计数原理与概率统计练习

632222232222(3232)2356 由计算可见：这5名男生成绩的方差大于这5 成绩的方差.故C对本题答案D：成绩的平均数：由计算可见：这5名男生成绩的平均数小于这5名 本题答案或乙被录用的概率为 （A）3

(B)5

5

（D）5解析：采用对立处理本题，5选3的总的可能性是C3种，甲或乙都没被录用的可能性5 C C3种，故甲或乙被录用的概率为：P131 C5 C5本本题答案3

若x

a的展开式中x4的系数为7，则实数a 3838 解析：本题采用二项式定理：采用二项式展开式的通项

Cranrbr a

本题x Crx8r )r3333 a

8r3其二项式展开式的通项为：Crx8r )rarCrx8rx3arCr3 x的指数为4，即8rr4，则r3 于是x4的系数为arCra3C3

8!3!5!已知x4的系数为7，则

8!a37a3

7

1，即a3!5!

87 故：本题答案故：本题答案a2 解析：参观券分成4份，则两张参观券连号的可能性是4种4然后4人的排列方法有A4424种.故：不同的分法种数是42496种4答案答案例5、已知离散型随量X的分布列X123P3315则X的数学期望EX 32

C．2

D．解析：由X的数学期望得EXx

x

x

32

33

151 2 3本题本题答案

6、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值为E(X)

5

5解析：首先X的取值有X0的小正方体，共有33327X1的小正方体，共有63354；对X2的小正方体，共有12336；对X3的小正方体，共有8.全部共有125（个则关于变量X的分布列为X0123P8由X的均值得EXxpxpxpx

02715423631 2 3 4

5423638547224150 故：故：本题答案①y与x负相关且y2.347x6.423 ②y与x负相关且y3.476x5.648③y与x正相关且y5.437x8.493 ④y与x正相关且y4.326x4.578其中一定的结论的序号是 D．①④解析：首先：y与x负相关中①不正确，①是正相关；其次：y与x正相关中④不正确，④是负相关故故：本题答案例8、某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习 著差异，拟从全体学生中抽取100名学生，则宜采用的抽样方法是A．抽签 B．随机数 C．系统抽样 D．分层抽样解析：A.抽签法：总体编号，搅拌均匀，随机抽取B.随机数法：将学生编500号从000499，随机选定一个随机数表上开始的数字然后按向上或向下或向左或向右按一定规则抽取100个号 平均分成相等的几部分，例如每部分为人，于是男生 各5组，每组100人.每组按一定规则抽取10人D.分层抽样法：总体差异明显时，按差异分层，互不交叉，各层按比 的差异，则宜采用系统抽样法，此时答案C；如果重点是学 与业 方面差异，则宜采用分层抽样法，此时答案本题存在理解差异，理解不同，答案也不同，是一个老师拥有最终解释权的是是一个坏题9、某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120，8060。为了解它们的产品质量是否存在显著差异用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n 解：分层抽样法：丙车间的产品中抽取比例为解

，那么 即：n3，即n326013

12080 故本故本题答案运动第一第二第三第四第五甲乙例10、抽样统计甲、运动第一第二第三第四第五甲乙 x87919089939031013 方差为s2

(x1x)2(x2x)2...(x5x)25(3)2(1)202(1)2(3)2 乙的平均成绩为x89909188929010122 方差为s2

(x1x)2(x2x)2...(x5x)25(1)202(1)2(2)2(2)2 本题答案故：乙的方差较小，即乙的成本题答案例11、现在某类记作XmYn，其中正整数m,n（m7，n9）可以任意选取，则m,n都 m的奇数有4n的奇数有5，则mn都是奇数的方法有4520故mn都取到奇数的概率为P45207 本本题答案P例12、总体有编号为01,02,…,19,20的20个组成。利用下面的随机数表选取5个，是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来 随机数表的第一个数字7816第1的第5，开始的位置是第6本题开始的位置不清，到底是第5列还是第6列？按标准答案的意思随机数表的第一个数字7816第1的第5，开始的位置是第6那么：第一个数字65>20，去掉往后选，直到08；接着往后第二个数字02；接着往第三个数字63>20,去掉往后选，直到14；接着往后第四个数字07；接着往后第五个数字02，已选，划掉往后选，直到故：选出来的第5个的编号为 本题答案例13、集合A2,3，B1,2,3，从A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概 A.3

B.2

C.3

D.62解析：从AB中各取任意一个数，共有C1C16种方法2这两个数之和等于4的有224314，两种方法于是答案为：P21 答案 例14、某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次20,40,40,60,60,80,20,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ （A） （B）（C） （D）解析：频率分布直方图x轴是各分组的区间，y轴是频率与组距之比.低于60分的人数频率为(0.010.005200.3即：

(A)nA0.3，这里A “低于60分”，n“低于60分的人数n已知

n15，由图得到

A0.3，则总人数n

fn(

故本故本题答案15）x1x21成立的概率为在区间[3,3]上随机取一个数x，使解析：这是典型的几何设fxx1x2，则将fx分段将区间[33以绝对值为0点进行分段0”分别在x1x2于是，区间分为[3,1)，[1,2)和[2,3各区间的函数为f(x)f(x)

x1x2(x1)[(x2)]x1x2(x1)[(x2)]2x

x[3,1)x[1,2)此时，当fx)1时，x1.即在x[11时，fx1；在x[12时，fx)1.f(x)

x1x2(x1)(x2)

x[2,可见，在x[13区间，fx1由几何概型得使得x1x21成立的概率P3121 答案3 16将某选手的9得分去掉1最高分去掉1最低分，7剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：879401

x9则7个剩余分数的方差为 9

7

(D)67解析：茎如图，则9个分数分别为：87、87、94、90、91、90、90x、99、91去掉1个最高分99，去掉1个最低分87后剩余的7个数分别为：87、94、90、91、90、90x、平均分为x879490919090x791431011x091x 由平均分为91x故7个剩余分数为：87、94、90、91、90、94、

x)2(xx)2...(

x)2方差为s2

7(4)232(1)202(1)232027169119 本题本题答案例17、某单位有840名职工,现采用系统抽样方法,抽取42人做问卷,将840人按2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为 (A) (B) (C) (D)区间[481,720]的人数是：720-481+1=240.编号落入区间[481,720]的人数为本题本题答案

