2022-2023学年湖南省常德市桃源县文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市桃源县文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（）A．开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）2．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（）cm2．A．10π B．30π C．60π D．90π3．如图，点A、B、C是半径为6的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π4．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝﹣的图象和性质的共有的一个特征是（）A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点（﹣3，1）6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠BCO＝62°，则∠A的大小为（）A．62° B．56° C．52° D．50°7．如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A． B．8 C． D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是．10．从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是．11．已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是．12．将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．13．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，则皮球的直径是．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离＝．15．如图，直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y＝（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB＝1：4，则k的值为．16．如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．其中所有正确结论的序号是．三、解答题17．已知函数y＝（m﹣1）x+mx+1是关于x的二次函数，m为何值时，二次函数有最小值？①求出此时m的值及二次函数的解析式；②求出此函数与x轴的交点坐标．18．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．19．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为；（2）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1求出抛物线C1的解析式．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．（1）求BD的长；（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．21．如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得S△PAB＝4S△BCD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若BF＝6，sinF＝，求⊙O的半径．23．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？24．如图，⊙O的直径AB＝8，△MAC为等腰三角形，MA＝MC，点M在⊙O上．（1）如图1，当点C与点O重合时，∠MAC的度数为；（2）如图2，当点C为线段OB的中点时，求cos∠MAC的值；（3）在第（2）的前提下，延长MC至点P，连接PB，则当PC长为多少时PB与⊙O相切？25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交坐标轴于A、B、C三点，OA＝1，OB＝4，∠ACB＝90°，点D是直线BC下方抛物线上一点，设点D的横坐标为t，DE⊥BC交直线BC于点E．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求当t为何值时，线段DE的长度最大？最大长度是多少？（3）是否存在点D的位置，使△CDE与△AOC相似？若存在，请求出相应点D的坐标，若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．在以下关于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的说法，正确的是（）A．开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．顶点坐标是（1，2）【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．解：A、二次函数y＝（x﹣1）2+2中的a＝1＞0，则其图象开口向上，不符合题意；B、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，其图象开口向上，则当x＞1时，y随x的增大而增大，不符合题意；C、二次函数y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，不符合题意；D、二次函数y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2），符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题还考查了学生的应用能力．2．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为10cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于（）cm2．A．10π B．30π C．60π D．90π【分析】根据圆锥的底面半径求出底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．解：∵圆锥的底面圆半径为3cm，∴圆锥的底面周长为6πcm，∴冰淇淋外壳的侧面积为：×6π×10＝30π（cm2），故选：B．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是展开图扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．3．如图，点A、B、C是半径为6的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（）A．π B．2π C．3π D．4π【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可．解：如图，连接OA、OB．∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝6，∴的长是：＝3π．故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式l＝．4．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．解：从上面看，共有3列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y＝﹣的图象和性质的共有的一个特征是（）A．函数值y随x的增大而减小 B．图象在第二、四象限都有分布 C．图象与坐标轴都没有交点 D．