自动控制原理其次章1

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其次章控制系统的数学模型

其次章控制系统的数学模型第一节控制系统的时域数学模型其次节控制系统的复数域数学模型第三节控制系统得结构图和信号流图

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其次章控制系统的时域数学模型

第一节控制系统的时域数学模型一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立三、线性定常系统与叠加原理四、线性微分方程式的求解

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第一节控制系统的时域数学模型

一、建立系统微分方程的一般步骤(2)建立初始微分方程组。)建立初始微分方程组。一个系统寻常是由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出的根据各环节所遵循的基本物理规律，分根据各环节所遵循的基本物理规律，别列写出相应的微分方程，别列写出相应的微分方程，并构成微分方便可求出整个系统的微分方程。来，便可求出整个系统的微分方程。程组。程组。(3)消除中间变量，将式子标准化。)消除中间变量，将式子标准化。列写系统微分方程的一般步骤：列写系统微分方程的一般步骤：将与输入量有关的项写在方程式等号右(1)确定系统的输入变量和输出变量。)确定系统的输入变量和输出变量。与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。

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第一节控制系统的时域数学模型

二、常见环节和系统微分方程的建立1.RC电路.电路(2)建立初始微)分方程组ur=Ri+ucduci=Cdt(3)消除中间变量)消除中间变量,使式子标准化R+uriC+uc-

(1)duc+u=u)确定输入RCdtc量和输出量r输入量：输入量：urRC电路是一阶常系电路是一阶常系数线性微分方程。数线性微分方程。输出量：输出量：uc

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第一节控制系统的时域数学模型

2.机械位移系统.系统组成：系统组成：弹簧系数k阻尼系数质量m弹簧系数阻尼系数f输入量F(t)输出量y(t)FB(t)F(t)kFK(t)mf

y(t)

初始微分方程组:初始微分方程组根据牛顿其次定律F=ma

F(t)–FB(t)–FK(t)=ma

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第一节控制系统的时域数学模型

中间变量关系式:中间变量关系式FK(t)=ky(t)dy(t)FB(t)=fdtd2y(t)a=dt2消除中间变量得:消除中间变量得F(t)FB(t)fkFK(t)m

y(t)

d2y(t)dy(t)m+f+ky(t)=F(t)2dtdt

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电阻R、电容C、组成的电路如下图，例：电阻、电容、电感L组成的电路如下图，试写出组成的电路如下图以ur(t)为输入量、uc(t)为输出量的电路微分方程。为输入量、为输出量的电路微分方程。为输入量为输出量的电路微分方程解：设回路电流为i(t),由基尔霍夫定律可写出回路方程为ur(t)=uL(

t)+uR(t)+uC(t)LRdi(t)uL=Ldtur(t)i(t)uc(t)CuR=Ri(t)1uc=∫i(t)dtC消除中间变量，可得：消除中间变量，可得：d2uC(t)du(t)LC+RCC+uC(t)=ur(t)dt2dt

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第一节控制系统的时域数学模型

三、线性定常系统与叠加原理系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。入量各阶导数以及系统的一些参数构成。1、系统微分方程的一般表达式(标准形式)为：、系统微分方程的一般表达式(标准形式)dnc(t)adn-1c(t)dc(t)ac(t)a0a+nn+1dtn-1++n-1dtdtdmr(t)+bdm-1r(t)+bdr(t)+br(t)=b0m1m-1mm-1+dtdtdt式中，式中，c(t)——系统输出量系统输出量r(t)——系统输入量系统输入量ai(i=1,2,…,n),bj(j=1,2,…,m)为微分方程的系数为微分方程的系数

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第一节控制系统的时域数学模型2.根据系统微分方程对系统进行分类：根据系统微分方程对系统进行分类：1)线性系统：方程中只含有变量c(t),r(t)及其各阶导数线性系统：方程中只含有变量及其各阶导数a)线性定常系统a0,…,an;b0,…,bm为常数线性定常系统：b)线性时变系统a0,…,an;b0,…,bm为时间的函数线性时变系统：2)非线性系统：参数与变量有关,或者方程中含有变量及非线性系统：参数与变量有关,其导数的高次幂或乘积项3.线性系统满足叠加原理：线性系统满足叠加原理：r1(t)c1(t)线性系统r2(t)ar1(t)+br2(t)线性系统线性系统c2(t)ac1(t)+bc2(t)

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第一节控制系统的时域数学模型

叠加原理的意义：叠加原理的意义

对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。对于线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。因在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，此，在分析多个输入加在线性系统上而引起的总输出时，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，可以先分析由单个输入产生的输出，然后，把这些输出叠加起来，则可能求得总的输出。叠加起来，则可能求得总的输出。

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第一节控制系统的时域数学模型

四、线性微分方程式的求解线性微分方程式的求解求解方法：求解方法：1)解析法2)拉普拉斯变换法计算机求解。3)计算机求解。拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤：拉普拉斯变换法求解微分方程的步骤：1、考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉氏变换，、考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉氏变换，变成变量S的代数方程；变成变量S的代数方程；2、由变量的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式；的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式；

、由变量S的代数方程求出系统输出量的拉氏变换式3、对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，得到系统、对输出量的拉氏变换式进行拉氏反变换，微分方程的解。微分方程的解。

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第一节控制系统的时域数学模型

将方程两边求拉氏变换得：解：用一个例子来说明采用拉氏变换法将方程两边求拉氏变换得：解线性定常微分方程的方法。解线性定常微分方程的方法。s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)已知系统的微分方程式，例已知系统的微分方程式，求系统的R(s)=1输出响应。输出响应。11C2c(t)s2+dc(t)=(s+1)2+1(s)=d2s+2+2c(t)=r(t)