圆的计算与证明(答案)

圆的计算与证明参考答案与试题解析一.解答题(共40小题).如图，已知AB是。O的直径，PB切。O于点B,过点B作BC±PO于点D，交。O于点C,连接AC、PC(1)求证：PC是。O的切线；(2)若NBPC=60°,PB=3,求阴影部分面积.【解答】(1)证明：连接OC,如图:・•OB=OC,•・/OBC=NOCB,・•AB是。O的直径，PB切。O于点B,AAB±PB，/PBO=NOBC+NPBC=90°,;BC±PO,ABD=CD,APO是BC的垂直平分线，APB=PC,ANPBC=NPCB,ANOCB+NPCB=NOBC+NPBC=90°,即OC±PC,APC是。O的切线；(2)解：由(1)知，PB、PC为。O的切线，

二PB=PC,VZBPC=60°,PB=3,・•・△PBC是等边三角形，二BC=PB=3,ZPBC=60°,AZOBC=30°,VAB是。O的直径，AZACB=90°,AZAOC=60°,VOA=OC,・•.△AOC是等边三角形，=C=0C=OB=—PB=V3,二扇形OAC的面积="嗯尹1=如,△OAC的面积=薨XC/3)2=矍,・•・阴影部分面积=2二-U.2.如图，已知AB为。O的直径，CD切。O于C点，弦CF±AB于E点，连结AC.(1)求证：ZACD=ZACF；(2)当AD±CD,BE=2cm,CF=8cm，求AD的长.

【解答】（1）证明：连接0C,(VCD切。O于C点，AZOCD=90°,AZACD+ZACO=90°,VCF±AB,AZAEC=90°,AZACF+ZCAE=90°,VOA=OC,AZACO=ZCAE,AZACD=ZACF；(2)解：由(1)可知，ZACD=ZACF,VCF±AB,:,CE=CfCF=4,设OO的半径为r，则OE=r-2,在RtAOEC中，OC2=OE2+CE2，即r2=(r-2)2+42,解得，r=5,AAE=AB-BE=8,?VZACD=ZACF,AD±CD,CF±AB,AAD=AE=8(cm).

.如图，O为/MBN角平分线上一点，OO与BN相切于点C连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD±BO于点D.(1)求证：AB为OO的切线；(2)若BC=6,tan/A5C=W■，求AD的长.3【解答】解：(1)过点O作OE±AB于点E,・•O为NMBN角平分线上一点，AZABD=NCBD,又：BC为OO的切线，AAC±BC,;AD±BO于点D,AZD=90°,AZBCO=ZD=90VZBOC=ZAOD,AZBAD+ZABD=90°,ZAOD+ZOAD=90°,VZAOD=ZBAD,AZABD=ZOAD,AZOBC=ZOAD=ZABD,在八BOC和^BOE中，rZOBC=ZOBEVZOCB=ZOEC,•・△BOC必BOE(AAS),&AOE=OC,VOE±AB,AAB是OO的切线；(2)VZABC+ZBAC=90°,ZEOA+ZBAC=90°,AZEOA=ZABC,anNW*、BC=6,AAC=BC?tanZABC=8,|则AB=10,由(1)知BE=BC=6,AAE=4,.*tan/EOA=tan/ABC=,A一,AE4：・OE=3, 制e?=3，后,VZABD=ZOBC,ZD=ZACB=90°,•・△ABDMOBC,.•里里即旦=11,ADABAD10：.AD=2.5..如图，直线MN交。O于A,B两点，AC是。O直径，NCAM的平分线交。O于点。，过点D作DE±MN于点E.(1)求证：DE是OO的切线；(2)若DE=6cm,AE=3cm，求OO的半径.【解答】(1)证明：连接OD，如图所示:•・•OA=OD,[.•・N3=N2,,?AD平分/CAM,.•・N2=N1,.•・N1=N3,•・MN//OD,;DE±MN,•・DE±OD,•・DE是OO的切线；)(2)解：连接CD，如图所示：AC是OO的直径，•・/ADC=90°,VDE±MN,