图象经过点（﹣3，1）【分析】直接利用反比例函数的性质以及正比例函数的性质分别判断得出答案．解：A．正比例函数y＝﹣3x，y随x的增大而减小，反比例函数y＝﹣是每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项不合题意；B．正比例函数y＝﹣3x，图象经过第二、四象限，反比例函数y＝﹣是图象分布在第二、四象限，故两函数图象在第二、四象限都有分布，故此选项符合题意；C．正比例函数y＝﹣3x，图象与坐标轴有交点，反比例函数y＝﹣是图象与坐标轴都没有交点，故此选项不合题意；D．正比例函数y＝﹣3x不经过（﹣3，1）点，反比例函数y＝﹣经过（﹣3，1），故此选项不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质以及正比例函数的性质，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠BCO＝62°，则∠A的大小为（）A．62° B．56° C．52° D．50°【分析】根据垂径定理得到＝，得到CB＝CD，根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠BCO＝62°，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．解：∵OC⊥BD，∴＝，∴CB＝CD，∵OC⊥BD，∴∠DCO＝∠BCO＝62°，∴∠BCD＝124°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣124°＝56°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A． B．8 C． D．【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，CD＝2，根据垂径定理可求得AC＝BC＝4，然后设OA＝r，利用勾股定理可得方程：42+（r﹣2）2＝r2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而由勾股定理求得答案．解：如图，连接BE，设⊙O的半径为R，∵OD⊥AB，∴，在Rt△AOC中，OA＝r，OC＝r﹣CD＝r﹣2，由勾股定理，得OC2+AC2＝OA2，∴42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，∴OC＝5﹣2＝3，∵O是AE的中点，C是AB的中点，∴OC是三角形ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，．故选：D．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②8a+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等实数根；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2．其中正确的结论共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线的对称性和对称轴判断②；根据对称轴和a的符号即可判断③；根据顶点坐标即可判断出④；从而得解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵顶点坐标（1，n），∴对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵点A（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），∴9a+3b+c＝0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＝0，∴8a+c＝5a＜0，故②正确，∵顶点坐标（1，n）∴抛物线x2+bx+c＝n有唯一的解，当y＝n﹣1时，与抛物线有两个交点，故③正确，∵x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，∴|x2﹣1|＞|x1﹣1|抛物线关于x＝1对称，x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故④正确，综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a、b的关系．二、填空题：（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）9．已知函数y＝（m+2）x|m|﹣3是关于x的反比例函数，则实数m的值是2．【分析】根据反比例函数的一般形式进行计算即可．解：由题意得：|m|﹣3＝﹣1，且m+2≠0，∴m＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．10．从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，则抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是．【分析】由共有5种等可能结果，其中抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有2种结果，根据概率公式求解可得答案．解：∵从﹣，﹣1，1，2，﹣5中任取一个数作为a，共有5种等可能结果，其中抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有2种结果，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率是，故答案为：．【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及二次函数的图象与性质．11．已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是k≥0且k≠1．【分析】根据抛物线与x轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．解：y＝（k﹣1）x2+2x﹣1为二次函数，∴k﹣1≠0．∴k≠1，由二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，得（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有实数根，Δ＝b2﹣4ac＝4k≥0，解得k≥0，故答案为：k≥0且k≠1．【点评】本题考查了了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．12．将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为2cm．【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr＝，解得r＝2cm．故答案为：2cm．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．13．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，则皮球的直径是15cm．【分析】根据题意建立直角三角形DCE，然后根据∠CED＝60°，DE＝10可求出答案．解：∵由题意得：DC＝2R，DE＝10，∠CED＝60°，∴可得：DC＝DEsin60°＝15（cm），故答案为：15cm．【点评】本题考查平行投影的应用，属于基础题，解答本题的关键是建立直角三角形，然后利用三角函数值进行解答．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离＝．【分析】如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，根据勾股定理得到AB＝＝5，根据切线的性质得到AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，根据正方形的性质得到CE＝CD＝OD＝r，根据勾股定理得到AO＝＝．