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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不对2.已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A. B.6 C. D.4.若复数(为虚数单位)的实部与虚部相等,则的值为()A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.46.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A. B.C. D.8.如图,在平行四边形中,为对角线的交点,点为平行四边形外一点,且,,则()A. B.C. D.9.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.10.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.11.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.57812.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是___________14.已知非零向量的夹角为,且,则______.15.点在双曲线的右支上,其左、右焦点分别为、,直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点,线段的垂直平分线恰好过点,则该双曲线的渐近线的斜率为__________.16.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效地改良玉米品种,为农民提供技术支援,现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.(1)求出易倒伏玉米茎高的中位数;(2)根据茎叶图的数据,完成下面的列联表:抗倒伏易倒伏矮茎高茎(3)根据(2)中的列联表,是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.(12分)某公司打算引进一台设备使用一年,现有甲、乙两种设备可供选择.甲设备每台10000元,乙设备每台9000元.此外设备使用期间还需维修,对于每台设备,一年间三次及三次以内免费维修,三次以外的维修费用均为每次1000元.该公司统计了曾使用过的甲、乙各50台设备在一年间的维修次数,得到下面的频数分布表,以这两种设备分别在50台中的维修次数频率代替维修次数发生的概率.维修次数23456甲设备5103050乙设备05151515(1)设甲、乙两种设备每台购买和一年间维修的花费总额分别为和,求和的分布列;(2)若以数学期望为决策依据,希望设备购买和一年间维修的花费总额尽量低,且维修次数尽量少,则需要购买哪种设备?请说明理由.19.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.20.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)已知外接圆半径,求的周长.21.(12分)已知点是抛物线的顶点,,是上的两个动点,且.(1)判断点是否在直线上?说明理由;(2)设点是△的外接圆的圆心,点到轴的距离为,点,求的最大值.22.(10分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
首先确定不超过的素数的个数,根据古典概型概率求解方法计算可得结果.【详解】不超过的素数有,,,,,,,,共个,从这个素数中任选个,有种可能;其中选取的两个数,其和等于的有,,共种情况,故随机选出两个不同的数,其和等于的概率.故选:.【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解,属于基础题.2、A【解析】
根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍,可得出,结合,得出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解:由双曲线可知,焦点在轴上,则双曲线的渐近线方程为:,由于焦距是虚轴长的2倍,可得:,∴,即:,,所以双曲线的渐近线方程为:.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,以及双曲线的渐近线方程.3、D【解析】
用列举法,通过循环过程直接得出与的值,得到时退出循环,即可求得.【详解】执行程序框图,可得,,满足条件,,,满足条件,,,满足条件,,,由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值为.故选D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到的与的值是解题的关键,难度较易.4、C【解析】
利用复数的除法,以及复数的基本概念求解即可.【详解】,又的实部与虚部相等,,解得.故选:C【点睛】本题主要考查复数的除法运算,复数的概念运用.5、C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6、A【解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,
当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.7、B【解析】
由题意首先确定几何体的空间结构特征,然后结合空间结构特征即可求得其表面积.【详解】由三视图可知,该几何体为边长为正方体挖去一个以为球心以为半径球体的,如图,故其表面积为,故选:B.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.8、D【解析】
连接,根据题目,证明出四边形为平行四边形,然后,利用向量的线性运算即可求出答案【详解】连接,由,知,四边形为平行四边形,可得四边形为平行四边形,所以.【点睛】本题考查向量的线性运算问题,属于基础题9、A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.【点睛】本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.10、C【解析】
根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.11、D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.12、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先还原几何体,再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱,如图,底面为边长为的直角三角形,高为的棱柱,所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题14、1【解析】
由已知条件得出,可得,解之可得答案.【详解】向量的夹角为,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模,关键在于将所求的向量的模平方,利用向量的数量积化简求解即可,属于基础题.15、【解析】如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即,两边平方并化简得,所以,因此.16、【解析】
设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.【详解】由题意,如图所示,设,则,又由,,所以为的中点,为的三等分点,则,,所以.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)190(2)见解析(3)可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.【解析】
(1)排序后第10和第11两个数的平均数为中位数;(2)由茎叶图可得列联表;(3)由列联表计算可得结论.【详解】解:(1).(2)抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016(3)由于,因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.【点睛】本题考查茎叶图,考查独立性检验,正确认识茎叶图是解题关键.18、(1)分布列见解析,分布列见解析;(2)甲设备,理由见解析【解析】
(1)的可能取值为10000,11000,12000,的可能取值为9000,10000,11000,12000,计算概率得到分布列;(2)计算期望,得到,设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,,计算分布列,计算数学期望得到答案.【详解】(1)的可能取值为10000,11000,12000,,因此的分布如下100001100012000的可能取值为9000,10000,11000,12000,,,因此的分布列为如下9000100001100012000(2)设甲、乙两设备一年内的维修次数分别为,的可能取值为2,3,4,5,,,则的分布列为2345的可能取值为3,4,5,6,,,则的分布列为3456由于,,因此需购买甲设备【点睛】本题考查了数学期望和分布列,意在考查学生的计算能力和应用能力.19、直线与圆C相切.【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系.【详解】直线为参数),转换为直角坐标方程为.圆转换为直角坐标方程为,转换为标准形式为,所以圆心到直线,的距离.直线与圆C相切.【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,直线与圆的位置关系式的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.20、(1)(2)3+3【解析】
(1)利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0<A<π,可求A的值.(2)由正弦定理可求a,利用余弦定理可得c值,即可求周长.【详解】(1),即又(2),∵,∴由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA,∴,∵c>0,所以得c=2,∴周长a+b+c=3+3.【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用,正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于中档题.21、(1)不在,证明见详解;(2)【解析】
(1)假设直线方程,并于抛物线方程联立,结合韦达定理,计算,可得,然后验证可得结果.(2)分别计算线段中垂线的方程,然后联立,根据(1)的条件可得点的轨迹方程,然后可得焦点,结合抛物线定义可得,计算可得结果.【详解】(1)设直线方程,根据题意可知直线斜率一定存在,则则由所以将代入上式化简可得,所以则直线方程为,所以直线过定点,所以可知点不在直线上.(2)设线段的中点为线段的中点为则直线的斜率为,直线的斜率为可知线段的中垂线的方程为由,所以上式化简为即线段的
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