电磁场理论第一章

电磁场理论第一章第1页，共69页，2023年，2月20日，星期一一、电磁学发展史二、该课程的基本内容三、场的基本概念四、学习的目的、方法及其要求序论第2页，共69页，2023年，2月20日，星期一一、电磁学发展史1.电现象最早的记载：公元前600年左右（摩擦起电）2.1745年，荷兰莱顿大学教授马森布罗克制成了莱顿瓶，可以将电荷储存起来，供电学实验使用，为电学研究打下了基础。3.1752年7月，美国著名的科学家、文学家、政治家富兰克林（正电、负电；电荷守恒；避雷针）的风筝试验，证实了闪电是放电现象，从此拉开了人们研究电学的序幕。第3页，共69页，2023年，2月20日，星期一4.1753年，俄国著名的电学家利赫曼在验证富兰克林的实验时，被雷电击中，为科学探索献出了宝贵的生命。5.1638年，在我国的某些建筑学的书籍中就有关于避雷的记载：屋顶的四角都被雕饰成龙头的形状，仰头、张口，在它们的舌头上有一根金属芯子，其末端伸到地下，如有雷电击中房顶，会顺着龙舌引入地下，不会对房屋造成危险。6.1771~1773年间，英国科学家卡文迪许进行了大量的静电试验，证明在静电情况下，导体上的电荷只分布在导体表面上。第4页，共69页，2023年，2月20日，星期一7.1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的道路。8.1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中，发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起。9.1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯特的发现上升为理论。10.1825年，德国科学家欧姆得出了第一个电路定律：欧姆定律。11.1831年，英国实验物理学家法拉第发现了电磁感应定律。并设计了世界上第一台感应发电机。第5页，共69页，2023年，2月20日，星期一12、1840年，英国科学家焦耳提出了焦耳定律，揭示了电磁现象的能量特性。13、1848年，德国科学家基尔霍夫提出了基尔霍夫电路理论，使电路理论趋于完善。奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基础。14、电磁学理论的完成者---英国的物理学家麦克斯韦（1831~1879）。麦克斯韦方程组---用最完美的数学形式表达了宏观电磁学的全部内容

。麦克斯韦从理论上预言了电磁波的存在。第6页，共69页，2023年，2月20日，星期一15.1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为电力工业开辟了道路。16.1876年，美国贝尔发明了电话，实现了电声通信。17.1879年，美国发明家爱迪生发明了电灯，使电进入了人们的日常生活。

18.1887年，德国的物理学家赫兹首次用人工的方法产生了电磁波。19.随之，俄国的波波夫和意大利的马可尼，利用电磁波通信获得成功，开创了人类无线通信的新时代。第7页，共69页，2023年，2月20日，星期一

矢量分析（电磁场理论的数学基础）、场论基础静态场（静电场、恒定电场与恒定磁场）基本定律、边界条件静态场边值问题的求解（解析法：分离变量法、镜像法、格林函数法、复变函数法等。数值法：有限差分法、有限元法、边界元法等。近似解析法：逐步逼近法、微扰法、变分法、迭代变分法等。时变电磁场：在引出时变电磁场各物理量基础上，结合法拉第电磁感应定律、麦克斯韦位移电流假说，给出普遍意义的麦克斯韦方程组。并在此基础上研究电磁场的普遍规律、概念和表示方法。麦克斯韦方程组的应用：平面波的传播（无界理想介质和导电介质）规律以及在无限大平面上的反射和透射规律、电磁波的辐射、波导和谐振腔等。本课程内容是今后可能会遇到的各种射频、微波、电波传播、通信等问题的基础，是微波工程、通信工程、电子信息工程、电子科学与技术等工科电类专业的一门重要的技术基础课，具有非常重要的理论意义与实际应用价值。二、该课程的主要内容第8页，共69页，2023年，2月20日，星期一三、场的基本概念1.什么是场？重力场、温度场、速度场、电磁场、……a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。比如：T

是温度场中的物理量，T就是温度场b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。第9页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.场的分类

a.按物理量的性质分：

标量场：描述场的物理量是标量。

矢量场：描述场的物理量是矢量。

b.按场量与时间的关系分：

静态场：场量不随时间发生变化的场。

动态场：又称时变场，场量随时间变化而变化的场。第10页，共69页，2023年，2月20日，星期一四、学习的目的、方法及其要求

1、掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律2、掌握宏观电磁场问题的基本求解方法3、了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理4、训练分析问题、归纳问题的科学方法5、培养用数学解决实际问题的能力6、独立完成作业，做好课堂笔记第11页，共69页，2023年，2月20日，星期一第一章矢量分析与场论基础主要内容：