240=1218、对一批产品的长度(单位mm)进行抽样检测,下图喂检测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率为（） (C) (D)解析：本题重点是频率与概率⑴频率是概率的近似值⑵频率本身是随机的，试验过程中是不确定的⑶而概率是一个确定的值，与试验次数无[25,30合计为0.09.现计算从该批产品中随机抽取一件,则其为二等品的概率P为P

0.090.020.040.060.05 故本故本题答案,例19非零常数d是等差数列x1x2x3,x1,x2,x3 ,x19，则方差D ,解析： 量的分布列是一个等差数列x1,x2,x3,

的公差，随机变等可能地取分布的平均数为：Dx1x19 x9d 其方差为D

(x1x)2(x2x)2...(x19x)2(9d)2(8d)2...(8d)2(9d2d (1

...9 1222...n2n(n1)(2n1)得61222...929(91)(291)1562d 151930d本题本题答案30d例20、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮。那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ （A）4

（B）2

（C）4

（D）8404以时间为轴作xy404x0、x4和y0、y4区间就是两串彩灯始闪亮的区域即x0x4和y0、y4两者相差不超过2秒，即xy2和yx2，即：yx2和yx2.yx2和yx2这两条直线也画出x0、x4、y0、y4、yx2、yx2构成的区域就是相差不超过2秒这是几何概型，由所占区域大小来计算概率P4 12 16 P 4 本题答本题答案例例21、某学校随机抽取20个班 各班中有网上购物 如图所示以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时所作的频率分布直方图是 解析：由茎可知，20个班有网上购物经历的人数如下表班123456789人班人以组距为5将数据分组后列表如下组[0,[5,[10,[15,[20,[25,[30,[35,人11424332对比图形，应该是本题本题答案221x6x 的二项展开式中的常数项为221x6 解析：二项展开式中的通项为：

对于本题通项为：

Crxnr

1)r(1)rCrxnr

2(1)rCr

nr2xr x通项为常数项时有6rr0r42故，本题的常数项为(1)4C4x0C4C265 1本本题答案为23、一个盒子里装有7卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为12,34;白色卡片3编号分别为234.从盒子中任取4卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相求取出的4卡片中,含有编号为3片的概率在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随 量X的分布列和数7解析：(Ⅰ)共有7张卡片，从中任取4张卡片的方法有C75其中不含编号为3的卡片的方法有C5 故，含有编号为3的卡片的方法有C4C 则含有编号为3的卡片的概率为答案：7C4C答案：7P 5151 C C 1(Ⅱ)红色卡片编号的最大值设为X，则X123X1时，排除掉红色卡2,3,4，还有4张卡，故

1C4 X2时，排除掉红色卡3,4，还有5张卡，选取的4张卡中含有红其余还有4选3，故p1C3nX3时，排除掉红色卡4，还有6张卡，选取的4张卡中含有红其余还有5选3，故p1C3nX4时，选取的4张卡中含有红4.其余还有63，故

1C3 上面式子中的nnC4C3C3 故n14465411 12

n于是

1C4

1，

1C3

4，

1C3102，

1C320

n

n

量X的分布列为X1234P142747其数学期望为EX1

1243244

1830

119

本题答案：本题答案：(Ⅰ)6；75产品编质量指标(xy产品编质量指标(xy24、某产品的三个质量指标分别为x,yz,用综合指标产品编质量指标(xy产品编质量指标(xy利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品在该样品的一等品中,随机抽取两件产品,设B“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求B发生的概率.解析：(I)从列表中可知，10产品中有A1A2A4A5A7A96一等品故故一等品率为(II6一等品中S4的有A1A2A5A746一等品中随机抽取2产品，其综合指标恰为S4的概率为超几何分布即在含有4S46一等品中，任取2，其中恰有2S4产品C2C 超几何分布的概率P为：P464 C6 C6本题本题按超几何分布来作，答案P525x5设二项式 1的展开式中常数项为A，则A25x533 解析：由二项式定理得展开式中的通项为：T

5r 5r3本题CranrbrCr(x)5r )r(1)rCrx2x3(1)rCrx23 对于常数项5rr0，即153r2r0r 则常数项A(1)3C35410 1本题本题答案：26、设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个篮球，且规定：取出一个红球得1取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．当a3b2c1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记 量为取出此球所得数．若E5D5，求abc 解析：(I)任取2球（有放回）时，最低2，最高分为6有放回的取球，每次取球时概率相等，则每次取球都是独立；无放回的取球，前次取球对后次有影响，每次取球就不是独立①红球+红球

P(2)3316 ②红球+黄球、黄球+红球

P(3)322316 6 ③红球+篮球、篮球+红球、黄球+黄球P(4)311322106 6 6 ④黄球+篮球、篮球+黄球P(521126 6 ④篮球+篮球P(6)11则的分布列为

6 23456P14135191(II)任取一个球所得分数为12当1时，即取1球，概率p1

ab当