AZAED=90°AZADC=ZAED,又,「Z2=Z1,-：.△ADCs'AED,ADAE即告^==1,AAC=15(cm),=A=m-AC==^-cm,2 2即OO的半径为与m5.如图，AB是。O的直径，弦DE垂直平分半径OA,C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P,连接£/、EO.若DE=2.与，ZDPA=45°.(1)求。O的半径；(2)求图中阴影部分及△PBF的面积.【解答】解：(1)：OC±DE,：.DC=EC=-^DE=^X2^•・•弦DE垂直平分半径OA,

0C=-0A=—OE,2 2在RtAOCE中，：OE=2OC,八AZE=30°,0。=告CE=1,AOE=2,即OO的半径为2；(2)连结OF,BF,BE,作BH±DF于H，如图，VZDPA=45°,AZDDC=45°,AZEOF=2ZEPF=90°,APCD为等腰直角三角形，|A图中阴影部分的面积=S扇形eof一八OEF=驷上作」?2?2360 2=n-2；VBC=AB-AC=4-1=3,而DC=.3,:,BD=DC2+BC2=2，-；，,VBC垂直平分DE,:.BD=BE=2V3,;VBD=DE=BE,・•・△BED为等边三角形，AZBED=60°,AZBFD=ZBED=60°,•・•△PCD为等腰直角三角形，:.PC=DC=.3,：・OP=PC-OC=.3-1,

，.PB=2-(.3-D=3-3,@在RtAPBH中，NBPH=ZDPC=45°,在RtABHF中，NHBF=30°,6.如图，AB是OO直径，弦CD±AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G,垂足为点F,连结AC.\(1)求证：AC=CG；(2)若CD=8,OG=10,求OO的半径.【解答】(1)证明：：DF±CG,CD±AB,.•・NDEB=NBFG=90°,VNDBE=NGBF,.•・ND=NG,VNA=ND,AAC=CG.(2)解：设OO的半径为八则AG=OA+OG=r+10,•・•CA=CG,CD±AB,.•・A£=£G=r，；Q,EC=ED=4,OE=AE-OA=。：37,在RtAOEC中，：OC2=OE2+EC2,.」2=(半户2+42,解得厂=—10+：回或—10一(何(舍弃)，••・OO的半径为我当TO.7.如图，射线PG平分ZEPF,O为射线PG上一点，以O为圆心,EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA〃PE.(1)求证：AP=AO；(2)若弦AB=24,求OP的长.713为半径作OO,分别与ZAZA=ZG,【解答】(1)证明：如图，•・•PG平分/EPF,：.ZCPO=ZAPO.VAO//PE,AZCPO=ZAOP,AZAPO=ZAOP,AAP=AO.[(2)解：过点O作OH±AB于H,如图.根据垂径定理可得AH=BH=Abab=12,APH=PA+AH=AO+AH=13+12=25.在RtAAHO中，°H=,'OA2-AH2=,-1132-122=5,由勾股定理得：^p=VoH2+PH2=V52+25 550=5p2h.贝ijOP的长为5'J灰.E8.如图，RtAABC中，ZACB=90°,O为^ABC角平分线的交点，以OC为半径的。O交4ABC于D、E、F、G.(1)求证：CD=EF；(2)若的半径为412,AE=2,求AB的长.【解答】（1）证明：作OM±AB于M,ON±AC于N,OH±CG于G,连接OE、OD,,・,点O为乙ABC的角平分线交点，・•・OM=ON,•・RT.△OMEmRT.△OND(HL),•・ME=ND,「EF=2ME,CD=2ND,•・CD=EF；(2)解：由(1)可知CD=EF=CG,,・,点O为^ABC的角平分线交点，•・OM=ON=OH,ZACB=90°,)•・四边形ONCH是正方形，0M=====-GcD=—EF=^CG,2 2 2,.,(9C=4,.'2,=H=-C=OC=4,•・EF=CD=CG=8,易证得AM=AN=6,BM=BH,•・AC=10,设BM=BH=%，贝UBC=%+4,AB=%+6,\VZACB=90°,.•・AB2=AC2+BC2，即(6+%)2=102+(4+%)2,解得％=20,二BM=20,・•・AB=AM-+BM=20+6=26.9.如图，在圆O中，弦AB=8,点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分另1」作OD±AC,OE±BC,垂足分别是点D、E.(1)求线段DE的长；(2)点O到AB的距离为3,求圆O的半径.【解答】解：(1)：OD经过圆心O,OD±AC,・•・AD=DC,同理：CE=EB,・•・DE是^ABC的中位线，；・DE=ABB,,?AB=8,・•・DE=4.(2)过点O作OH±AB，垂足为点H,OH=3,连接OA,:OH经过圆心O,:・ah=bh=/ab,,?AB=8,・•・AH=4,?在RtAAHO中，AH2+OH2=AO2,・•.AO=5,即圆O的半径为5.10.如图，Rt^OAB中，ZOAB=90°,以OA为半径的OO交BO于点C,交BO延长线于点。.在上取一点£,且杷=AC,延长DE与BA交于点F.(1)求证：△BDF是直角三角形；(2)连接AC,AC=2-；10,OC=2BC,求AF的长.%\\..O \FA 3【解答】(1)证明：如图连接EC交OA于H.FA BAE=AC,・•.OA±EC,VCD是oO的直径AZDEC=90•・DF±EC,AOA//DF,BF是OO的切线，AOA±BF,、ADF±BF,AZF=90°,•・△DFB是直角三角形.(2)解：VZDEC=ZF=90°,AEC/FB,OC=OH=o2,BCAHAOH=2AH，设AH=m，贝UOH=2m,OC=3m,VCH2=OC2-OH2=AC2-AH2A9m2-4m2=40-m2（负根已经舍弃），VOA±ECFH-HC-10V3乜口——/IC 3VZF=ZFAH=ZAHE=90A四边形AFEH是矩形AF-FH-^Ar一nil 3.如图，在等腰^ABC中，AB=BC,以AB为直径的OO,分别与AC和BC相交于点D和E,连接OD.

