中山大学信息光学习题课后标准答案-习题234章作业

#/8习题22.1把下列函数表示成指数傅里叶级数，并画出频谱。(1)f(x)=£rect((1)f(x)=£rect(x-2n)(2)£tri(x-2n)n二一8n二一8F{1}=b&,n);(5)F{n5(sinnx)}；F{sgn(x)sgn(y)}=(6)F2-n(x2+y2)/a2n=-g2.2证明下列傅里叶变换关系式：F{rect(x)rect(y)}二sincd)sinc⑺)；(2)F{A(x)A(y)}=sinc21)sinc2(q)；求x和xf(2x)的傅里叶变换。求下列函数的傅里叶逆变换，画出函数及其逆变换式的图形。H(己)=trj(+-)&r-( G&)=rect(-3)rec证明下列傅里叶变换定理：(1)在所在f(x,y)连续的点上ff{f(x,y)}=F-1F-1{f(x,y)}=f(-x，—y)；F{f(x,y)h(x,y)=F{f(x,y)}*F(g(x,y)}。2.6证明下列傅里叶-贝塞尔变换关系式：(1)若f(r)=3(r-r)，则B{f(r)}二2nrJ(2nrp)；r 0 r 00 0(2)若a<r<1时f(r)=1，而在其他地方为零，则B{f(r)}=)(2,P)aJ1(2,aP)；r rp 1(pA(3)若B{f(r)}=F(p)，则B{f(r)}=—p；r ra21aJ(4)B{e-nr2}=e-邛22.7设g(r,0)在极坐标中可分离变量。证明若f(r,0)=f(r)eimd，则：rF{f(r,0))=(-i)mei蹄H{f(r)]mr其中H{}为m阶汉克尔变换：H{f(r)}=2Jrf(r)J(2nrp)dr。而(p,。)空间频率中的极坐m mr 0rm标。(提示：eiasinx=£sJ(a)eikx)k=-8k

(1)rect((x一1、⑶rectV2J*(1)rect((x一1、⑶rectV2J*8(2x—3)*comb(x)2.9试用卷积定理计算下列各式。sinc(x)*sinc(x)(x+3、-c..crect *8(x-4)*8(x-1)I2J.(nx) ,、sin—*rect(x)V2J(2)F{sinc(x)sinc(2x)}用宽度为a的狭缝，对平面上强度分布f(x)=2+cos(2危x)0扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出强度分布。利用梳状函数与矩形函数的卷积表示光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N。计算下面函数的相关。(1)(x一1)★rect—V2J⑵tri(2x-14tri(2x-1)2.13应用傅里叶定理求下面积分。(1)J8e-nx2cos(2nax)dx一8(2)J"sinc2(x)sin(nx)dx一8求函数f(x)=rect(x)和f(x)=tri(x)的一阶和二阶导数。试求下图所示函数的一维自相关。ol1 2 3 4 5 6 7试计算函数f(x)=rect(x-3)的一阶矩。证明实函数f(x,y)的自相关是实的偶函数，即：R(x,j)=R(-x,-j)。a aff ff求下列广义函数的傅里叶变换。step(x) (2)sgn(x) (3)sin(2nN0x)求下列函数的傅里叶逆变换，并画出函数及其逆变换式的图形。H(x)=tri(x+1)-tri(x-1) (2)G(x)=rect(x/3)-rect(x)表达式

/ 、 / 、”■,rx'ip(x,y)=g(x,y)*comb-comb_Ix7定义了一个周期函数，它在X方向上的周期为X它在y方向上的周期为y。(a)证明p的傅里叶变换可以写为:n=—8m=—8其中G是g的傅里叶变换。,、 一八 r_y) (b)当g(x,定义了一个周期函数，它在X方向上的周期为X它在y方向上的周期为y。(a)证明p的傅里叶变换可以写为:n=—8m=—8其中G是g的傅里叶变换。,、 一八 r_y) (b)当g(x,y)=rect2—rect22_时，回出函数p(x,y)的图形，并求出对应的傅里叶变换I17习题33.1设在一线性系统上加一个正弦输入：g(x,y)=cos[2兀&x+ny)]，在什么充分条件下，输出是一个空间频率与输入相同的实数值正弦函数？用系统适当的特征表示出输出的振幅和相位。3.2证明零阶贝塞尔函数2J0(2兀PJ)是任何具有圆对称脉冲响应的线性不变系统的本征函数。对应的本征值是什么？3.3傅里叶系统算符可以看成是函数到其他变换式的变换，因此它满足本章把提出的关系系统的定义。试问:(a)这个系统是线性的吗?(b)你是否具体给出一个表征这个系统的传递函数？如果能够，它是什么？如果不能，为什么不能?3.4某一成像系统的输入是复数值的物场分布U(X,y)，其空间频率含量是无限的，而系统的输出是像场o分布U(x,y)。可以假定成像系统是一个线性的空间不变换低通滤波器，其传递函数在频域上的区间1|己|<B，|”£B之外恒等于零。证明，存在一个由点源的方形阵列所构成的“等效”物体U'(x,y)，它与真实物体U产生完全一样的像。，并且等产供效物体的场分布可写成:U(己E)s1nc(n—2B己)s1nc(m—2B"尴d”n=-8m=-80—82B-，y2B-/Xy3.5定义:Axy一1一JJf(x,y)dxdy,Af(0,0)一8一1一JfFd,”)d^d”F(0,0)一8分别为原函数f(x,y)及其频谱函数F&,n)的“等效面积”和“等效带宽”，试证明:AA=1xy丁勒上式表明函数的“等效面积”和“等效带宽”成反比，称为傅里叶变换反比定理，亦称面积计算定理。已知线性不变系统的输入为：f(x)=comb(x)。系统的传递函数为rect化/b)。当b=1和b=3时，求系统的输出g(x)，并画出函数及其频谱。对一个线性不变系统，脉冲响应为：h(x)=7sinc(7x)用频率域方法对下列的每一个输入f(x)，求其输出g(x)(必要时，可取合理近似):ii(1)f(x)=cos4nx1f(x(1)f(x)=cos4nx1f(x)=[1+cos(8nx)]rect(x/75) (4)f(x)=comb(x)*rect(2x)343.8给定正实常数匕和实常数。和b，求证:1(1)若|b|<芥2q01则——1(1)若|b|<芥2q01则——IbIsinc(x/b)*cos(2ngx)=cos(2ngx)(2)若1b1>:2g

