①由题意可知。M=3Z,OM=2t,•./在抛物线上，二尸门。，-4r+4?+3),二•四边形。为矩形,

：.ON=PM,：3t=-4t2+4t+3,解得户1或尸-一(舍去)，，当：的值为1时，四边形0M7W为矩形；

4

②(0,3),B(3,0),且可求得直线A8解析式为y=-x+3,

.•.当r>0时，。。工。8,.•.当△8。。为等腰三角形时，有OB=Q8或。。=8。两

种情况，由题意可知0M=2/,：.Q(2/,-2/+3),OQ=7(2?)2+(-2z+3)2

=，8/—12，+9,BQ=yl（-2t+3）2+（-2t+3）2=及⑵-31,又由题意可知0W1,

当O8=QB时，则有&⑵-31=3,解得尸6+3夜（舍去）或尸"2也；

44

当。。=8。0寸，则有,85一⑵+9=0⑵-31，解得尸3；

4

综上可知当t的值为6—或q时,△BOQ为等腰二角形.

考点：1.二次函数综合题；2.动点型；3.分类讨论；4.压轴题.

5.（2017四川省眉山市）如图，抛物线了=62+加一2与九轴交于A、8两点，

与y轴交于C点，已知A（3,0）,且M（1,-：）是抛物线上另一点.

（1）求a、b的值；

（2）连结AC,设点P是〉轴上任一点，若以P、A、。三点为顶点的三角形是

等腰三角形，求P点的坐标；

（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与。、A重合），过点

N作N”〃AC交抛物线的对称轴于〃点.设ON=t,△CW”的面积为S,求S与

r之间的函数关系式.

，2

a=—

【答案】(1)|3(2)P点的坐标！(0,2)或(0,V13-2)或(0,

1-1

-z--r2(O<r<l)

2)或(0,-V13-2)；⑶S=]33

41,1.一

【解析】

试题分析：(1)根据题意列方程组即可得到结论：

(2)在)，=ax'+bx-2中，当D时.尸一2,得至"0C=2,如图，设P(0,m),贝iJPC=»t+2,1=3,根

据勾股定理得到/C=+3、=而,①当R4=C4时，贝i」QPi=OC=2,②当PC=C4=JI5时，③当PC=R4

时，点尸在HC的垂直平分线上，根据相似三角形的性质得到A<0,：),④当PUC=疝时，于是得

4

到结论；

(3)过〃作HG_LOA于G,设MV交卜轴于M,根据平行线分线段成比例定理

_£

得到0小二，求得抛物线的对称轴为直线产巨,得到OG=Y,求得

3”51010

zX一

3

13213

GN=t-―,根据相似三角形的性质得到于是得到结论.

10315

[9。+3b-2=0

试题解析：(1)把4(3,0),且加(1,-白)代入？=公2+加一2得：8，

3a+b-2^--

I3

2

a--

解得：3：

I3

(2)在y=依2+法—2中，当x=O时.y=-2,：.C(0,-2),：.OC=2,如图，

设P(0,m),则PC=*2,04=3,ZlO>/22+32=Vl3,分三种情况：

①当P4=C4时，则。Pi=OC=2,APi(0,2)；

②当尸CCA=A/5时，即优+2=瓦，.•.*而-2,：.P2(0,V13-2)；

③当POPA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOCs△尸3EC,...巫=二，

P.CV13

：.PyC=—,：.m=-,：.P3(0,-),④当PCC4=屈时，m=-2-V13,Z.

444

P4(0,-2-V13),综上所述，P点的坐标I(0,2)或(0,V13-2)或(0,

))或(0,-V13-2)；

4

(3)过“作“G,04于G,设"N交丫轴于M,,JNH//AC,，丝=”,

OCOA

.■.等《，°M［，・•・抛物线的对称轴为直线产涓得，，。端

GN=t--,,：GH//OC,：.ANGHs△NOW,.•.四=空，即空=―国

10OMON2,t

：.HG=-t----:.S=LON・GH=L(Zr-ll)=U-a(0<r<3).

31522315330

(3k+b=022

(3)设直线/C的解析式为产fcv+匕(种0)由题意得：「、，解得：k=-,b=-2,：.yjc=-x-2.

742R72

由3)得抛物线对应的函数表达式为丁=：/一=x—2=：(x—设NC与抛物线产-:

333333

4

的对称轴交于点尸，直线与x轴交于E点，则尸(1,E(1,0).

rvEH3EH211

①当0<f<1时,EV=l-f,由，=—得，一=-——,：.EH=-(1-0,二S/H=_ON・EH=-tQ-i),

AEEF24323

即S=

33

rvEHr-13EH211

②当1WW3时，区"1，由J=匕得，」=上_,：.EH=-(t-X)S@H=~ON-EH=-t(t-T),

AEEF24323

即S=4尸-1f；

33

1,1

-t2——z(l<z<3)

133

考点：二次函数综合题.学科@网

6.（2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，。为原点，四边形A8C0是矩

形，点A,C的坐标分别是A（0,2）和C（26，0）,点。是对角线AC上一

动点（不与A,。重合），连结BD,作。E_LDB,交x轴于点E,以线段OE,

DB为邻边作矩形BDEF.

（1）填空：点3的坐标为；

（2）是否存在这样的点D,使得△OEC是等腰三角形？若存在，请求出AO的

长度；若不存在，请说明理由；

⑶①求证：器T；

②设AO可，矩形的面积为y,求y关于尤的函数关系式（可利用①的结

论），并求出y的最小值.

y

【答案】（1）（273,2）；（2）A。的值为2或2/；（3）①证明见解析;

②丁=手尤2-26x+46，当x=3时，y有最小值x/L

【解析】

试题分析：3）求出.钻、BC的长即可解决问题；

（2）存在.连接BE,取班的中点K,连接DK、KC.首先证明5、D、E、。四点共圆，可得NDBON

DCE,Z.EDOAEBC,由tan乙1CO=L=土，推出4co=30。，zS4CD=60°由△口&7是等腰三角形,

OC3

观察图象可知，只有ED=EC,推出NDBONDCE=NHDaNEBO30°,推出ND5U/5360。，可得

的。是等边三角形，推出DOBC=2,由此即可解决问题；

（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出NOBC=NDCE=30°,由此

即可解决问题；

②作于”.想办法用x表示80、ZJE的长,构建二次函数即可解决问

题；

试题解析：（1）•..四边形A0CB是矩形，.•.8C=0A=2,OC=AB=2y/3,ZBC0=

ZBAO=90°,：.B（273,2）.

故答案为：（26,2）.

（2）存在.理由如下：

连接BE,取BE的中点K,连接。K、KC.

%

一

0E'……cX

图（1）

■:NBDE=/BCE=90°,：.KD=KB=KE=KC,：.B.D.E、C四点共圆，...NOB。

ZDCE,ZEDC=ZEBC,VtanZACO,:ZACO=30°,ZACB=60°

OC3

①如图1中，ADEC是等腰三角形，观察图象可知，曲EAEC,：2DBC=/DCE=4EDU/EBC=30：

.,.ND5UN5CA60。，.二△DBC是等边三角形，二。0=502,在RtZUOC中，•.•a48=30。,0.4=2,

：.AC=Z4O=4,.•.AD=.4C-CD=4-2=2,...当40=2时，ADEC是等腰三角形.

②如图2中，:△DCE是等腰三角形，易知CD=CE,ZDBC=ADEC=ZCDE=15°,：.Z.4BD=^4DB=75°,

:.AB=AD=2出.

综上所述，满足条件的AD的值为2或2g.

(3)①由(2)可知，B、D、E、C四点