有趣的数学课程

有趣的数学课程第1页/共73页第2页/共73页第3页/共73页第4页/共73页第5页/共73页奇妙的几何图形这些竖的线条是直的还是弯的？第6页/共73页这图是动的还是静的？第7页/共73页线段AB和线段CD哪条更长？第8页/共73页第9页/共73页如果按照上面那个用电脑软件画的话,你可以发现那个大三角形的斜边要是直线的话,那么那个红色的三角开的高就不可能是刚好三格.会超出一点.红色的两条直角边的比3：8

绿色的两条直角边的比2：5而那个最上面的蓝绿色其就不是三角形了而是四角的.第10页/共73页四大文明古国的数学埃及巴比伦印度中国第11页/共73页埃及—几何的故乡埃及的金字塔，建于公元前三千年至公元前一千多年，这些古建筑留下了许多数学之谜：谜一：塔底每边长230米，误差小于20厘米．塔高146.5米，东南与西北角误差仅1.27厘米，直角误差仅有12″，方位角误差在2′到5′之间．这样的精确度，现代建筑也望尘莫及．谜二：用石达230万块之多，重量从2.5吨到50吨不等，石块间接缝处连铅笔刀也难插入．第12页/共73页谜三：塔高的10亿倍恰好等于地球到太阳的距离；底边与高度之比的2倍近似等于3.14159，而这是公元3世纪时的人才得到的圆周率的近似值．第13页/共73页谜五：穿过塔的子午线恰好把地球上的陆地和海洋分为均匀的两半，塔的重心正好位于各大陆引力的中心线上．古埃及人靠什么计算方法和计算工具达到如此的精确度呢？科学研究表明，他们已具有丰富的天文学和数学知识．第14页/共73页数是怎么产生的呢？你知道人们古时是怎样记数的吗？用实物记数刻道记数结绳记数第15页/共73页阿拉伯数字的产生

阿拉伯数字并不是阿拉伯人创造的，他们只是起了传播作用。而真正对阿拉伯数字有贡献的，正是古印度人。第16页/共73页17我们说数学之美：是我们能看到它的美，能体会它的美；

会欣赏它的美；否则，“数学是枯燥的”

第17页/共73页比如，对于数字e和，不同的人会有截然不同的看法：因为这两个似乎风马牛不相及的常数，会有那么多令人不解的数字现象。漂亮！1、枯燥，无味，难记；

2、通过观察发现，美极了！把数学中最重要的5个数1、0、e、i、联系在了一起

（五虎大将，五朵金花）美极了！曾获得“最美的数学定理”称号。这个等式被评为2003年全世界自然科学界十大最美公式中的第一名。它美在哪儿？“1”是自然数中最基本的正整数，“0”是复数系中最关键的整数，“π、e”是最常用、最重要的无理数，“i”却是虚数单位。这样几个复数系中最重要、最特殊的数又简洁、又和谐、又奇异地统一在同一个等式中，多么奇妙、多么精彩、多么迷人，大有“神来之笔”之感，令人拍案叫绝。这不仅仅是数学家的一个伟大发现，而是数学本身所具有的内在美，这就是数学美。第18页/共73页前六位有效数字314159是个素数，把它反过来

951413还是素数；314159恰好是三个素数31、41、59连写而成，这三个素数的和，它们的立方和，以及五次方和也都是素数.我国桥梁专家茅以升少年时记忆100位一日本人3小时内背诵15151位，达20页第19页/共73页二、数字美学欣赏奇妙无穷的数字世界毕达哥拉斯学派：对于数字的崇拜达到“神话”的程度；他们崇拜“4”,因为它代表四种元素：火，水，气，土；他们把“10”看成是“圣数”，因为10是由前四个自然数1,2，3，4结合而成。他们还认为：“1”表示理性，因为理性是不变的；“2”表示意见；“4”代表公平，因为它是第一个平方数；“5”代表婚姻，因为它是第一个阴数2与第一个阳数3的结合。第20页/共73页…人们喜欢数字“8”,是因为它意味着“发”，也有人喜欢“6”,因为那意味着“六六大顺”。人们不惜出高价抢注末尾是“8”或“6”的汽车牌号、移动电话号码等。第21页/共73页

上海市出租汽车公司的电话号码为25800000，该公司的宣传广告语“让我拨五个零”。就是借助上海方言对数的谐声让能牢记住这个号码。可见，数字中蕴涵着丰富的文化、蕴涵着美。美国纽约的火警电话号码为“911”，恐怖分子制造了“9.11事件“，就是利用这个号码来统一行动。第22页/共73页第23页/共73页第24页/共73页第25页/共73页第26页/共73页（一）亲和数(相亲数)的奇妙性质1.

