经济数学微积分 其次版其次章第六节无穷小的对比

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第六节

无穷小的比较

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一、无穷小的比较2例如,当x0时,x,x,sinx都是无穷小.x22limx比3x要快得多;0,x0观3x察sinxsinx与x大致一致;1,各limx0x极限sinxsinx1lim2lim()x0xx0xx0(型)0sinx比x2要慢.

极限不同,反映了趋向于零的“快慢〞程度不同.

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定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且0.(1)假使lim0,就说是比高阶的无穷小,记作o();(2)假使lim,就说是比低阶的无穷小.(3)假使limC0,就说与是同阶的无穷小;特别地，假使lim1,则称与是等价的无穷小;记作~;

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(4)假使limkC0,k0,就说是的k阶的无穷小.

例如，x2lim0,x03xsinxlim1,x0x

即xo(3x)(x0).2

当x0时，x2是比3x高阶的无穷小;

即sinx~x(x0).

当x0时，sinx与x是等价无穷小.

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例1证明:当x0时,tanxsinx为x的三阶无穷小.

tanxsinx解limx0x31sinx1cosxlim()2x0cosxxx1sinx1cosx1limlimlim,2x0cosxx0xx0x2tanxsinx为x的三阶无穷小.

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定理1与是等价无穷小的的充分必要条件为o().称是的主要部分.

证

必要性设~,limlim10,o(),即o().充分性设o().

o()o()lim(1+)1,limlim~.

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意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式.12例如,当x0时,sinx~x,1cosx~x.2sinxxo(x),1yx2121cosxxo(x2).22

y1cosx

常用等价无穷小:当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)12xx~e1,1cosx~x,(1x)a1~ax(a0)2

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二、等价无穷小代换定理2(等价无穷小代换定理)设~,~且lim存在,则limlim.

证

limlim()limlimlimlim.

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tan2x例3求lim.x01cosx2

12解当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.22(2x)原式lim8.x012x2若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限.

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(x1)sinx.例4求limx0arcsinx

解

当x0时

,sinx~x,arcsinx~x.(x1)xlim(x1)1.原式limx0x0x

注意

不能滥用等价无穷小代换.

切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.

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tanxsinx例5求lim.3x0sin2x错解当x0时,tanx~x,sinx~x.

xx原式lim30.x0(2x)

解

当x0时,sin2x~2x,

13tanxsinxtanx(1cosx)~x,213x12.原式lim3x0(2x)16

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三、小结1.无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.

高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.

2.等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.

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思考题任何两个无穷小都可以比较吗？

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思考题解答不能.例当x时

1sinx都是无穷小量f(x),g(x)xxg(x)limsinx不存在且不为无穷大但limxf(x)x故当x时f(x)和g(x)不能比较.

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练习题一、填空题：tan3x1.lim=__________.x0sin2xarcsinxn2.lim=________.mx0(sinx)ln(12x)3.lim=_________.x0x1xsinx14.lim=________.2x0xarctanxxn5.lim2sinn=________.n2

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(1ax)16.lim=_________.x0x37.当x0时,axa(a0)对于x是_______阶无穷小.n8.当x0时,无穷小1cosx与mx等价，则m_______,n_______.二、求以下各极限：tanxsinx1.limx0sin3x;eelim2.;sinxsinx3.lim;x0x

1n

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tanxtana.4lim.xaxa三、证明：若,~0().是无穷小，则

四、设f(x)=lim

2nx2n1求：1、f(x)的表达式.2、确定a,b的值,使得limf(x)f(1),x1

x

2n1

sin

xcos(abx)

limf(x)f(1).

x1

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练习题答案3一、1.;2

0,mn2.1,mn;3.2;,mna6.;n

4.;

5.x;1二、1.;2

7.3;

18.,2.2

2.e;

3.;4.sec