电信复变函数与积分变换

电信复变函数与积分变换1第1页，共37页，2023年，2月20日，星期一一、幂级数的概念1.复变函数项级数定义其中各项在区域

D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

2第2页，共37页，2023年，2月20日，星期一称为这级数的部分和.

级数最前面n项的和和函数3第3页，共37页，2023年，2月20日，星期一称为该级数在区域D上的和函数.如果级数在D内处处收敛,那末它的和一定4第4页，共37页，2023年，2月20日，星期一2.幂级数当或函数项级数的特殊情形或这种级数称为幂级数.5第5页，共37页，2023年，2月20日，星期一二、幂级数的敛散性1.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足阿贝尔介绍6第6页，共37页，2023年，2月20日，星期一证由收敛的必要条件,有因而存在正数M,使对所有的n,7第7页，共37页，2023年，2月20日，星期一而由正项级数的比较判别法知:收敛.另一部分的证明请课后完成.[证毕]8第8页，共37页，2023年，2月20日，星期一2.收敛圆与收敛半径对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛.由阿贝尔定理知:级数在复平面内处处绝对收敛.9第9页，共37页，2023年，2月20日，星期一例如,级数对任意固定的z,从某个n开始,总有于是有故该级数对任意的z均收敛.10第10页，共37页，2023年，2月20日，星期一(2)对所有的正实数除z=0外都发散.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.(3)既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收敛的正实数.例如,级数通项不趋于零,如图:故级数发散.11第11页，共37页，2023年，2月20日，星期一..收敛圆收敛半径幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域.12第12页，共37页，2023年，2月20日，星期一答案:

幂级数的收敛范围是何区域?问题1:

在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出一般的结论,要对具体级数进行具体分析.注意问题2:幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?13第13页，共37页，2023年，2月20日，星期一例如,级数:收敛圆周上无收敛点;在收敛圆周上处处收敛.14第14页，共37页，2023年，2月20日，星期一3.收敛半径的求法方法1:比值法(定理二):那末收敛半径证由于收敛.15第15页，共37页，2023年，2月20日，星期一据阿贝尔定理,根据上节定理三,16第16页，共37页，2023年，2月20日，星期一所以收敛半径为[证毕]即假设不成立.17第17页，共37页，2023年，2月20日，星期一如果:即注意:存在且不为零.定理中极限(极限不存在),即18第18页，共37页，2023年，2月20日，星期一答案课堂练习试求幂级数的收敛半径.19第19页，共37页，2023年，2月20日，星期一方法2:根值法(定理三)那末收敛半径说明:(与比值法相同)如果20第20页，共37页，2023年，2月20日，星期一三、幂级数的运算和性质1.幂级数的有理运算21第21页，共37页，2023年，2月20日，星期一2.幂级数的代换(复合)运算如果当时,又设在内解析且满足那末当时,说明:此代换运算常应用于将函数展开成幂级数.22第22页，共37页，2023年，2月20日，星期一定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)3.复变幂级数在收敛圆内的性质23第23页，共37页，2023年，2月20日，星期一(3)在收敛圆内可以逐项积分,简言之:在收敛圆内,幂级数的和函数解析;幂级数可逐项求导,逐项积分.(常用于求和函数)即24第24页，共37页，2023年，2月20日，星期一四、典型例题例1

求幂级数的收敛范围与和函数.解级数的部分和为25第25页，共37页，2023年，2月20日，星期一级数收敛,级数发散.且有收敛范围为一单位圆域由阿贝尔定理知:在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,26第26页，共37页，2023年，2月20日，星期一例2求下列幂级数的收敛半径:(1)(并讨论在收敛圆周上的情形)(2)(并讨论时的情形)或解(1)因为27第27页，共37页，2023年，2月20日，星期一所以收敛半径即原级数在圆内收敛,在圆外发散,收敛的级数所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.在圆周上,级数28第28页，共37页，2023年，2月20日，星期一说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.原级数成为交错级数,收敛.发散.原级数成为调和级数，(2)29第29页，共37页，2023年，2月20日，星期一故收敛半径例3求幂级数的收敛半径:解30第30页，共37页，2023年，2月20日，星期一解所以例4求的收敛半径.31第31页，共37页，2023年，2月20日，星期一例5把函数表成形如的幂级数,其中是不相等的复常数.解把函数写成如下的形式:代数变形,使其分母中出现凑出32第32页，共37页，2023年，2月20日，星期一级数收敛,且其和为33第33页，共37页，2023年，2月20日，星期一例6求级数的收敛半径与和函数.解利用逐项积分,得:所以34第34页，共37页，2023年，2月20日，星期一例7求级数的收敛半径与和函数.解35第35页，共37页，2023