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文档简介
#常用运算式：P-1ABP=(P-1AP)(P-1BP),PT(kA+IB)P=kPtAP+IPtBP若A和B相似or(A)=r(B)o|a|=IBotr(A)=tr(B)o|^E—a|=|XE—Bo九=XAB⑷若A和B相似oA-1和b-1相似oA和B相似于同一个对角阵A(5)若«=(a,Aa)T,卩=(b,Ab)T，则有tr(a卩T)=卩Ta=pTa=ab+ab+Aab1n1n1122nn4、矩阵对角化定义：n阶矩阵A，若有P-1AP=A，则称A可对角化n阶矩阵A(特征值为九，九，A九且r(A)=r<n)可对角化的充要条件：12s若九，九，A九互不相等oA可对角化12s若九，九，A九中有k个九相等，且r(九E-A)=n-koA可对角化12s若九，九，A九中有k个九相等，且r(九E-A)>n-koA不可对角化12s5、正交矩阵A是正交矩阵oAAT=EoAT=A-1oAT，A-1也是正交矩阵A是正父矩阵n|a|=±1nA的各彳丁(列)是单位向量且两两正父A，B都是正交矩阵nAB是正交矩阵六、二次型1、基本概念二次型(三元二次型)：f=a11x12+a22x222+a33x323+2a12x1x2+2a13x1x3+2a23x2x3标准二次型(三元二次型)：f=k1y12+k2y22+k3y322、矩阵合同定义：若AB矩阵有CTAC=B，则称AB合同，记为A=B设AB均为n阶实对称矩阵，则有相似n合同，相似n等价，反之不成立。若A=Bor(A)=r(B)且AB有相同的正惯性指数oA，B正负特征值个数相同3、正定二次型和正定矩阵(A为n阶实对称方阵)(1)定义：对阵矩阵A的二次型f=xTAx如果对于任何非零向量x都有xTAx>0则称f=xTAx为正定二次型，称矩阵A为正定矩阵。⑵A为正定矩阵o九>0，(i=1,2A)iA为正定矩阵oA-1,AT，A*为实对称矩阵A为正定矩阵oA的正惯性指数p=nA为mxn矩阵且r(A)=n<mnATA为正定矩阵A为正定矩阵且有非奇异矩阵C使得A=CTCoA=EA，B为n正定矩阵nA+B为正定矩阵，但AB，BA不能确定⑻A为正定矩阵nIaI>0且a>0(i=1,2An)ii(9)A为正定二次型oA各阶顺序主子
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