(1)求证：OD〃BC；(2)求证：AD=DE. C【解答】证明：（1）：OA=OD,AZOAD=ZODA,,?AB=BC,~AZBAC=ZOAD=ZC,AZODA=ZC,AOD〃BC；（2）连接半径OE，如图，AOB=OE,AZB=ZOEB,由（1）知OD〃BC,AZAOD=ZB,"AZOEB=ZEOD,AZEOD=ZB,AZAOD=ZEOD,AAD=DE..如图，点。在以线段45为直径的圆上，且AC二吃，点D在AC上，且DE±AB于点E,F是线段3。的中点，连接CE、FE.(1)若AD=6\Pi,BE=8,求取的长;(2)求证：CE=42EF.【解答】解：(1)•・•点。在以线段A5为直径的圆上，且AC二BCAZACB=90°,MAC=BC,.•.△A3。为等腰直角三角形，AZA=ZABC=45°,'：DE±AB,：.AE=DE=—AD=-X6\[2=6,2 2在 中，'：DE=6,BE=8,•*-BD=《q2+]=10,又；方是线段的中点，：.EF=—BC=5；2(2)如图，连接CRZBED=ZAED=ZACB=90°,•1点F是BD的中点，：.CF=EF=FB=FD,(；・B、C、D、£在以为直径的圆上,：.ZEFC=2ZEBC=2X45°=90°,・•.△EFC为等腰直角三角形，：.CE=_EEF..如图，OO的半径OA，弦BC于E,D是。O上一点.(1)求证：^dcaOb；aob；(2)求AE=2,BC=6,求OA的长.【解答】(1)证明：：OA±BC,AB=AC,=DCaOb；aob；(2)解：：OA±BC,.•.5£=C£=25C=^^X6=3,2 2设OO的半径为r，则OA=OB=r,OE=r-2,在 中，32+(r-2)2=r2,解得/=_H,4即04的长为与..如图，BD是OO的直径.弦AC垂直平分OD，垂足为E.(1)求NDAC的度数；(2)若AC=6,求BE的长.D月【解答】解：（1）连接04.VAC垂直平分0D,•・A0=AD,又0A=0D,•・△0AD是等边三角形，AZDA0=60°.AC±0D,A0=AD,.,.ZDAC=ZOAC=-ix60°=30°,(2)V0D±AC,AC=6,=E=AcAC=3,AC垂直平分0D，垂足为E,>ZAE0=90°,0E=-1-0D,:、0E=0a0A,设0E=%，贝U0A=0B=2%,在Rt^AE0中，AE2+E02=A02,即：32+%2=(2%)2,解得，尸巧.3.BE=0E+OB=x+2x=3x=3^/~3.D月15.如图所示，已知AB为OO的直径，CD是弦，且AB±CD于点E.连接AC>OC>BC.(1)求证：NACO=/BCD；(2)若tanNAC0=1,CD=6,求OO的直径.3A【解答】(1)证明：•「AB±CD,•.BC=口B,•・/A=NBCD,「OA=OC,【•・/ACO=NA,•・/ACO=NBCD；(2)解：;AB±CD,；・CE=DE=~^CD=3,1RTT在Rt^5C£中，tan=CD=tanZACO=—=—,3CE・•・BE=1,设OO的半径为r，则OC=r,OE=r-1,在RtAOCE中，32+(r-1)2=r2,解得r=5,AOO的直径为10..已知如图，OO的半径为4,四边形ABCD为OO的内接四边形，且NC=2ZA.(1)求NA的度数.(2)求BD的长.D【解答】解：(1)二•四边形ABCD为OO的内接四边形，.•・NC+NA=180°,VNC=2NA,.•・NA=60°；(2)连接OB,OD,作OH±BD于HVNA=60°，NBOD=2NA，ANBOD=120°；ANOBD=NODB=30°,在RtADCQ中，cosZODH^gosSO-5=乎一，》aDH=2?，VOH±BD于H，ABD=2DHM.D.已知在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的OO分别交AC于D,BC于E，连接ED.(1)求证：ED=DC；(2)若。。=6,EC=,.区求AB的长.【解答】（1）证明：・.2、B、E、D四点共圆，AZDEC=ZA,,?AB=BC,AZA=ZC,AZDEC=ZC,AED=DC；/AB为OO的直径，AZADB=90°,即BD±AC,,?AB=BC,CD=6,AAD=DC=6,AAC=12,VZA=ZDEC,ZC=ZC,•・△DEC^ABAC,…,CD_EC• ^^^™,BCAC•且=过1•• ,BC12解得：BC=&'3,,?AB=BC,：.AB=6：3.18.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO与边BC,AC分别交于D,E两点，过点D作DH±AC于点H.(1)求证：BD=CD；(2)连结OD若四边形AODE为菱形，BC=8,求DH的长.,ZAB是直径，AZADB=90°,・•・AD±BC,ZAB=AC,ABD=CD.(2)解：如图，连接OE.・•四边形AODE是菱形，•・OA=OE=AE,•・△AOE是等边三角形，AZA=60°,,?AB=AC,:.△ABC是等边三角形，【:OA=OB=BD=CDAAE=EC,ACD=CE,VZC=60°,•・△EDC是等边三角形，DH±EC,CD=4,.,.DH=CD?sin60°=2.3.#19.如图，AB是OO的直径，CD是OO的一条弦，且CD±AB于点E.(1)求证：ZBCO=ZD；#(2)若。。=4・回，AE=2,求oO的半径.【解答】(1)证明：如图.VOC=OB,AZBCO=ZB.VZB=ZD,AZBCO=ZD；