0贝U sinc(x/b)*cos(2ngx)=0IbI 0⑶若|b|<|a|，则sinc(x/b)*sinc(x/a)=|b|sinc(x/a)IaI(4)若।b|<，则smc(x/b)*smc2(x/a)=|b|smc2(x/a)213.9若限带函数f(x)的傅里叶变换在带宽攻之外恒为零，(1)如果।a|<—，证明:w11since(a/f*c=(f)x()(2)如果|a|>，上面的等式还成立吗?IaI w3.10给定一个线性系统，输入为有限延伸的矩形波：g(x)=3comb(x/3)rect(x/100)*rect(x)若系统脉冲响应：h(x)=rect(x-1)。求系统的输出，并绘出传递函数、脉冲响应、输出及其频谱的图形。3.11给定一线性不变系统，输入函数为有限延伸的三角波2comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1)H&)=rect化/2) (2)H2comb(x/2)rect(x/50)*tri(x)对下列传递函数利用图解方法确定系统的输出：(1)H&)=rect化/2) (2)H&)=rect6/4)—rect化/2)若对函数：h(x)=asinc2(ax)抽样，求允许的最大抽样间隔。证明在频率平面上一个半径为B的圆之外没有非零的频谱分量的函数，遵从下述抽样定理：g(x,y)=EEgn=-8m=-8cJ[2nB、；(x—n/2B)2+(y—m/2B)2]2^2nB、《(x—n/2B)2+(y—m/2B)24.1尺寸为axb的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠零后的平面上透射光场的角谱。4.2采用单位振幅的单色平面波垂直照明具有下述透过率函数的孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布：⑴t(X0,yJ=circ(\.0+y;)1,a<X:X2+y2<10 00,其它4.3余弦型振幅光栅的复振幅透过率为：t(x)=a+bcos(2兀x/d)式中，d为光栅的周期，a>b>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下述值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。(3)z=[=d-2-4 2人4.4参看下图，用向P点会聚的单色球面波照明孔径，。P点位于孔径后面距离为z的观察平4.4面上，坐标为(0,b)。假定观察平面相对孔径的位置是在菲涅耳区内，证明观察平面上强度分布是以P点为中心的孔径的夫琅禾费衍射图样。方向余弦为cosa,cosP,振幅为A的倾斜单色平面波照明一个半径为〃的圆孔。观察平面位于夫琅禾费区，也孔径相距为z。求衍射图样的强度分布。环形孔径的外径为2a，内径为2sa(0<8<1)。其透射率可以表示为：[1,sa<r<aM)/其他0用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求距离为z的观察屏上夫琅禾费衍射图样的强度分布。下图所示孔径由两个相同的圆孔构成。它们的半径都为a，中心距离为d(d>>a)。采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，求出相距孔径为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布并画出沿y方向截面图。参看下图，边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在&,n)点。采用单位振幅的单色平面波垂直照射，求出与它相距为z的观察平面上夫琅禾费射图样的光场分布。画出x'=y'=0时，孔径频谱在x方向上的截面图。

下图所示孔径由两个相同的矩孔构成，它们的宽度为〃，长度为b，中心相距d。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。假定b=4a及d=1.5a，画出沿x和y方向上强度分布的截面图。即：下图所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可以用阶跃函数表示，即：t(x)=step(x)00采用单位振幅的单色平面波垂直照明衍射屏，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的复振幅分布。画出沿X方向的振幅分布曲线。下图所示为宽度为a的单狭缝，它的两半部分之间通过相位介质引入位相差n。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅禾费衍射图样强度分布。画出沿x方向的截面图。线光栅的缝宽为a，光栅常数为d，光栅整体孔径是边长L的正方形。试对下述条件，分别确定a和d之间的关系：光栅的夫琅禾费衍射图样中缺少偶数级。光栅的夫琅禾费衍射图样中第三级为极小。衍射屏由两个错开的网络构成，其透过率可以表示为：t(x,y)= comix( a/ )coymb^b /)comb[4a0.1)y)bcomb( /)00 0 0 0 0采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为Z的观察平面上夫琅禾费衍射图样的强度分布。画出沿x方向的截面图。如下图所示为透射式锯齿形位相光栅。其折射率为n，齿宽为a，齿形角为a，光栅的