解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5，∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF＝OD＝OE＝r，∴四边形OECF是正方形，∴CE＝CD＝OD＝r，∴AD＝AF＝AC﹣CD＝4﹣r，BF＝BE＝BC﹣CE＝3﹣r，∵AF+BF＝AB＝5，∴3﹣r+4﹣r＝5，∴r＝1．∴OD＝CD＝1，∴AD＝3．∴AO＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．15．如图，直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y＝（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD：S△AOB＝1：4，则k的值为﹣6．【分析】由直线y＝2x﹣4的图象与x，y轴交于B，A两点，可求得A与B的坐标，易得△AOB∽△CDB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得CD与BD的长，继而求得点C的坐标，则可求得答案．解：∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，∴点A（0，﹣2），点B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵CD⊥x轴，∴CD∥OA，∴△AOB∽△CDB，∵S△BCD：S△AOB＝1：4，∴＝＝，∴CD＝1，BD＝2，∴OD＝OB+BD＝6，∴点C的坐标为：（﹣6，1），∵反比例函数y＝（x＜0）的图象过点C，∴k＝﹣6×1＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题考查了一次函数的性质与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】根据题意可得AB是CD的垂直平分线，从而可得AD＝AC，BD＝BC，再利用等腰三角形和平行线的性质可得CD平分∠BCE，即可判断①；根据圆内接四边形对角互补和平角定义可得∠DEB＝∠ACB，再利用SSS证明△ADB≌△ACB，然后利用全等三角形的性质可得∠ADB＝∠ACB，从而可得∠DEB＝∠ADB，即可判断②；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连接OB，交EC于点H，利用①②的结论可得BE＝BC，从而可得＝，然后利用垂径定理可得∠OHE＝90°，最后利用平行线的性质可求出∠OBD＝90°，即可解答．解：∵点C与点D关于AB对称，∴AB是CD的垂直平分线，∴AD＝AC，BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD∥CE，∴∠BDC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠BCD，∴CD平分∠BCE；故①正确；∵四边形ACBE是⊙O的内接四边形，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠AEB+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠ACB，∵AD＝AC，BD＝BC，AB＝AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠ADB＝∠ACB，∴∠DEB＝∠ADB，∴BD＝BE，故②正确；∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF与△ABE不相似，故③不正确；连接OB，交EC于点H，∵BD＝BE，BD＝BC，∴BE＝BC，∴＝，∴OB⊥CE，∴∠OHE＝90°，∵BD∥CE，∴∠OHE＝∠OBD＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BD为⊙O的切线，故④正确；所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：①②④，故答案为：①②④．【点评】本题考查了角平分线的定义，切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，以及圆周角定理，垂径定理是解题的关键．三、解答题17．已知函数y＝（m﹣1）x+mx+1是关于x的二次函数，m为何值时，二次函数有最小值？①求出此时m的值及二次函数的解析式；②求出此函数与x轴的交点坐标．【分析】①由二次函数的定义可求得m的值，二次函数有最小值时，可求得相应的m的值，即可求得二次函数的解析式；②令y＝0，则2x2+3x+1＝0，解方程即可求得此函数与x轴的交点坐标．解：①∵函数y＝（m﹣1）x+mx+1是关于x的二次函数，∴m2﹣3m+2＝2，解得m＝0或m＝3，∵当二次函数有最小值，∴m﹣1＞0，∴m＞1，∴m＝3，∴抛物线解析式为y＝2x2+3x+1；②令y＝0，则2x2+3x+1＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣，∴此函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（﹣，0）．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，由二次函数的定义求得m的值是解题的关键．18．某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；（2）若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；（3）甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．【分析】（1）用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；（2）用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；（3）画出树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种．再根据概率公式即可求解．解：（1）本次调查的学生人数为：80÷40%＝200（人），则科普类的学生人数为：200﹣40﹣50﹣80＝30（人），补全条形统计图如下：（2）愿意参加劳动社团的学生人数为：（人）；（3）把阅读、美术、劳动社团分别记为A、B、C，画出树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有3种，∴甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为．【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．（1）抛物线C顶点坐标为（1，1）；（2）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；（3）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1求出抛物线C1的解析式．【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可得出答案；（3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．解：（1）∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1）．故答案为：（1，1）；（2）∵y＝2（x﹣1）2+1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝19；当x＝3时，y＝9；∴当﹣2≤x≤3时，二次函数的函数值y的取值范围为1≤y≤19；（3）∵抛物线C：y＝2（x﹣1）2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝2（x﹣1+1）2+1+2，即y＝2x2+3．