(2)解：•「AB是OO的直径，且CD±AB于点E,CE=,CD=-^X4-；2=2；-2,在RtAOCE中，OC2=CE2+OE2,设OO的半径为r，贝UOC=r,OE=OA-AE=r-2,.」2=(2=2)2+(r-2)2,解得：r=3,，OO的半径为3.20.如图，△ABC内接于OO,ZBAC=60°,高AD的延长线父OO于点E,BC=6,AD=5.(1)求OO的半径;(2)求DE的长.【解答】解：(1)如图，作直径BF连接CF,AZBCF=90°,VZF=ZBAC=60°,2的半径为2；石(2)如图，过O作OG±AD于G,OH±BC于H,・•.GE=GA，四边形OHDG是矩形，・•・OH=DG,•：0B=2；M/FBC=30°,0H=.3,DG=.可，：.AG=AD]DE=EG-GD=5-..;3-..■13=5-2..■1321.如图，RtAABC中，/C=90°,在BC上取一点D使AD=BD，连结AD，作△ACD的外接圆OO,交AB于点E.(1)求证：AE=BE；(2)若。。=3,45=4.亏，求AC的长.【解答】解：(1)证明：连结DE,VZC=90°,•・AD为直径，•・DE±AB,AD=BD,•・AE=BE；

