定积分的概念与性质

1主要内容：

第五章定积分及其应用

第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例；二、定积分定义；三、定积分的性质.现在是1页\一共有25页\编辑于星期日2矩形三角形梯形曲边梯形问题：平面图形的面积一、定积分问题举例现在是2页\一共有25页\编辑于星期日3一、定积分问题举例曲边梯形设函数yf(x)在区间[a,

b]上非负、连续.

由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,

其中曲线弧称为曲边.

例1.曲边梯形的面积

现在是3页\一共有25页\编辑于星期日4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察与思考

现在是4页\一共有25页\编辑于星期日5现在是5页\一共有25页\编辑于星期日6求曲边梯形的面积

(1)分割:

ax0<

x1<

x2<

<

xn1<

xn

b,Dxi=xi-xi1;小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi(xi1<xi<xi);(2)近似代替:

(4)取极限:

设max{Dx1,

Dx2,,

Dxn},曲边梯形的面积为(3)求和:

曲边梯形的面积近似为;以直代曲现在是6页\一共有25页\编辑于星期日7例2.变速直线运动的路程

已知物体直线运动的速度vv(t)是时间t的连续函数,

且v(t)0,

计算物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程S.(1)分割:

T1t0<t1<t2<<tn1<tnT2,

Dtititi1;(2)近似代替:

物体在时间段[ti1,

ti]内所经过的路程近似为DSiv(i)Dti(

ti1<

i<ti);物体在时间段[T1,

T2]内所经过的路程近似为(3)求和:

(4)取极限:

记max{Dt1,

Dt2,,

Dtn},物体所经过的路程为以不变代变现在是7页\一共有25页\编辑于星期日8定积分的定义在小区间[xi1,

xi]上任取一点xi(i1,2,,

n),

作和max{Dx1,

Dx2,,Dxn};

记Dxi=xi-xi1(i1,2,,

n),ax0<x1<x2<

<xn1<xnb;在区间[a,

b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,

b]上有界.

如果当0时,

上述和式的极限存在,

且极限值与区间[a,

b]的分法和xi的取法无关,

则称此极限为函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分,

记为即二、定积分定义现在是8页\一共有25页\编辑于星期日9定积分各部分的名称————积分符号,

f(x)———被积函数,

f(x)dx——被积表达式,

x————积分变量,

a

————积分下限,

b

————积分上限,

[a,

b]———积分区间，

二、定积分定义———积分和.

定积分的定义现在是9页\一共有25页\编辑于星期日10二、定积分定义说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关,

而与积分变量的记法无关,

即定积分的定义现在是10页\一共有25页\编辑于星期日11函数的可积性如果函数f(x)在区间[a,

b]上的定积分存在,

则称f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理1

如果函数f(x)在区间[a,

b]上连续,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

定理2

如果函数f(x)在区间[a,

b]上有界,

且只有有限个间断点,

则函数f(x)在区间[a,

b]上可积.

二、定积分定义定积分的定义现在是11页\一共有25页\编辑于星期日12例

用定积分表示极限解二、定积分定义定积分的定义现在是12页\一共有25页\编辑于星期日13

这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义

现在是13页\一共有25页\编辑于星期日14各部分面积的代数和定积分的几何意义

曲边梯形面积曲边梯形面积的负值现在是14页\一共有25页\编辑于星期日15例2解oxy例1利用定积分的几何意义，计算解现在是15页\一共有25页\编辑于星期日16两点规定三、定积分的性质现在是16页\一共有25页\编辑于星期日17三、定积分的性质性质1性质2性质3注：值得注意的是不论abc的相对位置如何上式总成立现在是17页\一共有25页\编辑于星期日18利用定积分的几何意义，可分别求出解例3现在是18页\一共有25页\编辑于星期日19三、定积分的性质性质1性质2性质3性质4现在是19页\一共有25页\编辑于星期日20如果在区间[a

b]上f(x)0

则性质5

性质6

设M及m分别是函数f(x)在区间[a

b]上的最大值及最小值则推论如果在区间[a

b]上f(x)g(x)则现在是20页\一共有25页\编辑于星期日21如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

这是因为,由性质6性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式

由介值定理,至少存在一点x[a,b],使两端乘以ba即得积分中值公式.现在是21页\一共有25页\编辑于星期日22注:无论从几何上,还是从物理上,都容易理解平均值公式求连续变量的平均值要用到.如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续则在积分区间[a

b]上至少存在一个点x

使下式成立

性质7(定积分中值定理)

——积分中值公式