（284，220）的美丽传说——远古部落的故事2.《圣经》中的数字文化——以扫与雅各的故事这里的220和284实际是雅各在向哥哥传递和好的信号，以提醒以扫念及手足之情。又是一个284与220第27页/共73页大家拿纸和笔出来，先把220的因子都算出来。

1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、ll0、220。

你算对了吗？

然后扣除220本身，把这些因子加起来。得数是284。

然后把284的因子分解出来。

1、2、4、71、142、284。

同样地，扣除284本身，把所有因子相加，得数是220。

看出来了吗？220的因子总和是284，284的因子总和是220。

这对数学是数学大师毕哥达拉斯发现的，命名为亲和数，也是现如今发现的亲和数中最小的一对。象征着亲密无间，知己。

渐渐的，这对数字有了另一个名字：恋爱数

据说中世纪的时候曾经流行一种成对的护身符，一个刻着220，一个刻着284，用来祈求恋情顺利的。

爱情固然没有数学那样理性，充满了变数和不定。

然而两个数字当中，你中有我，我中有你，宛如一对恋人。

含义是：他的生命里匿隐着她的身影，而她的生命里也藏纳他的灵魂。第28页/共73页也许有人认为，这样的“吻合”极其偶然，抹去迷信的色彩，很难有什么规律蕴涵于其中。恰恰相反，这偶然的“吻合”引起了数学家们极大的关注，他们花费了大量的精力进行研究、探索，终于发现这种数对“不是唯一的。它们在自然数中构成了一个独特的数系。人们称具有这种性质的两个数为亲和数（或相亲数对）。第29页/共73页两个数被称为亲和数对，如果其中任意一个数的所有约数之和等于另外一个数。这里，220和284就是一对亲和数。该学派宣称人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。据说，一个门徒向毕达哥拉斯提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，就是你中有我、我中有你，要象220和284一样亲密。”第30页/共73页

正是由于亲和数对这种“你中有我，我中有你，水乳交融”的特殊性质，教会初期的几百年间有一个习惯：第二对相亲数（17296,18416）于1636年由法国天才数学家费马找到了，当时只有16岁；两千多年后：

关于亲和数的研究是数论研究的一个重要内容是否还有别的亲和数（当然：找亲和数不是一件容易的事），就是为了表达两个人的友谊，每人各佩戴220和284这两个数字中的一个。第三对相亲数（9363548,9437056）于1638年被法国数学家笛卡儿发现；第31页/共73页迄今为止，人们已经找到了1200对“亲和数”，他们要么两个都是偶数，要么两个都是奇数，1750年，伟大数学家欧拉一个人就找到了

59个相亲数对.（2620,2924）是其中最小的一对。

是否存在一奇一偶的亲和数呢？第32页/共73页34×5×11×528119×29×89×(2×1291×528116-1),34×5×11×528119×(23×33×52×1291×528119-1);到1974年为止，人们所知的一对最大的亲和数是：更有趣的是亲和数链:(1)

﹛2115324,3317740,3649556,2797612

﹜;(2)﹛1264460,1547860,1727636,1305184﹜.如果….第一个问题是：您是否还会认为数字很枯燥？第33页/共73页

122=1441022=104041122=125441222=148841132=12769轮换一下212=4412012=404012112=445212212=488413112=96721更一般的（100…02)2=10…040…04倒一下

(200…01)2=40…040…01第二个问题是：您能否回答这是为什么？(二)下面两组数字现象让您看后会为其中的奥妙赞叹不已第34页/共73页“无8数”

，即由1、2、3、4、5、6、7、9八个数字组成的一个八位数——12345679。（三）神奇的“无8数”“无8数”虽然是由普通的八个数字组成的，但是它具有许多奇特的功能。它与几组性质相同的数相乘，会产生意想不到的结果。第35页/共73页36它若是与9、18、27、36、45、54、63、72、81相乘，结果会由清一色的数字组成。

