2023届淮安市重点中学高考压轴卷数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（）A． B．或C． D．2．函数的部分图象大致为（）A． B．C． D．3．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A．16 B．12 C．8 D．64．设为等差数列的前项和，若，则A． B．C． D．5．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（）A． B．C． D．6．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．7．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A． B． C． D．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线PO，分别交双曲线C的左，右支于另一点，且，则双曲线的离心率为()A． B．3 C．2 D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()A．9 B．31 C．15 D．6310．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．11．曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C．4 D．812．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A．240，18 B．200，20C．240，20 D．200，18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7，则a2=____.14．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________.15．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是__________．16．三棱柱中，，侧棱底面，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球的表面积的最小值为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，D是在△ABC边AC上的一点，△BCD面积是△ABD面积的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求边AC的长．18．（12分）已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，且，，.（1）求数列与的通项公式；（2）求数列的前n项和.19．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点C．（1）求抛物线E的方程；（2）求△ABC面积的最大值．20．（12分）已知函数（，），且对任意，都有.（Ⅰ）用含的表达式表示；（Ⅱ）若存在两个极值点，，且，求出的取值范围，并证明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断零点的个数，并说明理由.21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.22．（10分）已知，（其中）.(1)求；(2)求证：当时，．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示，，，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2、B【解析】

图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况。【详解】，故奇函数，四个图像均符合。当时，，，排除C、D当时，，，排除A。故选B。【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值。3、B【解析】

根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.【详解】由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，所以该正三棱柱的侧面积为故选：B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.4、C【解析】

根据等差数列的性质可得，即，所以，故选C．5、D【解析】因为蛋巢的底面是边长为的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为，所以球心到截面的距离，而截面到球体最低点距离为，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为.点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.6、D【解析】

求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.【详解】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故选D．【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．7、C【解析】

分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.【详解】由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设.则.故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.故选：C【点睛】本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8、D【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可．【详解】结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO，而，结合四边形对角线平分，可得四边形为平行四边形，结合，故对三角形运用余弦定理，得到，而结合，可得，，代入上式子中，得到，结合离心率满足，即可得出，故选D．【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难．9、B【解析】

根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果.【详解】执行程序框；；；；；，满足，退出循环，因此输出，故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.10、B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、B【解析】

求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.【详解】因为，所以，故，解得，又切线过点，所以，解得，所以，故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12、A【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240，∴抽取的户主对四居室满意的人数为：故选A．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据二项展开式的通项公式即可得结果.【详解】解：(2x-1)7的展开式通式为：当时，，则.故答案为：【点睛】本题考查求二项展开式指定项的系数，是基础题.14、【解析】

由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：，设点，则有，由，且解出，进而求解出离心率.【详解】由题知，直线的方程为，代入消得：，设点，则有，，而，又，解得：，所以离心率.故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力15、【解析】∵，∴，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，，结合图象可知，<b<2，故答案为.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16、【解析】

分析题意可知，三棱柱为正三棱柱，所以三棱柱的中心即为外接球的球心，设棱柱的底面边长为，高为，则三棱柱的侧面积为，球的半径表示为，再由重要不等式即可得球表面积的最小值【详解】如下图，∵三棱柱为正三棱柱∴设，∴三棱柱的侧面积为∴又外接球半径∴外接球表面积.故答案为：【点睛】考查学生对几何体的正确认识，能通过题意了解到题目传达的意思，培养学生空间想象力，能够利用题目条件，画出图形，寻找外接球的球心以及半径，属于中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用三角形面积公式以及并结合正弦定理，可得结果.（Ⅱ）根据，可得，然后使用余弦定理，可得结果.【详解】（Ⅰ），所以所以；（Ⅱ），所以，所以，，所以，所以边．【点睛】本题考查三角形面积公式，正弦定理以及余弦定理的应用，关键在于识记公式，属中档题.18、（1）；（2）【解析】

(1)设数列的公差为d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,进而求得.(2)由（1）得，,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，由可得，，整理得，即，故，由可得，则，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，数列的前n项和为，设①，则②，②①得，综上，数列的前n项和为.【点睛】本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.19、（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根据抛物线定义，写出焦点坐标和准线方程，列方程即可得解；（2）根据中点坐标表示出|AB|和点到直线的距离，得出面积，利用均值不等式求解最大值.【详解】（1）抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F（，0）到准线x的距离为3，可得p＝3，即有抛物线方程为y2＝6x；（2）设线段AB的中点为M（x0，y0），则，y0，kAB，则线段AB的垂直平分线方程为y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一个解，所以AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C（5，0），由①可得直线AB的方程为y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由题意y1，y2是方程③的两个实根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到线段AB的距离h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h•，当且仅当9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）时等号成立，所以S△ABC的最大值为．【点睛】此题考查根据焦点和准线关系求抛物线方程，根据直线与抛物线位置关系求解三角形面积的最值，表示三角形的面积关系常涉及韦达定理整体代入，抛物线中需要考虑设点坐标的技巧，处理最值问题常用函数单调性求解或均值不等式求最值.20、（1）（2）见解析（3）见解析【解析】试题分析：利用赋值法求出关系，求函数导数，要求函数有两个极值点，只需在内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范围，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数.试题解析：（Ⅰ）根据题意：令，可得，所以，经验证，可得当时，对任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以或解得或无解，所以的取值范围，可得，由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，．（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以.又，可得，此