现代控制理论课后习题答案

河南城建学院电气与信息工程学院自动化现代控制理论习题库II型为：3-5试证明对于单输入的离散时间定常系统r=（G，h），只要它是完全能控的，那么对于任意给定的非零初始状态x0，都可以在不超过n个采样周期的时间内转移到状态空间原点。证明：离散时间定常系统的状态方程：初始状态为x0，则方程的解：当k=0时当k=2时…当k=n时因为系统能控所以能控判别阵M满秩则有解即因为所以x(n)=0则该系统在不超过n个采样周期内，由任意给定的非零初始状态x0转移到了状态空间原点。3-6已知系统的微分方程为：试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：有微分方程可写出系统的状态空间方程，可求得其对偶系统，，所以其对偶系统的状态方程为，及其传递函数，3-7已知能控系统的状态方程A，b阵为：，试将该状态方程变换为能控标准型。解：易得，即系统是能控的再由，求得，,所以，变换矩阵为：，可求得，所以能控标准型为：3-8已知能观系统的A，b,c阵为：，，试将该状态空间表达式变换为能观标准型。解：易得,即系统能观。再由可求得，，所以，变换阵为可求得，所以，能观标准型为：3-9已知系统的传递函数为试求其能控标准型和能观标准型。解：可得系统的能控标准I型为又因为系统能控标准I型与能观标准II型对偶得能观标准II型为3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。解：3—11试将下列系统按能控性进行结构分解（1）A＝，b＝，c＝（2）A＝，b＝，c＝解：（1）构造能控判别矩阵M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系统不完全能控。构造奇异变换阵Rc，R1＝b＝R2＝Ab＝R3＝其中R3任意的，只需满足Rc满秩即Rc＝，则有RＣ－１＝，可得＝RＣ－１ARc＝＝＝RＣ－１b＝，故系统分解为两部分二维能控子系统一维不能控子系统（2）构造能控判别矩阵M＝[b，Ab，A2b]＝，易知rank（M）＝2＜3，故系统不完全能控。构造奇异变换阵Rc，R1＝，R2＝，R3＝，则Rc＝，RＣ－１＝，可得＝＝＝RＣ－１b＝＝＝cRc＝故系统分解为两部分二维能控子系统一维不能控子系统3-12试将下列系统按能观性进行结构分解。（1）解：（1）由已知得则有能能观性判别阵rankN=2<3，该系统不能观构造非奇异变换矩阵，有则（2），，解：系统的能观性判别矩阵，rankN=2<3，系统不完全能观存在非奇异变换阵：，所以，存在二维能观子系统：一维不能观子系统：3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。（1）解：由已知得rankM=3，则系统能控rankN=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取，则则，，（2），，解：系统的能控性判别阵M:rankM=2<4，系统不完全能控存在非奇异变换阵：，所以，按能控性可分解为，能控子系统：不能控子系统：对能控子系统进行能观分解，，，能观判别阵：rank=1<2,系统不完全能观，存在非奇异变换阵：，所以，=1\*GB3①能控能观子系统：=2\*GB3②能控不能观子系统：对不能控子系统进行能观分解：，能观判别阵：rank=1<2，系统不完全能观，存在非奇异变换阵:，所以，=3\*GB3③不能控能观子系统：=4\*GB3④不能控不能观子系统：3--14、求下列传递函数阵的最小实现：解：（1）.W（s）的各元Wik(s)为严格真有理分式，其实现Σ具有（A,B,C）的形式，则有：C（sI-A）-1B=W(s)将C（sI-A）-1B写成按s降幂排列的格式：可得：a0=1，可得到能控标准型的各系数阵：，，该能控标准型的能观性判别矩阵N为：，rankN=1则该能控标准型不完全能观，即该能控标准型不是最小系统。构造变换阵R0-1，将系统按能观性分解：取，则有，则，W（s)的最小实现为：，，（2).W（s）的各元Wik(s)为严格真有理分式，其实现Σ具有（A,B,C）的形式，则有：C（sI-A）-1B=W(s)将C（sI-A）-1B写成按s降幂排列的格式：可得：a0=a1=a2=0，,,可得到能控标准型的各系数阵：，，该能控标准型的能观性判别矩阵N为：，rankN=3<6,则该能控标准型不完全能观，即该能控标准型不是最小系统。