201609南开大学《线性代数》复习资料

《线性代数》复习资料（2014年7月修订版）课程名称线性代数名称线性代数教材信息（自出版社清华大学出版社、北京交通大学出版社作者刘光旭苏钰晴编著建学习中心使用）版次2014年4月第1版此教材用于自建学习中心（此版标注教材页码请见 红色字体页码）名称线性代数教材信息（奥出版社中国人民大学出版社作者赵树嫄主编鹏学习中心使用）版次2013年1月第4版此教材用于奥鹏学习中心（此版标注教材页码请见蓝色字体页码）一．客观题（一） 选择题1.行列式k12）.2k0的充分必要条件是（1(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k3（选C.需先将行列式算出)知识点参看第1章P16第1章P11022.若3120,则1,2必须满足（）.101(A)(C)

11

2,2,

22

0(B)122可为任意数(D)1,2均可为任意数（选C.需先将行列式算出)知识点参看第1章P16第1章P11a113.已知行列式D11b1,则D().1 1 1 b(A)ab2b2(B)(a1)b2(C)ab2(D)ab2（选B.需先将行列式算出)知识点参看第1章P16第1章P1a114.行列式0100的充分必要条件是（）.4aa(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2（选D.需先将行列式算出)知识点参看第1章P16第1章P1a01115.1a10010a20().(其中a1a2an0)100annn1nnai.（A）0.(B)(a)(a).(C)(D)a.i0aii1ii1i1i0（选B.需先将行列式算出)知识点参看第1章P16第1章P1bccaab6.设a,b,c两两互不相同，则行列式Dabc0的充分a2b2c2必要条件是().(A)abc0(B)abc(ba)(ca)(cb)(C)(abc)(ba)(ca)(cb)0(D)(ba)(ca)(cb)1（答案：选A.）知识点参看第1章P16第1章P17.如果线性方程组2xkyc1(c,c为不等于零的常数）有唯一kx2yc212解，则 k必须满足（ ）.(A)k0(B)k2或k2(C)k2或k2(D)k2且k2（选D）知识点参看第3章P83第3章P1091318.乘积2140012).113413(1402(A)6786782056(B)5620(C)123(D)7684562056（选A.按矩阵乘法定义计算)知识点参看第2章P57第2章P519.若A,B都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是().(A)(AB)TBTAT.(B)(AB)1B1A1.(C)(AB)BA.(D)(AB)2B2A2.（选D.注意：问的是：不一定正确者)知识点参看第2章P53第2章P65若β(0,k,k2)能由α1(1k,1,1),α2(1,1k,1),α3(1,1,1k)唯一线性表示，则k等于（）.(A)k0(B)k3(C)k0且k3(D)k任意.（选C.）知识点参看第4章P112第3章P12711.设向量组B:b1,b2,,br能由向量组A:a1,a2,,am线性表示，则().(A)当rm时，向量组A必线性相关(B)当rm时，向量组A必线性相关(C)当rm时，向量组B必线性相关(D)当rm时，向量组B必线性相关（选D.解法提示：用反证法排除其余三种可能)知识点参看第4章P112第3章P12712.设A为n阶方阵，以下结论中成立的是（）．(A)若A可逆，则矩阵A属于特征值的特征向量也是矩阵A1的属于特征值1的特征向量．A的特征向量即为方程(EA)xo的全部解．(C) 若A存在属于特征值 的n个线性无关的特征向量，则AE．(D)A与AT不可能有相同的特征值．（选A）知识点参看第5章P130第4章P16813.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的().(A)充分必要条件 (B)充分而非必要条件必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件（选B.）知识点参看第6章P150第4章P16814.设A,B均为n阶矩阵，且A与B合同，则（）.(A)A与B相似(B)AB(C)A与B有相同的特征值(D)r(A)r(B)（选D）知识点参看第6章P150第4章P16815.若a1ia23a35a5ja44是5阶行列式中带有正号的一项,则i,j的值应为（）.(A)i1,j3(B)i2,j3(C)i1,j2(D)i2,j1（选C.）知识点参看第1章P16第1章P116.设D是n阶行列式,则下列各式中正确的是（）.nn(A)aijAij0,j1,2,,n(B)aijAijD,j1,2,,ni1i1nn(C)a1jA1jD(D)aijAij0,i1,2,,nj1j1（选.解法提示：根据行列式展开定理知选.它是行列式按BB第j列展开的公式.）知识点参看第1章P16第1章P1（二）判断题(对的,在后面的括号内打”V”,错的，打”X”）17.方程1x2121x10的解为x1=3,x2=3,x3=3.（）111x（解法提示：展开后解方程）知识点参看第1章P16第1章P1a0b018.行列式0x0y的值等于(adbc)(xvyu).（V）c0d00u0v（解法提示：直接按行列式展开）知识点参看第1章P16第1章P100λ119.行列式λ20（X）=λ1λ2λn.0λn00（第1章．.解法提示：正确答案是：(1)n(n1)12.2知识点参看第1章P16第1章P120.排列32514的逆序数为5.（V）（第1章．解法提示： 分别计算每个数的逆序，再相加） 知识点参看第1章P16 第1章P1n阶范德蒙行列式的计算公式是：111x1x2xnVn(xjxi).（）1ijnxn1xn1xn112n（解法提示：有公式）知识点参看第1章P16第1章P122.A11A.其中A是A的伴随矩阵.（）A（解法提示：有公式）知识点参看第2章P51第2章P4923.关于逆矩阵,有性质：(AB)1B1A1.（）（解法提示：有公式）知识点参看第2章P63第2章P73给定向量组A:a1,a2,,am，如果存在数k1,k2,,km使得k1