矢量的基本概念、代数运算、矢量分析、场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）矢量场的Helmholtz定理第12页，共69页，2023年，2月20日，星期一一、矢量

标量与矢量标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，速度、电场等）

矢量的表示方式注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如。教材上符号即为印刷体。矢量可表示为：其中为其模值，表征矢量的大小；为其单位矢量，表征矢量的方向，其大小为1；1.1矢量分析所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。第13页，共69页，2023年，2月20日，星期一二、矢量的运算法则1.加法:

矢量加法是矢量的几何和，服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：第14页，共69页，2023年，2月20日，星期一三个方向的单位矢量用表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：第15页，共69页，2023年，2月20日，星期一矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：显然：第16页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.减法：换成加法运算逆矢量：

和

的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。第17页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.乘法（1）标量与矢量的乘积：（2）矢量与矢量乘积分两种a.标量积（点积）：两矢量点积的含义：

一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。第18页，共69页，2023年，2月20日，星期一在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，即两矢量点积：结论:

两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。第19页，共69页，2023年，2月20日，星期一推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：

两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。第20页，共69页，2023年，2月20日，星期一在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量的叉积又可表示为：xyzo在直角坐标系中，三个坐标轴是相互正交的，即第21页，共69页，2023年，2月20日，星期一（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量；标量与矢量相乘。标量；标量三重积：三矢量中一个和另两个矢量的叉积相乘得到的点积。矢量；矢量三重积：三矢量中一个和另两个向量的叉积相乘得到的叉积。a.标量三重积法则：在矢量运算中，先算叉积，后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。第22页，共69页，2023年，2月20日，星期一注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件:在直角坐标系中：b.矢量三重积：说明：矢量间不存在除法运算。第23页，共69页，2023年，2月20日，星期一例1：已知求：垂直于、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于、所在平面。第24页，共69页，2023年，2月20日，星期一已知A点和B点对于原点的位置矢量为和，求：通过A点和B点的直线方程。例2：

xyzCAB其中：k为任意实数。解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置矢量为，则第25页，共69页，2023年，2月20日，星期一三、矢量微分元：线元、面元、体元例：其中：和称为微分元。正交曲线坐标系：

为了考察某一物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。而且，常常根据被研究物体的几何形状不同而采用不同的坐标系。在电磁场理论中，用得较多的是直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量u1,u2,u3,而u1,u2,u3

均为常数时，就代表三组曲面（或平面），称为坐标面。若三组坐标面在空间每一点正交，则坐标面的交线（一般是曲线）也在空间每点正交，这种坐标系叫做正交曲线坐标系。直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是许多正交曲线坐标系中较常用的三种。第26页，共69页，2023年，2月20日，星期一体元：线元：面元：

在正交曲线坐标系中，其坐标变量不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数（Lame)，若已知正交坐标系的拉梅系数，就可正确写出其线元、面元和体元。第27页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第28页，共69页，2023年，2月20日，星期一2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第29页，共69页，2023年，2月20日，星期一3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：第30页，共69页，2023年，2月20日，星期一

坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系第31页，共69页，2023年，2月20日，星期一a.在直角坐标系中，x,y,z均为长度量，其拉梅系数均为1，即：b.在柱坐标系中，坐标变量为,其中为角度，其对应的线元，可见拉梅系数为：在球坐标系中，坐标变量为，其中均为角度，其拉梅系数为：注意：第32页，共69页，2023年，2月20日，星期一一、场的概念及分类物理量（如温度、电场、磁场）在空间中以某种形式分布，若每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。

1.2场a.场的概念第33页，共69页，2023年，2月20日，星期一b.场的分类1、按物理量的性质标量场（数量场）：在指定时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述。物理量为标量（温度场,电位场）矢量场：在指定时刻，空间每一点可以用一个失量唯一地描述。物理量为矢量（电场、磁场）

2、按物理量变化特性静态场：物理量不随时间的变化而变化时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化第34页，共69页，2023年，2月20日，星期一二.标量场的等值面（线）

