《概率统计教学资料》第2章随机变量及其分布5-7节

2023/4/1312023/4/131在实际问题中，可能遇到多个随机变量的情形，如：1)

射击问题中,对于弹着点往往需要横坐标和纵坐标描述;2)

研究学龄前儿童的发育情况，观察身高,体重等;3)

具体评价产品的质量,可能有多个评价指标如尺寸,外形,外包装等.第五节二维随机变量2023/4/1312023/4/1322023/4/1321）定义：设

E

是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S

上的随机变量。由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量，或二维随机变量。SeX(e)Y(e)一、二维随机变量及其分布函数2023/4/1322023/4/1332023/4/133注意事项2023/4/1332023/4/1342023/4/1341）定义3.联合分布函数yo(x,y)(X,Y)2）几何意义2023/4/1342023/4/1352023/4/1353）一个重要的公式yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2023/4/1352023/4/1362023/4/136定义若X,Y均为离散随机变量，则(X,Y)

为二维离散随机变量,且二、二维离散随机变量1.二维离散随机变量的联合分布律为(X，Y)的分布律或联合分布律.2023/4/1362023/4/1372023/4/137YX………………………………其中2023/4/1372023/4/1382023/4/138例1一枚硬币一面刻有数字1，另一面刻有数字2.

将硬币抛两次，以X表示第一次、第二次出现的

数字之和.以Y表示第一次出现的数字减去第二次出

现的数字，求（X,Y）的分布律，P(X+Y>2).

解：所有样本点(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)XY-101201/4031/401/4401/40对应的X取值为：2，3，3，4Y取值为：0，-1，1，02023/4/138三、二维连续随机变量1.二维连续随机变量定义设X,Y均为连续随机变量，2023/4/139联合概率密度的性质：这个公式非常重要！几何解释随机事件的概率=曲顶柱体的体积2023/4/1310例3(1)试确定常数k；(2)求概率P(Y<X/2).11O

xy解(1)由2023/4/1311例3(2)求概率P(Y<X/2).解(2)事件{Y<X/2}={(X,Y)∈D}2023/4/1312例42023/4/13132023/4/13142023/4/1315x+y=12023/4/1316二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的.

问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题

第6节边缘分布2023/4/1317一、二维离散型R.v.的边缘分布X的边缘分布Y的边缘分布2023/4/1318设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：求随机变量X与Y的边缘概率函数。X

Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/5012023/4/1319二、二维连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：求随机变量X()xfX(){}xXPxFX£=由()òò¥-+¥¥-úûùêëé=xdxdyyxf，=P(X≤x,-∞<Y<+∞)2023/4/1320同理，由(){}yYPyFY£=()òò¥-+¥¥-úûùêëé=ydvdxvxf，=P(-∞<X<+∞,Y≤y)2023/4/1321设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为例2解：求X与Y的边缘概率密度yoy=xy=x21D2023/4/1322设二维随机变量(X,Y)的概率密度为例3解：求X与Y的边缘概率密度yox+y=3/2G1(½,1)1/23/22023/4/1323小结：

二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系：边缘分布可由联合分布唯一确定，但不能由边缘分布确定联合分布。难点：求边缘分布时如何确定积分区域及边缘密度不为零的范围。2023/4/1324一、离散随机变量的条件分布设(X,Y)是二维离散随机变量，其分布律为(X,Y)

关于X和关于Y的边缘概率函数分别为：P{X=xi,Y=yj}=pij

,i,j=1,2,...第七节条件分布2023/4/1325由条件概率公式定理：设(X,Y)是二维离散型随机变量，

在Y=yj

条件下X的条件分布律(1)若P{Y=yj}>0,则自然地引出如下定理：(2)若P{X=xi}>0,则在X=xi

条件下Y的条件分布律2023/4/1326条件分布律具有分布律的以下特性：

10P{X=xi|Y=yj}0；即条件分布律是分布律。2023/4/1327设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1XY0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501解：求(1)随机变量X在Y=0条件下的条件分布。2023/4/1328设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下例1XY0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501求(2)随机变量Y在X=1条件下的条件分布。解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220则Y在X=1条件下的条件分布为2023/4/1329(2)若X的边缘概率密度fX(x)>0,且在点x处连续,则Y在X=x条件下的条件概率密度★★定理设二维连续随机变量（X,Y）的联合概率密度f(x,y)在点（x,y)处连续。(1)若Y的边缘概率密度fY(y)>0,且在点y处连续,则X在Y=y条件下的条件概率密度二、连续随机变量的条件分布2023/4/1330连续随机变量的条件分布推导设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于所以应在P{y

Y≤y+△y}>0时,考虑X≤x的条件概率2023/4/13312023/4/1332称为在条件Y=y下X的条件分布函数.随机变量X在Y=y的条件下的条件密度函数注：条件密度函数的性质与普通密度函数类似随机变量Y在X=x的条件下的条件密度函数2023/4/1333由所围成的区域上服从

设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.现设(X,Y)在例2解：均匀分布.求条件概率密度

yoy=x21G32023/4/13341.二维随机变量的分布函数2.二维离散随机变量的联合概率分布及分布函数3.二维连续随机变量的联合概率密度和分布函数内容小结2023/4/1335习题二(P70)：13,14,15，17,19,20,21,

作业

2023/4/1336思考题2023/4/1337备用题1.解2023/4/1338XY01231300002023/4/13392.解2023/4/13402023/4/13412023/4/13423.设随机事件A,B满足求(X,Y)的分布列.解2023/4/1343所以(X,Y)的联合分布列为2023/4/1344所以(X,Y)的联合分布列为2023/4/13454.在长为a的线段的中点的两边随机地各取独立，它们的联合密度函数为Y为线段中点右边所取点到端点0的距离，一点，求两点间的距离小于a/3的概率.记X为线段中点左边所取点到端点0的距离，解OxaXY2023/4/1346图2.2的阴影部分，因