线性代数习题及答案

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习题一

1.计算以下排列的逆序数1）9级排列134782695；2）n级排列n(n?1)2。1

解：（1）?(134782695)?0?4?0?0?4?2?0?0?0?10；

n(n?1)(n?1)?(n?2)??1?0?2。（2）?[n(n?1)21]?2.选择i和k，使得：1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i?3,k?8，则排列的逆序数为：?(127435689)?5，排列为奇排列。从而i?3,k?8。

（2）令i?3,k?6，则排列的逆序数为：?(132564897)?5，排列为奇排列。与题意不符，从而i?6,k?3。3.由定义计算行列式

a11a21a31a41

aaaa1222324252000aa00043530004454aaa4555。

a51aaj,j,j解：行列式＝j1j2j3j4j5，由于123至少有一个大于3，

aaaaa?0aaaj,j,j,j,j所以1j12j23j3中至少有一数为0，从而1j12j23j34j45j5（任意12345），

?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5于是j1j2j3j4j54.计算行列式：

?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0。

40?2?13122?4；2）1）

1464161327912841?5?12525?11111?11111?11111?1a2b2c2d2；3）

41100125120234207；

4）；5）。解：（1）40；（2）－16；（3）0；（4）－1008；（5）0。

5.计算n阶行列式：

(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2(c?3)2(d?3)2x000y1）

yx0000yx00000x000011023?102?20000122222n?100n00y0x；2）0111?a1111?a23）

2?n0n?11?n；2222322000x000y（按第一列展开）

11x0x00yx1?an22a?0（i）；4）

y000xy00?(?1)n?1y0xxyxn。

0解：（1）原式=00

nn?1nx?(?1)y。=

00

n(n?1)2100023n?100n00?102?20000（2）行列式=第一列展开）

n(n?1)(?1)(?2)(1?n)=2

(n?1)!(?1)n?12。=

2?n0n?11?n（后n?1列和加到第一列，再按

100111?a1111?a211111?an（第一行第一列为添加的部分，注意此时

1?1?a1000?1an1a10010a20230an01（3）行列式=

为n?1级行列式）

r2?r1r3?r1111?1a10?10a2?11?a110c1?a1c211c?01a2c3??

rn?1?r10?01)a1a2anananc1?1cn?1an

(1?=。

r2?r1r3?r1111120002023200n?2

?（4）行列式rn?r1

21?(?1)2?102120n?200=

??2(n?2)!。

（按其次行展开）

提高题

1.已知n级排列

j1j2jn?1jn的逆序数为k，求排列jnjn?1j2j1的逆序数。

jjjn?1jn中1前面比1大的数的个数为k1，

解：设原排列12则1后面比1大的数的个数(n?1)?k1jjj2j1中1前比1大的个数为(n?1)?k1个；依此类推，为，于是新排列nn?1jjjn?1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn?1j2j1中i前

原排列12(n?i)?ki?(jjjn?1jn)?k1?k2??kn?1?k，故新排列的逆

比i大的个数为个记12序数为

n(n?1)?1?2?(n?1)?k??k[(n?1)?k1]?[(n?2)?k2]?[(n?(n?1)?kn?1]2。

2.由行列式定义计算

2xx121x1?1f(x)?32x134111x中x与x的系数，并说明理由。

解：由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行

4列式中每个元素最高含x的一次项，因此x的项只能由对角线上的元素乘积所得到

x4，故x4的系数为(?1)?(1234)?2＝2。

?(2134)3同样的考虑可得x的系数为(?1)＝－1。

11P(x)?11xa1a2an?1x2a122a22an?1xn?1a1n?1n?1a2n?1an?13.设

，其中ai互不一致。

1）说明P(x)是一个n?1次多项式；

2）求P(x)?0的根。

P(x)?A11?1?A12?x?解：1)把P(x)按第一行展开得：

?A1n?xn?1。

A1n?111a1a2an?1a1n?2n?2a2n?2an?1?0，所以P(x)是一个n?1次多项式。

(a1?an)(a2?a3)(a2?an)(an?1?an)而

根据范德蒙行列式P(x)?(x?a1)(x?a2)

x?ai（i?1,2,,n?1）代入P(x)中有两行元素一致，所以行列式为

2)由于

a,a,,an?1零，从而P(x)?0的根为12。

(x?an)(a1?a2)习题二解答

1.计算

?a11?x1x2x3???a21?a?311）

?0?10?A??10?1?2）已知

a12a22a32a13??x1????a23??x2??a33??x3???；

?????0?；求A2、A3、A4。

222ax?(a?a)xx?(a?a)xx?ax?(a?a)xx?ax111122112133113222233223333解：1）；?0??0?00??0?A2??A3???100??0???100??；?12）

