极限的求解方法

本文格式为Word版，下载可任意编辑——极限的求解方法求函数极限的方法和技巧

1、运用极限的定义

2、利用极限的四则运算性质

若limx?xf(x)?Alimg(x)?B

0x?x0(I)limx?x?f(x)?g(x)??lim?xf(x)?limg(x)?A?B

0x0x?x0(II)limx?x?f(x)?g(x)??limf(x)?limx?xg(x)?A?B

0x?x00(III)若B≠0则：

limflimf(x)x?x(x)0Ax??

x?0g(x)limx?xg(x)B0IV）limx?xc?f(x)?c?lim?xf(x)?cA（c为常数）

0x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立3、约去零因式（此法适用于x?x00时,0型）

例:求x3?x2?16xxlim?20??2x3?7x2?16x?12

3解:原式=?x?3x2?10x???(2x2?6x?20)xlim??2?x3?5x2?6x?(2x2?10x?12)lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x2?5x?6)

x??2=(x2?3x?10)xlim?6)=lim(x?5)(x?2)??2(x2?5xx??2(x?2)(x?3)=x?5xlim

??2

x?3??74、通分法（适用于???型）

1

（=例:求lim(x?241?)

4?x22?x

解:原式=lim4?(2?x)

x?2(2?x)?(2?x)(2?x)

x?2(2?x)(2?x)11?

x?22?x4

=lim

=lim5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）

设函数f(x)、g(x)满足：（I）limf(x)?0

x?x0(II)g(x)?M(M为正整数)则：limg(x)f(x)?0

x?x0例:求limx?sinx?01x解:由limx?0而sinx?01?1x故原式=limx?sinx?01?0x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若：limf(x)??则lim1?0f(x)(II)若:limf(x)?0且f(x)≠0则lim例:求以下极限①lim1??f(x)11②lim

x??x?5x?1x?12

解:由lim(x?5)??故lim

1?0

x??x??x?51由lim(x?1)?0故lim=?

x?1x?1x?17、等价无穷小代换法

设?,?',?,?'都是同一极限过程中的无穷小量，且有：?~?,?~'?，

'?'

lim'存在，

????'

则lim也存在，且有lim=lim'

???1?cosx2例:求极限lim2

x?0xsinx2(x2)2解:sinx~x,1?cosx~

2222(x2)21?cosx22?1

=?lim2x?0xsinx22x2x2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、

差出现时，不要轻易代换，由于此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数〞

8、利用两个重要的极限。

(A)limsinx1?1(B)lim(1?)x?e

x?0x??xx但我们经常使用的是它们的变形：

sin?(x)?1,(?(x)?0)?(x)

1(B')lim(1?)?(x)?e,(?(x)??)?(x)(A')lim例：求以下函数极限

3

(1)、limax?1x?0x(2)、limlncosaxx?0lncosbx解：（1）令ax?1?u,则x?ln(1?u)ax?1ulnalna于是x?ln(1?u)又当x?0时，u?0故有：limax?1x?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnalnau?0ln(1?u)?limu?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]?(cosbx?1)]

x?0ln[1?limln[(1?(cosax?1)]cosbx?1x?0cosax?1?cosax?1

ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1sin2ax?2sin2?2x(ax)2(bx)2?lim2?lim2?2b2?2sin22

x?0?bx?0baa2xsin22x(2x)2(bx)22、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。

(i)若f(x)在x?x0处连续，则limx?xf(x)?f(x0)0(ii)若f[?(x)]是复合函数，又limx?x?(x)?a且

0f(u)在u?a处连续，则limx?xf(?(x))?f[limx?x?(x)]?f(a)00例：求以下函数的极限

4

9(1)、limexcosx?51?x2?ln(1?x)（2）x?0limln1(?x)x?0x解：由于x?0属于初等函数f(x)?excosx?51?x2?ln(1?x)的定义域之内。故由函数的连续性定义有：limexcosx?5x?01?x2?ln(1?x)?f(0)?6

ln(11

(2)、由?x)x?ln(1?x)x1令??x??(1?x)x故有：11limln(1?x)x?0x?limx?0ln(1?x)x?ln(limx?0(1?x)x)?lne?110、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不一致的极限类型）特别地有：llimxk?1x?1n?mlx?1nkm、n、k、l为正整数。m例：求以下函数极限①lim1?nxx?11?mx(m、n?N)②lim(2x?3x??2x?1)x?1解:①令t=mnx则当x?1时t?1,于是

1?tm原式=limt?11?tn?lim(1?t)(1?t?t2????tm?1)t?1(1?t)(1?t?t2????tn?1)?mn②由于lim(2x?3x?