《复变函数》教学资料

6.2抽样分布6.1节介绍了总体、样本及统计量的概念。由于样本是随机变量，统计量是样本的函数，从而统计量也是随机变量，因此，统计量也有确定的概率分布。统计量的分布又称为抽样分布。一般情况下，当给定总体分布时，要找出统计量的分布是很困难的。然而，当总体服从正态分布时，某些统计量的分布则比较容易求得。编辑ppt即若总体,是从总体中抽取的一个容量为

的样本。由正态也服从正态分布，且分布的线性不变形和可加性可知样本均值编辑ppt上式表明，样本均值的数学期望与总体的数学期望相等，下面我们在总体服从正态分布的基本假设下，讨论一些重要的统计量的分布。这些结论是以后各章内容的理论基础。等于总体方差的分之一，即越大，越向但其方差只总体均值集中。编辑ppt6.2.1分布定义1设为来自正态总体的样本，则称统计量记作服从自由度为

的分布，编辑ppt定理1分布的概率密度为证明因为由概率论知识有，又知,若编辑ppt且与相互独立时,有故有连续使用这个性质，可得即所以分布的概率密度函数为编辑ppt的分布。事实上，自由度是的分布就是参数为图6-3给出了，时，分布的密度函数曲线。编辑ppto图6-3推论1设为来自正态总体的样本，是已知常数，则统计量编辑ppt证明设则故且相互独立，则由定义1可知推论成立。由于相互独立.iX编辑ppt关于分布，还有下面两条性质。性质1设则证明设相互独立，且则有编辑ppt从而因此编辑ppt性质2的证明请读者自行完成。对于自正态分布，亦即近似地服从标准正态分布。性质2设且他们相互独立，则由度时，可以证明近似地服从编辑ppt定理2分布的概率密度为6.2.2分布相互独立，则称统计量定义2设且

与

服从自由度为

的

分布，记作:编辑ppt定理2的证明略去。的图形如图6-4所示。图6-4给出了时的曲线，的表达式知，为偶函数，其图形关于对称。且由编辑ppt因此，当时，分布趋于标准正态分布，即一般来说，当时，分布与标准正态分布就非常接近了。编辑pptt(x;n)n=4n=10n=1图6-4编辑ppt第二自由度。记作:其中

称为第一自由度，称为6.2.3分布相互独立，则称统计量定义3设且

与

服从为自由度为的

分布，编辑ppt定理3分布的概率密度为定理3的证明略去。分布的图形如图6-5所示，图中给出了几条分布的密度函数曲线.编辑ppt推论2如果则图6—5编辑ppt6.2.4分位数标准正态分布分布，分布在统计中有着重要的应用。为了便于计算，书末的附录中，给出了它们的分布表供查阅，下面我们介绍关于概率分布的分位数的概念。给定的正数，若数满足设随机变量的分布函数为，对于X编辑ppt则称数为此概率分布的上侧分位数，指满足即（1）标准正态分布的分位数是位数。简称分位数。下面给出几个常见分布的分编辑ppt的数，其值可由正态分布表查的，如图6-6所示。图6—6编辑ppt由正态分布的对称性可知(2)分布的

分位数是指满足的数，如图6—7所示。对于不同的及，分位数可由分布表查得。编辑ppt图6—7（3）

分布的分位数是指满足的数，其值可由分布查得。如图6—8所示。由分布的对称性可知编辑ppt图6—8（4）

分布的

分位数是指的满足数，其值可由分布表查得，如图6-9所示。编辑ppt图6—9对于正态总体，常用统计量的分布还有以下由

分布的定义及推论有编辑ppt分别为样本均值与样本方差，则(1)(2)与

相互独立;(3)定理4

若是来自正态总体的一个样本，与一些重要定理编辑ppt证明（1）在前面已经证明。（2）设，其中为正交矩阵：编辑ppt显然故有又因为于是因为为正交矩阵，即编辑ppt从而有由上面的推导可知只与有

的正交性可知相互独立，所以与相互独立。关，只与有关，而由编辑ppt且协方差矩阵为，故可知相互独立具有同一正态分布。即（3）由得的均值为编辑ppt分布的随机变量，由分布的定义可知的一个样本，则定理5

设是来自正态总体为个相互独立且具有编辑ppt证明由定理4知所以又编辑ppt

由于

与

相互独立，因此

与相互独立，从而由

分布的定义有：编辑ppt其中的两个样本，它们相互独立，则

定理6

设和是分别来自正态总体和编辑ppt证明由定理条件有所以编辑ppt又因并且它们是相互独立的，故由分布的可加性可知从而