导数在实际生活中的应用课件苏教版选修

第1章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用一、知识回顾：1、求函数最值的常用方法：(1)利用函数的单调性;(2)利用函数的图象;(3)利用函数的导数．2、用导数求函数f(x)的最值的步骤:(1)求f(x)在区间[a,b]内极值(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．二、新课引入:

导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题.1.几何方面的应用2.物理方面的应用3.经济学方面的应用(面积和体积等的最值)(利润方面最值)(功和功率等最值)例1

：在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？三、新课讲授1.几何方面的应用：

因此，16000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3.解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积令，解得x=0（舍去），x=40，并求得：V(40)=16000解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则令

解得，，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即: h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值及时训练1、把长为60cm的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时矩形的面积最大？

[方法一]S=x(30-x)=-x2+30x,是x的二次函数当x=15时，S最大

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大解：设长为xcm,则宽为30-xcm，0<X＜30[方法二]S=x(30-x)≤

=225，等号成立x=30-x=15

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大[方法三]S=x(30-x)=-x2+30x,S’=-2x+30,0<X<15时，S’>0,S(x)↑；x>15时S’<0,S(x)↓；∴当x=15时，S极大，在定义域内无其他极值，故S最大

答：长、宽都为15cm时，矩形的面积最大说明1：解应用题一般有四个要点步骤：设--列--解--答

说明2：用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极值及端点值比较即可。

三、新课讲授2.物理方面的应用：例3

在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻Ｒ为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少?rεR解：电功率P＝I2R，其中I＝E/(R+r)为电流强度，则P＝[E/(R＋r)]2R=E2R/(R＋r)2由P’＝0，解得：R=r列表分析，当R=r时，P取得极大值，且是最大值。最大值为P＝E2/(4r)答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大电功率是E2/(4r)例4:强度分别为a,b的两个光源A,B的距离为d,试问:在连接两光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)APBx3-x解:如图,设点p在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(0<x<3).P点受A光源的照度为（其中，k为比例常数）解得x=2,故当0<x<2时，因此，x=2时，I取得极小值，且是最小值。答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小。2.

如图：质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀速圆周运动，角速度为2rad/s,设A（10，0）为起始点，时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.PyXAMoN角的弧度数为___2t分析：求M点位移的变化率。及时训练例5在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x);出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x);R(x)-C(x)称为利润函数，记为P(x).（1）设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x，生产多少单位产品时，边际成本C’(x)最低?（2）设C(x)=50x，产品的单价p=100-0.01x，怎样定价可使利润最大？三、新课讲授3.经济学中的应用：3.

某产品制造过程中，次品数y依赖于日产量x，其函数关系为y=3x/(100-x)(x≤96)；又该产品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就损失a/3元．为获取该产品的最大利润，日产量应为多少？解：设利润为P（x）,则P（x）=y(-a/3)+a(x-y)即：由：得：或（舍去）列表分析得：当日产量为80时，能获得该产品的最大利润。四、课堂小结用导数求函数f(x)的最值的步骤:(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(1)求f(x)在区间[a,b]内极值;(极大值或极小值)；注意：若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极大值(或极小值)，则该极大