（问：这些数有什么特点？）9的倍数12345679×27＝33333333312345679×36＝444444444

……1234567912345679×9＝11111111112345679×18＝22222222212345679×81＝999999999第36页/共73页37“无8数”不仅能乘出清一色的积，而且还能与12、15、21、24……（3的倍数，其中9的倍数除外）相乘，得出由3个数字组成的“三位一体”这种特殊的结果：12345679×12＝14814814812345679×15＝18518518512345679×21＝25925925912345679×24＝296296296……第37页/共73页38它若是与10、11、13、14、16、17相乘，乘得的积会让8、7、5、4、2、1轮流休息（3、6、9是3的倍数，就轮不到它们休息了）。还有更精彩的：12345679×10＝123456790（数字“8”休息）

12345679×11＝135802469（数字“7”休息）

12345679×13＝160493827（数字“5”休息）

12345679×14＝172839506（数字“4”休息）

12345679×16＝197530864（数字“2”休息）

12345679×17＝209876543（数字“1”休息）第38页/共73页“无8数，真奇妙！”然而，它与10、19、28、37、46、55、64、73相乘，其积会让1、2、3、4、5、6、7、9八个数字轮流做开路先锋，12345679×10＝12345679012345679×19＝23456790112345679×28＝34567901212345679×37＝45679012312345679×46＝56790123412345679×55＝67901234512345679×64＝79012345612345679×73＝901234567第三个问题是：看了“无8数”的展示，你是否会说：数字其实其乐无穷！？

随着人们对“无8数”研究的深入，这种有趣的性质会越来越多地被发现。在神奇的数学王国里，有无数的“宝藏”等待着我们去挖掘。第39页/共73页(五)金字塔内神奇的数字据百度上的调查结果显示史上最神奇的数字是发现于金字塔内的142857第40页/共73页我们把它从1乘到10看看142857×1=14285(7)1*7=7142857×2=28571(4)2*7=14142857×3=42857(1)3*7=21142857×4=57142(8)4*7=28142857×5=71428(5)5*7=35142857×6=85714(2)6*7=42142857×7=99999(9)7*7=49142857×8=114285(6)8*7=56142857×9=128571(3)9*7=63142857×10=142857(0)10*7=70规律:1-6同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。1-6的结果，横竖都有(142857)没有0369神奇吧。有点像"独数"不过是没有0369的独数。乘以7我们会惊人的发现是999999,9+9+9+9+9+9=54(5+4=9)而142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=27(2+7=9)最后，我们用142857乘以142857答案是:2040812244920408122449的前五位+上后六位的得数是多少呢?20408+122449=142857我们把它从1乘到10看看142857×1=14285(7)1*7=7142857×2=28571(4)2*7=14142857×3=42857(1)3*7=21142857×4=57142(8)4*7=28142857×5=71428(5)5*7=35142857×6=85714(2)6*7=42142857×7=99999(9)7*7=49142857×8=114285(6)8*7=56142857×9=128571(3)9*7=63142857×10=142857(0)10*7=70规律:1-6同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。1-6的结果，横竖都有(142857)没有0369神奇吧。有点像"独数"不过是没有0369的独数。乘以7我们会惊人的发现是999999,9+9+9+9+9+9=54(5+4=9)而142+857=99914+28+57=991+4+2+8+5+7=27(2+7=9)最后，我们用142857乘以142857答案是:2040812244920408122449的前五位+上后六位的得数是多少呢?20408+122449=142857第41页/共73页那么把它继续乘下去会发生什么呢?142857×8=11428561+142856=142857142857×9=12857131+285713=285714142857×10=14285701+428570=428571142857×11=15714271+571427=571428142857×12=17142841+714284=714285142857×13=18571411+857141=857142142857×14=19999981+999998=999999142857×15=21428552+142855=142857142857×16=22857122+285712=285714142857×17=24285692+428569=428571..............我们发现，其实142857不管乘以几把得出来的数前后相加总能得到由1.4.2.8.5.7这几个数按一定的顺序组成的数字。第42页/共73页再来看看除法:142857÷7=20408.142857142857142857142857....285714÷7=40816.285714285714285714285714285714..428571÷7=61224.428571428571428571428571428571..571428÷7=81632.571428571428571428571428....714285÷7=102040.714285714285714285714285...857142÷7=122448.857142857142857142...1÷7=0.142857142857...2÷7=0.2857142857142857...3÷7=0.42857142857142857...4÷7=0.57142857142857...5÷7=0.7142857142857...6÷7=0.857142857142857...142857÷2=71428.5142857÷5=28571.4857×857=734449142×142=20164734449-20164=714285还有142857乘以含7的任意数字，算出来的结果的各个数字之和等于36(除77、147、217、287、357......被7整除的外和107、177、207、247、277、307、317、347、377、387......等数值)，如:142857×17=24285692+4+2+8+5+6+9=36142857×27=38571393+8+5+7+1+3+9=36142857×37=52857095+2+8+5+7+0+9=36142857×47=67142796+7+1+4+2+7+9=36......第43页/共73页(八)神奇的0.618(黄金数、黄金比、黄金分割）1.外内比线段：将线段分为两段，使其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整个线段的比.Ax1-xBC第44页/共73页如果每对兔子（一雌一雄）每月能生殖一对小兔子（也是一雌一雄，下同），每对兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔。假定这些兔子都不发生死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年之后会有多少对兔子呢？1）黄金数（0.618）竟然与斐波纳契数列（兔生小兔问题

