《两角和与差的正弦》教学设计

《两角和与差的正弦》教学设计教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式.同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式.当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式.通过诱导公式sin(:—a)=sina,sinn(:—a)=cosa(a为任意角)，可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin(a+p)=cos[—(a+p)]TC 三 三=cos[(:—a)—p],sin(a-0)=[：—(a—0)]=cos[(4—a)+p].借助于Ca+P和Ca-P即可推导出公式Sa+p和Sa$Ca+p，Ca-p，Sa+p和Sa-p四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角a,p的正、余弦形式.不同点为公式Sa+p，Sap两边的运算符号相同，Ca+p与Cap两边的运算符号相反.Sa+p与Sap中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Ca-p与Ca+p的右边是两单角同名三角函数的乘积.任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式,对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinx+bcosx”类型的三角函数化成一个角的三角函数.在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目,以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力,培养学生良好的思维习惯．在教学中,及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明,难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,两角和差的正弦公式,并了解各个公式之间的内在联系．能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．通过公式的推导过程,培养学生的逻辑思维能力,同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程、问题情景

如图42-1,为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角.已知电线杆的高度为5m,问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B,顶端为O,钢丝绳与地面接触点为A.在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度.75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型探究已知cos(a—0)=cosacos0+sinasin0,则sin(a+0),sin(a—0)中的角及函数名与cos(a+0)和cos(a—0)有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin(a+p)=cowit2cowit2it2引导学生白口推出公式由口(ct+伊—QOScosHl诱导公式(七),知cosI:—aj=sina+sin(Hl诱导公式(七),知cosIHl此可得sinfn+力)=sinqcqs asin£sinfa-—耳in[a+(—#)]=sinamK--4-cq^asinf-0)由此可得sinfn-g)=sinacoscosasin£推导以上公式的方法并不是唯一的,其他推导方法由学生课后自己探索．分析公式的结构特征Sa+p与Sap中两边的加减运算符号相同，右边为a与p角的异名三角函数的乘积.应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sina=— ，且a为第四象限角，求sin( —a)cos('+a)的值.分析：本题主要训练公式Sa-p与Sa+p的使用.3 4由sina=——及a为第四象限角，可求出cosa=一，再代入公式求值.［练习一］.(1)已知求cos社的值，.在△小£3C13gsA=—标13="l",求cosC的值..已知5<#<□<苧,。。鼠0一⑶=^|,sin(a+#)=一专，求R的值.已知sina—自=> (口，全「求口一g的(if分析：1.(1)强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，a=(30°+a)—30°，再利用已知条件求出cos(30°+a)..应注意三角形的内角之间的关系，C=n—(A+B),再由诱导公式cos(n—a)=一cosa,要求cosC即转化为求一cos(A+B)..应注意分析角之间的关系，20=(a+0)—(a—0),因此，求cos20还应求出sin(a—0)和cos(a+0).解此题时，先把a+0与a—0看成单角，然后把20用这两个单角来表示..该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：(1)求出a+0角的某个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)确定角的值.其中，求a+0的某个三角函数值时，应分清是求cos(a—0)还是求sin(a—0).已知向量：h=(3,4),若将其绕原点旋转45°到：：P‘T的位置，求点P'(x‘,y’)的坐标.解：设NxOP=a,•・•1OPI=5,3 4/.cosa= ,sina= .叵*/x'=5cos(a+45°)=5(cosacos45°—sinasin45°)=一■,还y'=5sin(a+45°)=5(sinacos45°+cosasin45°)= ■,.厘还.，.P’一,:.-Ita- -1^- -Ita-已知向量一P=(4,3),若将其绕原点旋转60°,—135°到7；」「2的位置，求点P1,P2的坐标.［例题三］求下列函数的最大值和最小值．y=:cosx—二,sinx.y=3sinx+4cosx.y=asinx+bcosx, (ab，0).注：(1),(2)为一般性问题,是为(3)作铺垫,推导时,要关注解题过程,以便让学生充分理解辅助角Q满足的条件.(3)解：考查以(a,b)为坐标的点P(a,b),设以OP为终边的一个角为r则a. bcos— —+“in — —*W±+层 ^/a1fr「是也士+万(二炉,由"J't必士人 皿土方；\/£T-\~b"(cos评in工+sin炉。鼻工)=sin(h+府，其中,吕incp=―,卜 ―-口一，函数y—asin工+限o捍h的最大值为\/a~-\-h2+最小值为一‘方,［练习三］求下列函数的最大值和最小值.y=cosx—sinx.y=sinx—sin(x+,)(3)已知两个电流瞬时值函数式分别是I1=12sin(3t—45°),I2=10sin(血+30°),求合成的正弦波I=I1+I2的函数式.四、拓展延伸出示两道延伸性问题,引导学生独立思考,然后师生共同解决．1.已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1=5sin3t,I2=6sin(3t—60°),I3=10sin(®t+60°),求它们合成后的电流瞬时值的函数式I=I1+I2+I3,并指出这个函数的振幅、初相和周期．解1-L++]]—13^in的+ wi=81-J旧.in —二“'g-ivt=LvTSTyT§T」—1g]sin(四2+炉),其4ntp—^cos中二J、■川即tp=]4°55\yr^TyTTT.•门=/而耳in十]4055').振幅为/而，初相为周期为勺，2.已知点P(x,y),与原点的距离保持不变绕原点旋转0角到点P'(x‘,y')(如图42-2),求证：证明：设NhOP=n"O『|==，则cosa——»sina—■=~.r r.X=F。Ka+8)=r(cosacos4一区inosin&')=jxo导)区山0+y=rsinfn+白)=r(jiinaC0^S+ocsa^in&}=j?sin占4y心口畀伐即1H'=j?C05&~丫4口0+1y=J"slnOH-&..这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差正弦公式产生的背景，然后引导学生体会公式的形成过程，进一步理解和分析化归、