?311??11???A??212?B??2?1?10?123????2.设1）

，

??0???00?0??A4????000?00???000?0000??。；?1?0??1??AB?BA，求

。

?1ac??abc??B??1bb?A??cba?????1ca??111???，求AB。??，2）

?a11x1?a12x2????ax?ax??1n12n2b1k1??am1xm?0?amnxm?0的解。则

?a11k1????ak??1n1?am1km?0?amnkm?0，从而

?bmkm?(a11k1??am1km)y1??(a1nk1??amnkm)yn?0。

2）若

?a11x1?a12x2????ax?ax??1n12n2?am1xm?0?amnxm?0的解全是

b1x1??a11x1?a12x2???a11x1?a12x2??am1xm?0?????a1nx1?a2nx2??amnxm?0?ax?ax??ax?0?bx?bx??bmxm?0mnm?1n12n2与?1122同解，所以矩阵

a1n??a11a12??a1n??a11a12?????am1am2amn??????a?bbbaa2n?的秩相等。而它们的转置即为方程组mn?与矩阵?1?m1m2?bmxm?0的解，即

?am1xm?0?a11y1?a12y2??a1nyn?b1???ay?ay??ay?bmnnm?m11m22的系数矩阵和增广矩阵，由于转置矩阵与原矩阵的

秩相等，所以方程组

2.已知平面上三条不同直线的方程分别为：

?a11y1?a12y2??a1nyn?b1???ay?ay??ay?bmnnm?m11m22有解。

l1：ax?2by?3c?0，l2：bx?2cyl?3a?0?3b?0，3：cx?2ay。

证明：这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0。

证明：1）设三条直线交于一点，则三条直线对应的方程构成的方程组有唯一解。由于三条直线不同，所以方程组的系数矩阵秩为2，故增广矩阵的秩也必需为2。即

a2b?3cb2c?3a?6(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0c2a?3b行列式，故a?b?c?0。

2）若a?b?c?0，三条直线对应的方程增广矩阵的秩小于3。

a2b13?2(ac?b2)??2[(a?b)2?b2?024又b2c，所以系数矩阵的秩为2。从而方程

组有唯一解。

3．已知方程组

?x1?x2?2x4??6?x1?mx2?x3?x4??5???4x1?x2?x3?x4?1?nx2?x3?2x4??11?3x?x?x?3?x?2x??t?112334?（I）与（II）?。

问方程组（II）中的参数m,n,t为何值时，方程组（I）与（II）同解。

解：由于方程组（I）与（II）同解，则方程组（I）与（I）、（II）联立的方程组同解。（I）、（II）联立的方程组增广矩阵为

?11??4?1?3?1??1m?0n??00?0?1?1?1?11?2?10?1?2?2?6??1??1??03??0????5??0?11??0????t?1???00100000?10?11?20m?20?4?n00?2???4??5??4(m?2)?4(n?4)???t?6??。

所以m?2，n?4，t?6。

4．给定齐次线性方程组

nnn，

A?(aij)A?0A?0，若(x1,其中的行列式，且存在一kt??a11x1???ax??n11?anx1n?0?ax?0,xn)是方程组的任一非

xnAkn。

A?0A?0，所以齐次方程组的系数矩阵的秩为n?1，基

证明：由于，且存在一kt(A,,Akn)是齐次方程组的一个非零解，所以

础解系中仅含一个非零解。又k1x1x?2?零解，证明：Ak1Ak2?x1x?2?Ak1Ak2?xnAkn

习题四

??(2,5,1,3)，?2?(10,1,5,10)，?3?(4,1,?1,1)。且向量?满足1.设13(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，求?。解：??(1,2,3,4)。