(2)设BD=x,VZB=ZB，/C=ZDEB=90°:.△ABC—△DBE,~.bd=be• ，ABBC天&底•一二一,mx+3x=5.AD=BD=5,AAC=.'52-32=4.CC22.如图，△A5C内接于OO, 于£,延长£0交45于F交于。，A为CD的中点，连接BD.(1)求证：ZACB=3ZABC；)(2)若OF=5,EO=7,求4BDF的面积.DD【解答】(1)证明：VOE±BC,•・BD=CD=^BDC,A为CD的中点，-I -I心』CD=」BDC,2 4w=1bdc,

~~AZACB=3ZABC；(2)连接OB,设OB=OD=r,•・•OE±BC,OF=5,EO=7,：.DF=r-5,BE=2_了？，过F作FH±BD于H,=H=FE=12,/DHF=/DEB=90°,==^(^-^)2-122=Vfr+7)(r-17),VZFDH=ZBDE,|:.△DHFs'DEB,-fh=dh•• ，BEDE.12 =V(r-b7)(r-17).Ar=25,ADE=32,BE=24,:・BD=；je、+Be2=,-322+242=40,.•.△5。/的面积=己><40><12=240.DD)23.如图，△ABC内接于OO,ZABC和ZBAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC,OO于点F,D，连接BD.(1)求证：BD=DE.(2)若BD=6,AD=10,求EF的长.D【解答】（1）证明：・・2。平分/BAC,AZBAD=ZCAD.BD=CD.AZDBC=ZCAD,・,BE平分/ABC,AZABE=ZCBE,由ZBED=ZBAD+ZABE,ZDBE=ZDBC+ZCBE,AZBED=ZDBE,ADB=DE；（2）解：由（1）得ZDBC=ZCAD,ZD=ZD,*•・△DBFs'DAB,.PL=BDTOC\o"1-5"\h\z• ，BDAD「BD=6,AD=10,PF=6•• ，6 10ADF=3.6,且由（1）得：DE=BD=6,AEF=DE-DF=6-3.6=2.4.24.如图，△ABC内接于OO,直径AD±BC于点E，连结CO.(1)求证：NCOD=ZCAB；(2)若CD=2AC,AB=3,求图中阴影部分面积.C_旌 【解答(1)证明：•「AD是OO的直径，AD±BC,=CD=BD=-1CDB,・•/CAB的度数=1而5的度数，/COD的度数=工丽的度数，2 2•・/COD=NCAB；(2)解：VCD=2AC,$=OC=O/COD,・•直径AD±BC于点E,AC=AB,•・AC=AB=3,・•・OC=2,25.如图，OO是^ABC的外接圆，AE平分NBAC交OO于点E，/ABC的平分线BF交AD于点F,交BC于点D.(1)求证：BE=EF；(2)若DE=4,DF=3,求AF的长.片弋E—7E【解答(1)证明：・・2£平分/BAC,AZ1=Z4,VZ1=Z5,AZ4=Z5,・•BF平分/ABC,AZ2=Z3,Z6=Z3+Z4=Z2+Z5,即N6=NEBF,•・EB=EF；(2)解：：DE=4,DF=3,•・BE=EF=DE+DF=7,Z5=Z4,ZBED=ZAEB,:.△EBDs'EAB,.•期=里即工=±EABEEA7==AE-EF=--7=—E.如图，CD是OO的直径，弦AB±CD，垂足为H,FG是。O的切线，FG//BD,DF与AB交于点E.(1)求证：BE=BD；