）有关兔年说兔月份12345678910111213总数1123581321345589144233第45页/共73页2）黄金分割与建筑

世界七大奇迹之一的帕特农神庙法国的埃菲尔铁塔；巴黎圣母院，印度泰姬陵，加拿大多伦多电视发射塔，都有不少与黄金比有关的数据.利用黄金分割率的紫禁城古埃及的金字塔

—斜边137米与高227米之比为0.629

所谓“黄金比”，它具有黄金一样宝贵的性质;艺术上;建筑上.人们发现，这种比例用于建筑上，可除去人们视觉上的凌乱.加强建筑形体上的美感.第46页/共73页古埃及的金字塔，古希腊的巴特农神庙，巴黎圣母院，印度泰姬陵，法国的埃菲尔铁塔；加拿大多伦多电视发射塔。都有不少与黄金比有关的数据.人们发现，这种比例用于建筑上，可除去人们视觉上的凌乱.加强建筑形体上的美感.美观矩形的宽长比

如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具）

风景照片中，

地平线位置的安排

第47页/共73页

黄金分割比，即０.61803398…被达·芬奇称为“神圣比例”．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。

还把黄金分割引入了绘画艺术之中.其名画《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》等就是按黄金矩形来构图的.3）黄金分割与（绘画）艺术维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比第48页/共73页4）人体中也有许多黄金分割点：人的肚脐是人体长的黄金分割点.

而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点.而咽喉则是上肢的黄金分割点。（达到此的认为是最美的）生活中人们最舒适的环境温度为22℃－24℃，为什么？源于体温36℃－37℃与0.618的乘积恰好是22.4℃－22.8℃。第49页/共73页芭蕾舞演员为什么用脚尖跳舞就是因为这样能使观众感到演员的腿长与身高的比例更加符合黄金分割的法则.舞姿显得更加优美.第50页/共73页……….

小康型消费价格=0.618×（高档消费价格－低档消费价格）+低档消费价格图示如下：·０.６１８●小康消费价高档消费价低档消费●●5）黄金分割与消费——黄金一样的价值小康型购物公式

第51页/共73页举例来说：若你需要购买一台手提电脑，据调查，得知高档价格在12800元左右，低档价格在2800元左右，那么您的小康消费水准为：（12800－2800）×0.618+2800＝8980元.换句话说，价格为8900元左右为宜.这正是大多数电脑爱好者喜欢且接受的档次.上述公式对指导商品生产等也有实际价值.(你不妨试一试,黄金数在投资中的应用)

第六个问题是：

您是否觉得数字其实很惊奇？第52页/共73页巴比伦—代数的源头会开平方、开立方，并有平方、平方根、立方和立方根表．知道二次方程的求根公式．第53页/共73页高斯的故事