由所有场值相等的点所构成的面(线)，即为等值面(线)，如等温线、等高线、等压面、等相位面。即若标量函数为，则等值面方程为：

给常数c以不同的数值，就得到不同的等值面。这族等值面充满了标量场所在的空间，且互不相交。

标量场的等值面可以直观地帮助了解场中物理量的分布情况。热源等温面第35页，共69页，2023年，2月20日，星期一三.矢量场的矢量线+-

1矢量场与矢量线

在确定空间区域上的每一点有确定矢量与之对应，则称该空间区域上定义了一个矢量场。为了描述矢量场的方向和数值，可以直接用矢量的数值和方向来表示矢量场，用矢量线可以形象的描述矢量场分布。在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢量线。例：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。

矢量线能够描述矢量场在空间的方向，但不能够定量描述矢量场的大小。矢量线方程：第36页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.3标量场的方向导数和梯度1方向导数在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上变化的情况。方向导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的情况。空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。2标量场的梯度

在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度方向，最大变化率为标量场梯度值。梯度描述了空间某点处标量场随位置变化的规律。第37页，共69页，2023年，2月20日，星期一为的方向余弦，即该方向的单位矢量为第38页，共69页，2023年，2月20日，星期一令，因此，有

在给定点是一固定矢量。因此上式表示当方向与一致时，方向导数取得最大值。表面矢量的方向就是函数u变化率最大的方向，其模就是这个最大变化率的数值。由梯度定义知哈密顿算符第39页，共69页，2023年，2月20日，星期一

正交坐标系下梯度的表示法

球面坐标系

柱面坐标系

直角坐标系

正交坐标系第40页，共69页，2023年，2月20日，星期一☻标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大的方向，其数值表示该方向上场的空间变化率。☻标量场在某个方向上的方向导数，是该点梯度在该方向上的投影。☻

标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究，或者说标量场可以通过矢量场来研究。☻

标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）并指向场增大的方向。3梯度的性质第41页，共69页，2023年，2月20日，星期一4梯度的基本运算公式第42页，共69页，2023年，2月20日，星期一例3

已知证明：第43页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.4矢量场的通量和散度例如：在电场中，电通量：

在磁场中，磁通量：为了克服矢量线不能定量描述矢量场大小的问题，引入通量和散度的概念。1矢量场的通量设有一矢量场

，在场中任取面元，则

称为穿过

的通量。矢量场穿过曲面的通量为曲面上所有小面元上通量的叠加：

面元矢量定义：面积很小的有向曲面：面元面积，其值可认为无限小；：面元法线方向单位矢量，垂直于面元平面。第44页，共69页，2023年，2月20日，星期一闭合曲面通量物理意义：穿入和穿出闭合面的通量代数和。如果曲面是闭合的，并规定曲面法线方向由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量：

通过闭合面的通量的三种可能结果

若，表示通过闭合曲面有净的矢量线流出，意味着闭合面内存在正的通量源。

若，表示通过闭合曲面有净的矢量线流入，意味着闭合面内存在负源或称沟。

若，表示流入和流出闭合曲面的矢量线相等或没有矢量线流入、流出闭合曲面（正源负源代数和为零或无源）。

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。第45页，共69页，2023年，2月20日，星期一2

矢量场的散度物理上的场(矢量场，标量场）都是相应源作用的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果与闭合曲面内有无产生矢量场的源直接相关。为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。因此矢量场中某点的散度是矢量场通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元所围体积之比的极限。矢量场中某点的通量体密度称为该点的散度。第46页，共69页，2023年，2月20日，星期一

若处处成立，则该矢量场称为无源场。

散度的物理意义

矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性

矢量场的散度是一个标量

矢量场的散度是空间坐标的函数

矢量场的散度值表征空间中通量源的密度

若，则该矢量场称为有源场，为源密度。

讨论：在矢量场中(

正源)（

负源)(

处处成立，无源）

第47页，共69页，2023年，2月20日，星期一

在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成:(x=x1,y=y1,z=z1,x=x1+Δx,y=

y1+Δy,z=z1+Δz)

。矢量场表示为：

散度的计算在x方向上：计算穿过和面的通量为因为：则有x方向上的总通量：第48页，共69页，2023年，2月20日，星期一整个封闭曲面的总通量：同理：在y方向上,穿过和面的总通量：在z方向上,穿过和面的总通量：该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：第49页，共69页，2023年，2月20日，星期一

直角坐标系下：圆柱坐标系下：

正交坐标系下散度的表示法正交曲线坐标系：球坐标系下：第50页，共69页，2023年，2月20日，星期一散度定理的证明：3散度定理（矢量场的高斯定理）物理含义：矢量场穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度在封闭面所围体积上的积分。直接从散度的定义出发，不难得到矢量场在空间任意闭合曲面的总通量等于散度在该闭合曲面所包围体积上的积分。从散度定义有：则在一定体积V内的总的通量为：得证！高斯散度定理是场论中的重要定理，在后面的学习中经常要用到这种矢量场的积分变换关系。第51页，共69页，2023年，2月20日，星期一6散度的有关公式第52页，共69页，2023年，2月20日，星期一1、矢量场的环量