(2)若AB=8,DH=3,求EH的长.【解答】解：（1）如图，连接OF,/D:FG是。O的切线，AZGFD+ZOFD=90°,;AB±CD,AZDEH+ZODE=90°,・•OF=OD,AZOFD=ZODF.AZDEH=ZGFD,#・•FG//BD,AZGFD=ZBDF,AZDEH=ZBDF,ABE=BD；(2)VCD是OO的直径，弦AB±CD，垂足为H,AAH=BH=yAB=4，・•DH=3,ABD=5,「BE=BD,：.BE=5,•・EH=BE-BH=1,答：EH的长为1..如图，AB是OO的直径，。点在OO上，AD平分角NBAC交OO于D，过D作直线AC的垂线，交AC的延长线于E，连接BD,CD.(1)求证：BD=CD；(2)求证：直线DE是OO的切线；(3)若。£=一3,AB=4,求AD的长.【解答】(1)证明：二•在OO中，AD平分角NBAC,•・/CAD=NBAD,•・BD=CD；(2)证明：连接半径OD，如图1所示：则OD=OA,.•・NOAD=NODA,・•DE±AC于E，在RtAADE中，).•・NEAD+NADE=90°,由(1)知NEAD=NBAD,.•・NBAD+NADE=90°,即NODA+NADE=90°,•・OD±DE,，DE是OO的切线；(3)解：过点D作DF±AB于F,如图2所示：贝ijdf=de=43,'：AB=4,二半径0D=2,在RtAODF中,"二4口口22= -他)2=L：.ZODF=30°,ZDOB=6Q°,\'OD=OB,.••△05。是等边三角形，0F=FB=l,：.AF=AB-FB=4-1=3,\在RtAAO/中，ADfJW+dr?=如2+/)2=2返..如图，A5是。。的直径，AC±AB,£为。0上的一点，AC=EC,延长C£交A5的延长线于点D.(1)求证：CE为。0的切线；(2)OFLAE,AE=N&ZOAF=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留冗)【解答】（1）证明：连接OE,VAC=EC,OA=OE,AZCAE=ZCEA，/FAO=ZFEO,VAC±AB,AZCAD=90°,AZCAE+ZEAO=90°,AZCEA+ZAEO=90°,即ZCEO=90°,AOE±CD,ACE为OO的切线；(2)解：设OF=%,VZOAF=30°,OF±AF,AOA=2OF=2%,在b中，由勾股定理得：g.3)2+x2=2x2,解得％=2,AOA=4,VZAOE=120°,AO=4；a. _12。乂兀乂S扇旧EAD 360 3AS阴旷号—3-

29.如图，点D是以AB为直径的。O上一点，过点B作。O的切线，交AD的延长线于点C,E为BC的中点，连接DE交BA的延长线于点F.(1)求证：DE是OO的切线;~【解答】解：(1)连接OD，OE,:E为BC的中点，•・BE=CE,AO=OB,•・OE//AC,AZOAD=ZBOE，/ADO=ZDOE,OD=OA,AZOAD=ZADO,AZDOE=ZBOE,OD=OB,・•・△DOESBOE(SAS),AZODE=ZOBE,:BC是OO的切线，AZOBE=90°,AZODE=90°,ADE是OO的切线；)(2)解：：OA=AF,=D=-,OF,VZODF=90°,AAD=OA,・•・△ADO是等边三角形，AZDOF=60°,VDF=4,==—DF=—^~,3 3.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，ZC=90°,以OA为半径的OO与BC交于点D,与AC交于点E，连接AD且AD平分ZBAC(1)求证：BC是OO的切线；(2)若ZBAC=60°,OA=2,求阴影部分的面积(结果保留n)