10岁那年，有一天，数学老师出了一道算术题，说：“你们算一算，1加2加3，一直加到100等于多少?谁算不出来，就不准回家吃饭。”说完，老师就坐在椅子上，用目光巡视着趴在桌上演算的学生。不到一分钟的工夫，小高斯站了起来，手里举着小石板，说：“老师，我算出来了......”老师低头一看，只见上面端端正正的写着“5050”，不禁大吃一惊。他简直不敢相信，这样复杂的数学题，一个10岁的孩子，用不到一分钟的时间就算出了正确的得数。要知道，他自己算了一个多小时，算了三遍才把这道题算对的。他怀疑以前别人让小高斯算过这道题。就问小高斯：“你是怎么算的?”小高斯回答说：“我不是按照1、2、3的次序一个一个往上加的。老师，你看，一头一尾的两个数的和都是一样的：1加100是101，2加99时101，3加98也是101......一前一后的数相加，一共有50个101，101乘50，得到5050。”第54页/共73页从发掘出来的材料来看，中国是使用十进制最早的国家．到周代已有了四则运算的记载．春秋战国时代已有了乘法口诀．中国古代数学第55页/共73页祖冲之（429—500）是我国南北朝杰出的数学家、天文学家，他在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算．他算出的圆周率的真值在3.1415926和3.1415937之间．这两个近似值准确到小数第7位，是当时世界上最先进的结果，直到15世纪，阿拉伯数学家卡西才得到更好的结果．他还给出了圆周率的密率355/113（≈3.1415929），而这个结果直到16世纪才被德国人奥托和荷兰人安托尼斯重新发现．领先世界一千年——祖冲之第56页/共73页军事中的数学应用军事运筹学

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军事边缘参数

2军事密码学3战争中的数学规律4第57页/共73页1990年，伊拉克点燃了科威特的数百口油井，浓烟遮天蔽日。美国及其盟军曾严肃地考虑点燃所有油井的后果。这还不只是污染，因为满天烟尘，阳光照不到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，就会造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态和经济后果。据美国《超级计算评论》杂志披露，五角大楼委托太平洋赛拉研究公司研究此问题。这个公司利用流体力学的基本方程，以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论：点燃所有科威特油井的后果是严重的，但只会波及到海湾地区以及伊朗南部、印度和巴基斯方程在海湾战争中的应用第58页/共73页坦北部，不会失去控制，不会造成全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可挽回的损失，亦即不至于产生全球性的后果。这样促使美国下定决心，进兵伊拉克。美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间便结束了海湾战争，这是由于运用了运筹学和优化技术。因此，人们说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理战争(原子弹)，而海湾战争是数学战争”。第59页/共73页巴顿的战舰与浪高

1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距离美国4000公里的摩洛哥，在11月8日凌时晨登陆。11月4日，海面上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，我将按原计划行动。第60页/共73页

11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军”拿将士的生命作赌注。

其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住“可怕的机会”，突然出现在敌人面前。第61页/共73页现代战争作战模拟

马克思说过：“理论只有能够使用数字语言加以描述时，它才真正上升为科学。”战争理论以及整个军事科学也不例外。数字更深刻地把握住了战争逻辑，将整个模拟过程量化，从而使兵棋模拟与传统沙盘作业和图上推演等区别开来，并在战争实践中积累了大量应用经验。像日本袭击珍珠港、德国闪击法国、闪击苏联，英国的北非战役，美国对中途岛海战、诺曼底登陆等著名作战计划，均应用了作战模拟方法。

第62页/共73页现代科技与数学

数学是计算机的基础，许多天才程序员本身就是数学尖子

计算机科学实际上是数学的一个分支。计算机理论其实是很多数学知识的融合，软件工程需要图论，密码学需要数论，软件测试需要组合数学，等等校园铃声自动控制程序Ifbutton=vbOKThenEndElseExitSubEndIfEndSubPrivateSub下课铃_Click()sndPlaySound"D:"铃声自动控制"下课铃.wav",&H1EndSubPrivateSub预备铃_Click()sndPlaySound"D:"铃声自动控制"预备铃.wav",&H1EndSub第63页/共73页丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？

动物中的数学“天才”第64页/共73页真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。

第65页/共73页为什么自行