江南大学高等数学第三章测试题（答案）

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《高等数学Ｉ》第三章测试题使用专业、班级学号姓名l题数得分一二三四五六七总分4、曲线y?e?x的上凸区间是____(?22222,)_______。。22一、填空题〖每题4分，共计20分〗1、limxlnx?___0____。x?0222，当x?(?,)时，22222y\?0，上凸，其它区间y\?0，上凹，故应填入(?,)。225、y?x3?2x?1在???,???内有____1______个零点。?y??3x2?2?0，?y在(??,??)上单调增加又limy???limy???.?在(??,??)内有1个零点。y'??2xe?x,y\?[?2?(?2x)2]e?x令y\?0?x??x???x???二、单项选择题〖每题4分，共计20分〗11、设f?(x)?(x?1)(2x?1),x?(??,??),则在(,1)内曲线f(x)（Ｂ）2（Ａ）单调增凹的；（Ｂ）单调减凹的；（Ｃ）单调增凸的；（Ｄ）单调减凸的。111当x?(,1)时，f?(x)?0，又f??(x)?4x?1?4(x?)?0x?(,1)242?y??e?3x?3xe?3x?e?3x(1?3x)，1(,1)上单调减且为凹的。?f(x)在2?3x?3x?3x?3x2y????3e(1?3x)?3e?e(9x?6)?9e(x?)3f(x)x?0lim?2，则在点x?0f(x)f(0)?02、已知在的某个邻域内连续，且，222x?01?cosx令y???0?x?，当x?时，y???0；当x?时y???0333处f(x)（Ｄ）2222（Ａ）不可导；（Ｂ）可导，且f'(0)?0；而当x?时，y?e?2?拐点为(,e?2)3333（C）取得极大值；（Ｄ）取得微小值。3、若f?x?在含x0的?a,b?（其中a?b）内恒有二阶负的导数，且__f?(x0)?0_____,则利用极限的保号性可以判定f(x)的正负号：f?x0?是f?x?在?a,b?上的最大值。f(x)f(x)lim?2?0??0（在x?0的某空心邻域）；x?01?cosxf?(x)?f?(x0)f?(x)f?(x)1?cosx?f\(x0)?lim?lim?0??0x?x0x?x0x?x由1?cosx?0，有f(x)?0?f(0)，即f(x)在x?0取微小值。x?x0x?x00f\(x)当x?x0时，f?(x0)?0,f(x)单调增加；当x?x0时，f?(x)?0,f(x)单调减少?1，则（Ｂ）3、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0)?0，limx?0|x|（Ａ）f(0)是f(x)的极大值；（Ｂ）f(0)是f(x)的微小值；（Ｃ）(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点；（Ｄ）f(0)不是f(x)的极值点。1lnxlimxlnx?lim?limx?lim(?x)?0x?0x?01x?0x?01?2xx222、曲线y?xe?3x的拐点坐标是___(,e?2)______。33

考试形式开卷（）、闭卷（），在选项上打（√）

开课教研室命题教师命题时间使用学期总张数教研室主任审核签字d1江南大学考试卷专用纸

由极限的保号性：

f\(x)f\(x)lim?1?0??0（在x?0的某空心邻域）；由此f\(x)?0（在x?0x?0|x||x|的某空心邻域），f'(x)单调增，又由f'(0)?0，f'(x)在x?0由负变正，由极值第一充分条件，x?0是f(x)的微小点。

4、设f(x)、g(x)在?a,b?连续可导，f(x)g(x)?0，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，则当a?x?b时，则有（Ｃ）

（Ａ）f(x)g(x)?f(a)g(a)；（Ｂ）f(x)g(x)?f(b)g(b)；

f(x)f(a)g(x)g(a)（Ｃ）；（Ｄ）。??g(x)g(a)f(x)f(a)由f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0

f(x)f(x)单调减少，x?(a,b)?[]??0?g(x)g(x)f(x)f(a).??g(x)f(b)

5、f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b),f?(x0)?f??(x0)?0，则f(x)在x?x0处（Ｄ）（Ａ）取得极大值；（Ｂ）取得微小值；

（Ｃ）一定有拐点(x0,f(x0))；（Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。

（2）lim?x?0lntan(ax)

lntan(bx)1?sec2(ax)?alntan(ax)tan(bx)?sec2(ax)?atan(ax)?lim?lim解：lim2??x?0?lntan(x?0x?01bx)tan(ax)?sec(bx)?b?sec2(bx)?btan(bx)bx?sec2(ax)?a?lim?1x?0?ax?sec2(bx)?b

（3）试确定常数a与n的一组数，使得当x?0时，axn与ln(1?x3)?x3为等价无穷小。

axnanxn?1ann?63?lim?lim[?x(1?x)]?1解：?lim233x?0ln(x?0x?0?3x1?x)?x32?3x1?x3an1?n?6，??1?a??

32（4）已知y?x3sinx，利用泰勒公式求y(6)(0)。。

f??(0)2f(n)(0)nx???x?o(xn)解：?泰勒公式f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!x3x5x2m?1m?1而sinx?x?????(?1)?o(x2m)

3!5!(2m?1)!x6x8?y?xsinx?x????

3!5!f(6)(0)16!6???f(6)(0)????120对比x的导数有：

6!3!3!34f(x)?x3，则f'(0)?f\(0)?0，x?0是f(x)?x3的拐点；设f(x)?x4，则

f'(0)?f\(0)?0，而x?0是f(x)?x4的极值点。

三、计算题〖每题7分，共计28分〗

（1）计算以下极限

ex?esinxlim2x?0xln(1?x)ex?esinxesinx(ex?sinx?1)x?sinx1?cosx1解：lim2?lim?lim?lim?

x?0xln(x?0x?01?x)x?0x3x33x26

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六、（8分）设b?a?e，证明ab?ba。

?四、（8分）证明不等式当0?x?时，有不等式tanx?2sinx?3x。证明：ab?ba?blna?alnb

2令f(x)?xlna?alnx，则f(x)在[a,b]上连续

?证明：令f(x)?tanx?2sinx?3x在x?(0,)时a2?f?(x)?lna??0x?[a,b]

x11?f(x)在[a,b]上单调增加，?f(b)?f(a)f?(x)?sec2x?2cosx?3??cosx?cosx?3?33?cosx?cosx?3?022cosxcosx得blna?alnb?alna?alna?0，即ab?ba

??f?(x)?0，?f(x)在[0,)上单调增

2

???x?(0,)f(x)?f(0)即tanx?2sinx?3x

2

七、（8分）若f(x)在[0,1]上有三阶导数，且f(0)?f(1)?0，设

F(x)?x3f(x)，试证：在(0,1)内至少存在一个?，使F\'(?)?0。

五、（8分）作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其证明：由题设可知F(x),F'(x),F\(x),F\'(x)在[0,1]上存在，又F(0)?F(1)，由罗尔

定理，??1?(0,1)使F'(?1)?0，又F'(0)?[3x2f(x)?x3f'(x)]|x?0?0，可知F'(x)在体积V最小，并求出该体积最小值。

解：设圆锥的高为h，底面圆半径为R，则有比例关系[0,?1]上满足罗尔定理，于是??2?(0,?1)，使F\(?2)?0，又

223h?rrhr2F\(0)?[6xf(x)?6xf'(x)?xf\(x)]|x?0?0，对F''(x)在[0,?2]上再次利用罗尔定??R?h?2rh2?R2h理，故有??(0,?)?(0,?)?(0,1