],?AD平分/BAC,]AZBAD=ZDAC,VAO=DO,AZBAD=ZADO,AZCAD=ZADO,AAC//OD,VZACD=90°,AOD±BC,(ABC与OO相切；(2)解：连接OE,ED,OE与AD交于点M.COE=OA，COE=OA，・•・△OAE为等边三角形，AZAOE=60°,AZADE=30°,又•.•NOAO=~1"ZBAC=30°,AZADE=ZOAD,AED〃AO,A四边形OAED是菱形，AOE±AD，且AM=DM,EM=OM,,•=SaA△AO=7j_S△AOD，・•・阴影部分的面积=S扇形更"存：=工小360 3.如图，正六边形ABCDEF内接于OO,BE是。O的直径，连接BF,延长BA，过F作FG±BA，垂足为G.(1)求证：FG是OO的切线；((2)已知/G=2一々，求图中阴影部分的面积.【解答（1）证明：连接OF,AO,,?AB=AF=EF,♦.==建=EF,AZABF=ZAFB=ZEBF=30°,・•OB=OF,AZOBF=ZBFO=30°,AZABF=ZOFB,•・AB//OF,・•FG±BA,AOF±FG,AFG是OO的切线；(2)解：•/AB=AF=EF,AZAOF=60°,・•OA=OF,(•・△AOF是等边三角形，AZAFO=60°,AZAFG=30°,,:FG=2：3,AAF=4,AAO=4,,?AF/BE,,・S△ABF=S△AOF,图中阴影部分的面积=更江？a=Z?32.如图，正方形ABCD的外接圆为OO,点P在劣弧BC上(不与B、C点重合).(1)求ZBPC的度数；(2)若正方形ABCD的边长为2cm，求OO的半径及阴影部分的面积.AC【解答】解：(1)连结AC,•・•四边形ABCD为正方形，$AZBAC=45°,•・•四边形ABPC是圆内接四边形，AZBPC+ZBAC=180°,AZBPC=180°-45°=135(2)连结OC、OD,•・•正方形ABCD为。O的内接四边形，ZCOD=90°,在 中，0C=在 中，0C==-cd=-：~2@阴影部分的面积=*产-白&^w-1ACAC33.如图，正方形A5C。的外接圆为点P在劣弧CD上(不与C点重合).(1)求ZBPC的度数；(2)若。O的半径为8,求正方形ABCD的边长.0【解答】解：(1)连接OB,OC,・•四边形ABCD为正方形，…AZBOC=90°,•・2?="BOC=45°；(2)过点O作OE±BC于点E,・•OB=OC,ZBOC=90°,AZOBE=45°,AOE=BE,・•OE2+BE2=OB2,・•.BE=A^=#^=4[BC=2BE=2X4/2=86.34.如图，PA,PB分别与OO相切于点A,12cm.(1)求证：△PAB是等边三角形；3,AC为弦，BC为OO的直径，若ZP=60°,PB=(2)求AC的长.【解答】解：(I)：PA,PB分别与。O相切于点A,B,：.PA=PB，且NP=60°,・•・△PAB是等边三角形;(2)VAPAB是等边三角形;・•・PB=AB=2cm，/PBA=60°,:BC是直径，PB是OO切线，・•・/CAB=90°,NPBC=90°,・•・/ABC=30°,.*.tanZABC=—=—,35.如图，AB为OO直径，PA、PC分别与OO相切于点A、C,PQ±PA,PQ交OC的延长线于(1)求证：OQ=PQ；(2)连BC并延长交PQ于点D,PA=AB，且CQ=6,求BD的长.【解答】(1)证明：连接OP.:PA、PC分别与OO相切于点A,C,：.PA=PC,OA±PA,'：OA=OC,OP=OP,：.AOPA^AOPC(SSS),ZAOP=ZPOC,'：QPLPA,：.QP//BA,：.ZQPO=ZAOP,：.ZQOP=ZQPO,：・OQ=PQ.&(2)设OA=r.'：OB=OC,：.ZOBC=ZOCB,'：OB//QD,：・/QDC=/B,'：ZOCB=ZQCD,：.ZQCD=ZQDC,：.QC=QD=6,'：QO=QP,(：.OC=DP=r,VPC是OO的切线，OCLPC,：.ZOCP=ZPCQ=90°,在RtAPC^中，'：PQ2=PC2+QC2,：.(6+r)2=62+(2r)2,r=4或0(舍弃)，・•・四边形OBDP是平行四边形，4.BD=OP=4；5.36.已知PA、PB分别切OO于A、B,E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.(1)若PA=6,求4PCD的周长.(