环量意义：若矢量场环量不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。（如，磁场强度沿闭合路径的环量等于穿过以闭合路径为边界曲面的总电流，电流就是产生这个环量的旋涡源）。若环量为零，则并不能说明回路所围面积内无漩涡源。1.5矢量场的环量和旋度环量的大小、正负与矢量场

的分布以及所取积分环量方向有关。不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但场在所定义的空间中闭合路径的积分不为零。为了描述这类场与源的关系，引入环量与旋度的概念。在矢量的场中，矢量沿某一有向闭合曲线的线积分，称为该矢量沿此闭合曲线的环量。即：式中，是闭合积分路径上任一点的矢量；是该路径上的切向长度元矢量，方向取决于闭合曲线的环绕方向；θ为与的夹角，如图所示。物理意义：力（力沿闭合路径作的功）；电场强度（绕闭合路径的电动势）。第53页，共69页，2023年，2月20日，星期一2、环量密度M为了研究矢量在场中某点M的环量特征，引入环量密度的概念，定义：在矢量场中，任取一点M，过M作面元，其法线方向单位矢量为，法线方向与面元周界成右手螺旋，若存在，则称此极限为矢量场在M点对方向的环量密度。显然，过M点可以作不同方向的面元，从而可以得到矢量场在M点对不同方向的环量密度。它们的大小也不相同。3、矢量场的旋度由于矢量场在点M处的环量密度与面元的法线方向有关，在某一方向上环量密度可能取得最大值，为了描述这种分布状态，引入旋度概念。

定义：矢量场的旋度是个矢量，大小为最大的环量密度，方向是取最大环量密度时的法线方向。

这样，场在该点其它方向的环量密度就等于旋度在该方向上的投影。第54页，共69页，2023年，2月20日，星期一以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中：为x方向的环量密度。旋度可用符号表示：

旋度的计算投影面：由y1,y1+Δy,z1,z1+Δz四条线围成。第55页，共69页，2023年，2月20日，星期一其中：可得：同理：所以：旋度公式：第56页，共69页，2023年，2月20日，星期一为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：

对于柱坐标、球坐标，根据其拉梅系数，请同学们自行写出旋度的计算公式。第57页，共69页，2023年，2月20日，星期一

旋度的物理意义

矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；

矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；

若矢量场空间有一点旋度不为零，则称该场为有旋场；

若矢量场空间所有点旋度均为零，则称该场为无旋场（保守场）；物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。4、斯托克斯定理第58页，共69页，2023年，2月20日，星期一5旋度的有关公式第59页，共69页，2023年，2月20日，星期一小结1、散度（流出的量）

通量源

通量即该向量(垂直平面分量)穿过平面的大小散度不为0的点表示该点有源(source)存在

散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从高斯公式理解散度处处为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）2、旋度（没有流出的量）

旋涡源

旋度数值即该向量(平行平面分量)在某点的最大环量密度(即环量大小/面积)。

旋度是矢量；物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式理解旋度处处为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场矢量场第60页，共69页，2023年，2月20日，星期一1.6矢量场的亥姆霍兹(Helmholtz)定理现在我们必需考虑如下问题：（1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？（2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？（3）如何唯一的确定一个矢量场？前面我们介绍了矢量分析中的一些基本概念和运算方法。其中标量场的梯度和矢量场的散度、旋度都是场性质的重要量度。一个标量场的性质完全可以由它的梯度来表明，那么一个矢量场所具有的性质是否可完全由它的散度和旋度来表明呢？第61页，共69页，2023年，2月20日，星期一1、亥姆霍兹定理

在有限区域内，任意矢量场由矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域边界上的分布）唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无散矢量场的叠加，即：其中，为无散场，为无旋场。Helmholtz定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发，并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：第62页，共69页，2023年，2月20日，星期一2、矢量场的分类根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：

调和场注意：不存在在整个空间内散度和旋度均处处为零的矢量场。

若矢量场在某区域V内，处处有：和则在该区域V内，场为调和场。

有源无旋场讨论：由于旋度为零，由斯托克斯定理

若矢量场在某区域V内，处处，但在某些位置或整个空间内，有，则称在该区域V内，场为有源无旋场。结论：有源