构造变换阵R0-1，将系统按能观性分解：取，则有，则，W（s)的最小实现为：，，3-15设和是两个能控且能观的系统（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）和串联当的输出是的输入时，，则rankM=2<3，所以系统不完全能控。当得输出是的输入时，因为rankM=3则系统能控因为rankN=2<3则系统不能观（2）和并联，因为rankM=3，所以系统完全能控3-16从传递函数是否出现零极点对消现象出发，说明图3.18中闭环系统的能控性与能观性和开环系统的能控性和能观性是一致的。图3.18系统结构图解：设W0(s)=(mn)若系统不能控或（和）不能观，则W0(s)有零极点相消，即与有公因子。若系统能控且能观，而无零极点对消，闭环系统的传递函数为Wf(s)=显然Wf(s)和W0(s)能相消的零极点是相同的。所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。第四章稳定性与李雅普诺夫方法4-1判断下列二次型函数的符号性质：（1）Q（x）=-x12-3x22-11x32+2x1x2-x2x3-2x1x3（2）Q（x）=x12+4x22+x32-2x1x2-6x2x3-2x1x3解：（1）Q（x）=xTQ（x）=xTx=xTPx，由于P的2阶主子行列式都大于零，而1、3阶主子行列式小于零，故为负定函数。（2）Q（x）=xTx=xTPx，由于P的1、2阶主子行列式都大于零，而3阶主子行列式小于零，故为非定号性函数。4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即：有解，且解具有负实部。即：方法（2）：系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。取，令，则带入，得到若，则此方程组有唯一解。即其中要求正定，则要求

因此，且4-3以李雅普诺夫第二法确定下列系统原点的稳定性。（1）（2）解：（1）系统唯一的平衡状态是。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即，则=<0是负定的，且，有。故系统在原点处为大范围渐近稳定。（2）系统唯一的平衡状态是。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即，则是负定的，且，有。故系统在原点处为大范围渐近稳定。4-4下列是描述两种生物个数的瓦尔特拉方程：试中，，分别表示两种生物的个数；，，为非0的实数：确定系统的平衡点。在平衡点附近进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。解：令当当在出线性化得A=其特征值当时。系统在平衡点。当时，系统在平衡点在，其特征值若同号，实部位一正一负。系统不稳定。若异号，实部为0.系统不稳定。4-5试求下列非线性微分方程：的平衡点，然后对各平衡点进行线性化，并讨论平衡点的稳定性。解：令则或即系统有两个平衡点(k=0,1,2…n)(k=0,1,2…n)对进行线性化有:即A=特征方程det=()+1=0则==全部有负实部则系统在处稳定（2）对进行线性化有：得A=特征方程det=-1=0则有==有正实部，因此系统在处不稳定。4-6设非线性系统状态方程为：试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：取很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为，则是负定的。，有。即系统在原点处大范围渐近稳定。4－7设线性离散系统的状态方程为:x1(k+1)=x1(k)+3x2(k)x2(k+1)=－3x1(k)－2x2(k)－3x3(k)x3(k+1)=x1(k)试确定平衡状态的稳定性。解: 由题可知，G＝,系统的平衡状态为坐标原点。对于任意给定的正定实对称矩阵Q，取Q＝I，由公式GTPG－P＝－I，解出实对称矩阵P，判断其是否正定，从而得出稳定性的结论。GＴ＝，P＝，则－＝－解得P＝由希尔维斯特判据：＝P11＝－19/78＜0，＝531/6084＞0，－0.90308＜0。可知P不满足条件，故系统在平衡状态不稳定。4-8设线性离散系统的状态方程为：试求在平衡点=0处，系统渐进稳定时k的取值范围。解：已知,则设代入，得：展开化简整理后得：可解出：要使P为正定的是对称矩阵，必须满足：系统在平衡点出才是大范围渐近稳定的。4-9设非线性状态方程为:试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：，有。取则，根据希尔维斯特判据，有：，的符号无法判断。