【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC，BC，BD，OF⊥AC于点F，且OF＝1．（1）求BD的长；（2）当∠D＝30°时，求圆中弧AC的长和阴影部分的面积．【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得BC＝2OF＝2，再利用垂径定理可得＝，推出BD＝BC，即可解决问题．（2）连接OC，利用弧长公式求出弧AC，再求出弓形的面积即可．解：（1）∵OF⊥AC，∴AF＝FC，∵OA＝OB，∴BC＝2OF＝2，∵AB⊥CD，∴＝，∴BD＝BC＝2；（2）连接OC．∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∴∠AOC＝120°，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∴的长＝＝，阴影部分的面积＝﹣×2×1＝﹣．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形30度角性质、扇形的面积公式、弓形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．21．如图，在矩形OABC中，A，C两点分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点B（﹣1，2），一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于B，D两点，已知点D的横坐标为2．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出一次函数大于反比例时x的取值范围；（3）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得S△PAB＝4S△BCD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点B的横纵坐标相乘，求出m的值，进而求出D点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）由图象可得即可；（3）先求出S△BCD，利用S△PAB＝4S△BCD求出点P的坐标．解：（1）∵B（﹣1，2）在双曲线上∴m＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为：，当x＝2时，y＝﹣1，∴D（2，﹣1），∵B（﹣1，2），D（2，﹣1）在直线y＝kx+b（k≠0）上，∴，解得：，∴y＝﹣x+1；（2）∵B（﹣1，2），D（2，﹣1），∴一次函数大于反比例函数时x的取值范围：x＜﹣1或0＜x＜2，（3）存在；∵四边形OABC是矩形，B（﹣1，2）∴A（﹣1，0），C（0，2），∴AB＝2，BC＝1，∵D（2，﹣1），∴S△BCD＝＝×1×3＝，设点P的横坐标为a，则：，∵S△PAB＝4S△BCD，∴，解得：a＝5或a＝﹣7，当a＝5时，；当a＝﹣7时，；∴存在点P或，使S△PAB＝4S△BCD．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．22．如图，⊙O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上且FC＝FE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若BF＝6，sinF＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ABC＝90°，然后利用等腰三角形的性质，以及等弧所对的圆周角是直角证明∠FCB＝∠A，即可解答；（2）在Rt△FBC中先求出BC和FC的长，然后证明△FBC∽△FCA，利用相似三角形的性质即可解答．【解答】（1）证明：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∴∠FCB+∠DCB＝∠A+∠ACD，∵点D是的中点，∴＝，∴∠ACD＝∠DCB，∴∠FCB＝∠A，∴∠FCB+∠ACB＝90°，∴∠OCF＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△FBC中，BF＝6，sinF＝，∴＝，设BC＝4x，CF＝5x，∵BC2+BF2＝CF2，∴（4x）2+36＝（5x）2，∴x＝2或x＝﹣2（舍去），∴BC＝8，CF＝10，∵∠CBF＝∠ACF＝90°，∠F＝∠F，∴△FBC∽△FCA，∴＝，∴＝，∴CA＝，∴⊙O的半径为：．【点评】本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．23．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？【分析】（1）根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量为5（x﹣20）千克，进而再根据题意列出函数解析式即可；（2）根据“总利润＝（售价﹣进价）×销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质即可得答案；（3）根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得x的取值范围，再由二次函数的性质求最大值．解：（1）根据题意得，y＝50﹣5（x﹣20）＝﹣5x+150，即y＝﹣5x+150（x≥20）；（2）根据题意得，w＝（x﹣18）（﹣5x+150）＝﹣5x2+240x﹣2700，即w与x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+240x﹣2700，∵w＝﹣5x2+240x﹣2700＝﹣5（x﹣24）2+180，且﹣5＜0，∴当x＝24时，w有最大值，最大值为180，答：w与x之间的函数关系式为：w＝﹣5x2+240x﹣2700，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；（3）由题意得，﹣5x+150≥40，解得：x≤22，∵w＝﹣5（x﹣24）2+180，∴当x≤24时，w随x的增大而增大，∴当x＝22时，w有最大值，最大值为：w＝﹣5×（22﹣24）2+180＝160，答：商家每天销售利润的最大值是160元．【点评】本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，解题的关键是在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性求最值．24．如图，⊙O的直径AB＝8，△MAC为等腰三角形，MA＝MC，点M在⊙O上．（1）如图1，当点C与点O重合时，∠MAC的度数为60°；（2）如图2，当点C为线段OB的中点时，求cos∠MAC的值；（3）在第（2）的前提下，延长MC至点P，连接PB，则当PC长为多少时PB与⊙O相切？【分析】（1）由点C与点O重合，MA＝MC，可得△AMC是等边三角形，即可得∠MAC＝60°；（2）过M作MH⊥AB于H，连接MB，由C为线段OB的中点，得AC＝6，BC＝2，而MA＝MC，MH⊥AB，有AH＝CH＝3，再证明△AHM∽△AMB，＝，可求得AM＝2，从而Rt△ABM中，求出cos∠MAC＝＝；（3）过M作MH⊥AB于H，连接MB，由PB与⊙O相切，∠PBC＝∠MHC，故△BCP∽△HCM，＝，可得＝，即求出CP＝．解：（1）∵点C与点O重合，∴MC＝AC，∵MA＝MC，∴△AMC是等边三角形，∴∠MAC＝60°，故答案为：60°；（2）过M作MH⊥AB于H，连接MB，如图：∵⊙O的直径AB＝8，C为线段OB的中点，∴AC＝6，BC＝2，∵MA＝MC，MH⊥AB，∴AH＝CH＝AC＝3，∠AHM＝90°，∵AB为⊙O直径，∴∠AMB＝90°，∴∠AMB＝∠AHM，又∠A＝∠A，∴△AHM∽△AMB，∴＝，即AM2＝AH•AB，∴AM＝2．Rt△ABM中，cos∠MAC＝＝；（3）过M作MH⊥AB于H，连接MB，如图：由（2）知：CH＝AH＝3，BC＝2，CM