湖南师范大学基础高等数学复习题

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湖南师范大学基础高等数学期末复习题

一、填空题

1、若f(x)的定义域为(,0),则f(lnx)的定义域为；

2、lim

x0

x

sint2dtx

3

3、

1

1

dxx2

4、若f(x)dxxexc,则f(x)5、函数f(x)x22x3在1,2上满足拉格朗日中值定理的=6、曲线y2x23x26在点(3,1)处的切线的斜率k7、若f(1)(1x)2则f(x)

xx8、设f(x)x(x1)(x2),则f(1);9、设yf(cosx),f(u)可导,则dy10、若f(x)dxexc,则f(x)；11、(x)

sintdt,则(x)2

x

12、在0,2上曲线ysinx与x轴所围成的图形的面积为.13、设ye

sinx

d2y

，求2

dx

e2xb,x0;

14、设f(x)在x0处可导,则a;b;

sinax,x0

15、已知e16、

x

是f(x)的一个原函数,则xf(x)dx

1

1

(xarcsinx)dx

17、函数yxx的极大值为18、若

dx2'

f(t)dtsin(x),则f(x).dx0

二、单项选择题（在每题的备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确答案的题号填入题干的括号内,多项选择不给分.）.

1、limxsin（）

xx

①1②③不存在④0

2、设函数f(x)x，则f(x)在点x0处（）①可导②不连续

③连续，但不可导④可微

3、当x0时，以下函数为无穷小量的是（）①

1sinx11

②x2sin③ln(x1)④1

xxxx

4、设函数f(x)在x0处具有二阶导数，且f(x0)0，f(x0)0，则f(x0)为

①最小值②微小值③最大值④极大值

5、设sinx是f(x)的一个原函数，则f(x)dx（）

①sinxC②cosxC

③sinxcosxC④xsinxC6、1

e

1

=()

x(1lnx)

①ln21②ln2C③2④ln2

7、设ysin2x,则dy（）①2sinxcosx②2cosxdx③2sinxdx④sin2xdx

x,x0

8、点x0是函数f(x)x的（）

e1,x0①连续点②可去休止点

③其次类休止点④第一类休止点，但不是可去休止点9、lim

sin3x

（）

x0x

①1②2③3④10、

e

1xlnx

1

=()

①22②21③21④2(21)

11、设cosx是f(x)的一个原函数，则

f(x)dx（）

①sinxC②cosxC③sinxcosxC④xsinxC

12、

e

1

dx

()

x(12lnx)

11

ln3③ln2④ln2

22

①ln3②

13、曲线y2x23x26在点(3,1)处的切线的斜率k()

①3②1③15④0

x21,x1,

14、设f(x)，则f(x)在x=1处………………()

3x1,x1①既可导又连续②可导但不连续③不连续也不可导④连续但不可导15、设f'(x0)存在，则lim

h0

f(x02h)f(x0)

………..…..()

h

①f'(x0)②f'(x0h)③2f'(x0h)④2f'(x0)16、以下函数中，为y2(e2xe2x)的原函数的是………….()

11

①e2xe2x②(e2xe2x)③e2xe2x④(e2xe2x)

22

三、计算题

112dyd2y

1、设xt,ytlnt,求,2。

t2dxdx

2、确定函数f(x)2x39x212x3的单调区间与极值。3、求xsin3xdx。4、求

20

2x2dx

xcost

5、求曲线上对应t点处的切线方程和法线方程.

4ysint

6、求函数yxe

2x

的极值.

7、求定积分8、求

4

x22x1

.

sin3xsin5xdx.

9、求

2x1

.

x32x2x

x

10、设yx(x0),求dy

3

xetsint,dy

11、设方程确定函数yy(x),求t

dxyecost12

、求积分t

.

.13

、求积分.

四、应用题与证明题

1、由曲线ylnx,xe与y0所围成的平面图形的面积A以及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积V.

2、求由曲线yx2与直线x1,x2,y0所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。

3、铁皮做成一个容积为V0的有盖圆柱形匣子,怎样做才能使所用铁皮最少？4、抛物线yx2及直线yx2所围图形的面积.

x

ln(1x)x,(x0)1x

6、求证：xf(sinx)dxf(sinx)dx.。

020

5、证明：

注：请各位老师务必抓好期末复习工作，努力提高学生及格率。

湖南师范大学基础高等数学期末复习题参考答案

一、填空题

1、(0,1);2、;3、1;4、ex(x1);5、

9、f(cosx)sinxdx;10、

13

1

6、15.7、(1x)28、－1;2

ex;11、sinx;12、0.13、ycosxesinx，.

d2ysinxsinx2

(cosxe)e(sinxcosx)；14、a2,b1；2

dx

16、

15、xf(x)dx

11

xx

xdf(x)xf(x)f(x)dxxeeC.

(xarcsinx)dxxdxarcsinxdx2xdx01.

1

1

111

5

；18、2xcos(x2)。4

二、选择题（共7个小题，每题4分，共28分）

1、②2、③3、②4、④5、①6、④7、④8、①9、③10、④11、②12、②13、③14、④15、④；16③；三、计算题

dyd2yt2

t,,21、

dx1t2dx

2、函数的定义域为(,)，f(x)6x18x126(x2)(x1),令f(x)0,即解6(x2)(x1)0,得出它的两个根x11,x22.

2

即函数f(x)在,1和2,上单调增加,在1,2上单调减少.

x1极大值点，极大值f(1)2;x2为微小值点,极大值x1,f(2)1

xsin3xdx

x11x1xdcos3xcos3xcos3xdxcos3xsin3xc。==33339

2

4.令x2sint，

2xdx222sin2

t2costdt

2

22cos2tdt

2

。

5、解:xcost

t

4

2

,ysint2

t

4

2.2

dydx

t

4

costsint

t

4

1,从而得切线方程为:y

22(x)或22

yx2,法线方程为:y

22

(x)或yx.22

6、y'xex(2x),令y'0x0,x2,列表探讨：

x=0为微小值点，微小值为f(0)=0,x=2为极大值点，极大值为f(2)4e2

t21

7、、解令2x1t,x,dxtdt.

2

4

x2

22132

(t3)dt

1322x1

12、

2

sinxsinxdx

3

35

3

sinx(1sinx)dx

32

sin

32

xcosxdx

sinxd(sinx)

sinxd(sinx)

224

()。555

8、解将被积函数分解成部分分式之和,

2x12x1ABC

.3222

xx1(x1)x2xxx(x1)

其中A、B、C为待定常数，下面用“取特别值法〞求出待定系数.

两端去分母后，得

2x1A(x1)2Bx(x1)Cx.

令x0,得A1,令x1,得C3,令x2,得B1,于是

2x1111

3x32x2xxx1(x1)2dx

lnxlnx

3x3ClnC.x1x1x1

9、在方程yxx两边同时取对数得lnyxlnx同时对x求导得

1dy

,dyxx[lnx1]dx.lnx1

ydx10、

dyetcostetsintcostsint

t，t

dxesintecostsint

costdydx

t

3

2.11、

t,则xt21,dx2tdt,

12

、

t3t212

c2tdt2

(t1)dt2(t)c3t

4

4(cossinx)dx

(sinxcosx)

1.

四、应用题与证明题

1、A=1lnxdx2、V=1

ee

e

xlnx11dx1；V1y2dx1x4dx

e

2

2

31

5

e

y2dx1ln2xdx[xln2x121lnxdx][e2]

ee

3、设圆柱形匣子底半径为r,高为h,表面积为S