（2）李雅普诺夫方法：选取李雅普诺夫函数为，则是负定的，且，有。故系统在原点处为大范围渐近稳定。4-10已知非线性系统状态方程试证明在时系统是最大范围渐近稳定的。 证明：系统的平衡状态在坐标原点，由于，可取李雅普诺夫函数为由于，非正定，并且时，；时，，即对于或不恒为零，所以坐标原点是渐近稳定的；由于，是大范围渐近稳定的，所以系统是最大范围渐近稳定的。4-11:设非线性系统：试用克拉索夫斯基法确定原点为大范围渐进稳定时，参数a和b的取值范围。解：用克拉索夫斯基法，取P=I.4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数：解：（1）假设V(x)的梯度为：计算V(x)的导数为：选择参数，试选于是得：显然满足旋度方程V(x)是正定的，因此在1-2x1x2>0即x1x2<的范围内，xe=0是渐进稳定的。解题步骤a：假设V(x)的梯度.b:计算V(x)的导数.c:选择参数,得：.d:根据选择参数，重新写出.e:根据公式得出.f:判断是否正定，进而判断稳定性.第五章线性定常系统的综合5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。解：依题意有：，系统能控。加状态反馈阵，，则闭环系统的特征多项式为：=给定的闭环极点为-1，-2，-3期望的特征多项式为：对应系数相等得：23，-50，-9即状态反馈阵为：K=[23-50-9]5-2已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为：-10，。解：依题意有：,=，rankM=3，系统能控。加状态反馈阵，闭环系统的特征多项式为：=给定的闭环极点为：-10，期望的特征多项式为：对应系数相等得：-4，-1.2，-0.1即状态反馈阵为：K=[-4-1.2-0.1]5-3有系统：画出模拟结构图。若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。对于系统有：，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可通过状态反馈任意配置极点。故系统完全能观，故若系统动态性能不满足要求，可通过输出反馈任意配置极点。加状态反馈阵，则闭环系统的特征方程为：=给定的闭环极点为：-3，-3期望的特征多项式为：对应系数相等得：-1,-3即状态反馈阵为：K=[-1-3]5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成若有可能，试求出状态反馈，并画出系统结构图。解：由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为令为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为=由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为:比较与的对应项系数，可得即系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。(1)解：系统的能控阵为：系统能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。（2）解：系统可以分解为以下两个子系统：，以上两个子系统最后一行对应的b阵全为0，故两子系统均不能控，又有,，可得两个子系统的特征根分别为：-2，-2，-2和-5，-5均为负实根，所以两个子系统是渐进稳定的，所以通过状态反馈可以实现系统的镇定。5-6设系统的状态方程为：判断系统能否稳定。系统能否镇定，若能，设计状态反馈阵使之稳定。解：（1）系统的特征方程为：各系数异号且缺项，故系统不稳定。（2）判断系统的能控性：rankM=4,系统完全能控，通过状态反馈可以实现系统的镇定。设状态反馈阵为，使闭环极点配置为：-1，-1，-1，-1则闭环系统特征多项式为：=给定的闭环极点为：-1，-1，-1，-1则期望的特征多项式为：比较对应系数可得所以状态反馈阵为5-7.设计一个前馈补偿器，使系统：解耦，且解耦后的极点为。解：求被解耦传递函数阵的逆：（注：若不存在逆，则该系统不能用前馈补偿解耦。）跟据要求，令解耦后的系统的传递函数阵为：由式，得前馈补偿器的传递函数阵为：即为所求。已知系统：（1）判别系统能否用状态反馈实现解耦（2）设计状态反馈使系统解耦，且极点为。解：求：可知使的最小的是，则；使的最小的是，则。确定D、E阵：（2）E矩阵不满秩，根据能