勾股定理的6种最常用证明方法

勾股定理的常用证明方法证法1】（证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a2a2+b2+4x—ab=2c2+4x丄ab2【证法2】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状.•/RtADAH竺RtAABE,・•・ZHDA=ZEAB・•/ZHAD+ZHAD=90°,・•・ZEAB+ZHAD=90°,・•・ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.•/EF=FG=GH=HE=b—a,ZHEF=90°・・•・EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于(b-a上.4x2ab+(b-a)-=c2. a2+b2=c2.【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上・

•/RtAEAD竺RtACBE,・•・ZADE=ZBEC・•/ZAED+ZADE=90°,・•・ZAED+ZBEC=90°・・•・ZDEC=180°—90°=90°.c1cC2・•・ADEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于2・丈:ZDAE=90°,ZEBC=90°,・•・AD〃BC・・•・ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2°+...*(a...*(a+必=2x—ab+c222【证法4】（邹元治证明）形的面积等于2・把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上形的面积等于2・把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上・•:RtAHAE竺RtAEBF,・ZAHE=ZBEF・:ZAEH+ZAHE=90°,・ZAEH+ZBEF=90°・•・ZHEF=180°—90°=90°・・四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.•RtAGDH竺RtAHAE,ZHGD=ZEHA・baccZHGD+ZGHD=90°,ZEHA+ZGHD=90°・ZGHE=90°,ZDHA=90°+90°=180°・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于（a+b上・(a+b)2=4x丄ab+c22【证法5】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、bB三点在一条直线上，连结BF、CD・过C作CL丄DE,交AB于点M,交DE于点L・•/AF=AC,AB=AD,ZFAB=ZGAD,・•・AFAB竺AGAD,1a2•・•AFAB的面积等于2AGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,・•・矩形ADLM的面积=a2・同理可证，矩形MLEB的面积=b2.•・•正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积c的正方形，把它们拼成如图所示形状G使H、C、KELF/—+矩形MLEB的面积c2=a2+b2，即a2+b2=c2.aba2b2abaabb证法6】（辛卜松证明）A baD设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为+b“二a2+b2+2ab;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个（