2.以下向量组中，向量?能否可由说明表示式是否唯一。1）

?1，?2，?3线性表示？若能，写出表示式，并

?1?(1,1,1,1)，?2?(1,1,?1,1)，?3?(1,?1,1,?1)，??(1,2,1,2)；

??(1,2,1,3)，?2?(1,?3,?4,?7)，?3?(2,1,?1,0)，??(4,?1,?5,?6)。2）1?111?11?1??1?11??11?111????2????01??0?2???0?14?????1??0????5???0?6???000100100071003解：1）由于式是唯一的。

?2?0??1??231??????310??，故22。表示511?5?9?5?0??0??，故表示式不唯一，其

32）由于

?112??2?31?1?4?1??3?70500中一个表示为

3.判断以下向量组是否线性相关：1）2）3）

??119?1??255。

?1?(2,3,6)，?2?(5,2,0)，?3?(7,5,6)；

?1?(1,3,4,?2)，?2?(2,1,3,?1)，?3?(3,?1,2,0)；?1?(1,2,3)，?2?(2,3,1)，?3?(1,3,t)；

222??(1,a,a)??(1,b,b)??(1,c,c)。4）1，2，3解：1）线性相关；2）线性相关；3）当t?8时线性相关，当t?8时线性无关。4）当a,b,c有某两个相等时线性相关，当a,b,c互不一致时线性无关。4.设

?1，?2，?3线性无关，证明?1，?1??2，?1??2??3也线性无关。

证明：设有

k1?1?k(??)2?k(3??02?11??2?)3?，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0。由于?1，?2，?3线性无关，所以

????2，(k1?k2?k3)?(k2?k3)?k3?0，k?k2?k3?0。?1??2??3推出1故1，1也线性无关。5.设向量组示成

?1,,?s线性无关，而向量组?1,,?s，?线性相关。证明?可表

,ks,k使得

?1,,?s的线性组合，且表示式是唯一的。

证明：由于向量组

?1,,?s，?线性相关，故存在不全为零的k1,

?ks?s?k??0。若k?0，则k1?1+?ks?s?0。又?1,,?s线性k??ks?0，此与k1,,ks,k不全为零矛盾，所以k?0。从而

无关，可得1有

k1?1+???(k1?1+1k?ks?s)，即?可表示成

?1,,?s的线性组合。

下证表示式是唯一。设有

??k1?1+?k+s?s?l1?1?ls?s，可得

(k1?l1)?1+?k(?sl?)s?。由0?1,,?s线性无关，可得sk1?l1??ks?ls?0，即表示式是唯一的。

6.判断以下两向量组是否等价：

??1?(1,2,1,1)???(1,1,1,1)1）?2，

??1?(1,1,?1,?1)???2?(1,?1,1,?1)???(1,?1,?1,1)?3；

??1?(1,2,1)???(1,?1,?2)；

2），?2??????1??2，?2??2??3，?3??3??1。3）1，2，3；1?1?2??1??11111111??11?0?11?1?1?????11?1??00???1?11??00111??1?3?3??101??01?1?，故两向量组不

??1?(1,1,0)???2?(0,1,1)???(1,0,?1)?3解：1）由于等价。

11??10111??101????1102?1?01?11?2?????01?1??000?1?200????，故两向量组等价。2）由于

???(?2??3)，所以无论?1，?2，?3的相关性如何，?1,?2,?3都是线性

3）由于1相关的，故1，2，3与123不等价。

7.求以下向量组的极大线性无关组，并用它来表示其余向量：1）2）

????,?,??1?(0,0,0,1)，?2?(1,1,0,1)，?3?(2,1,3,1)，?4?(1,1,0,0)，?5?(0,1,?1,?1)。

?1?(1,1,2,2,1)，?2?(0,2,1,5,?1)，?3?(2,0,3,?1,3)，?4?(1,1,0,4,?1)。

10??1?011????0?1??0??0?1??0解：1）由于

????1??2。

大线性无关组，且4?1021??1???1201???0?2130???0???25?14???0?1?13?1??0??