a1

k2

a2

kmam

o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关 . （X）（解法提示： 要求k1,k2, ,km不全为零）知识点参看第4章P112 第3章P127设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位矩阵,则必有关系式BCA=E. （V）（解法提示：由ABC=E知A,B,C均为可逆矩阵,且A与BC互为逆矩阵,因而BCA=E.）知识点参看第2章P63第2章P7311a12a1314001a31a32a33a3426.设Aa21a22a23a24,则010Aa21a22a23a24.（）a31a32a33a34100a11a12a13a14（解法提示：利用矩阵乘法）知识点参看第2章P57第2章P51二．主观题（三）填空题0a12a13a1n27.若n为奇数，则行列式a120a23a2nDa13a23a3n的值等于a1na2na3n0（）（答案D0.)知识点参看第1章P1第1章P51abcd28.行列式Daababcabcd等于（）.a2ab3a2bc4a3b2cda3ab6a3bc10a6b3cd（第1章．答案：a4）知识点参看第1章P16第1章P129.齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解=（）.（答案：（基础解系的全体线性组合）知识点参看第4章P117第3章P14030. m×n矩阵阶Am×n的秩有性质：0≤r(Am×n)≤( ).（答案： min{m,n}.）知识点参看第4章第5章 第3章第4章对任意向量α和β，其模的性质有三角不等式：α+β≤( ).（答案： α+32. 给定实二次型

β.有公式）知识点参看第4章 第3章f(x1,x2, ,xn),它对应的实对称矩阵为

A，则我们可将它写成矩阵形式：f(x1,x2,,xn)=().（第5章．答案：xTAx.利用二次型的矩阵表示）知识点参看第7章P190第5章P2031231012333.矩阵方程2012X3011的解是X().110112201314(第2章.答案：1003.2121

)知识点参看第2章P51 第2章P4934.设A,B,C均为n阶方阵，且AB BC CA E,则A2 B2 C2 ( ).(第2章.答案：3E.)知识点参看第2章P51 第2章P49（四）计算题121135.求三次方程1x230的解.00x2002x解x1x22,x32.36.设Ax0,Buv,C3u,且A2BCO,试7yy2xv求x,y,u,v的值.(第2章 x 5,y 6,u 4,v 2.)知识点参看第2章P51 第2章P4910已知A100，求A2012.01解A2012=(A4)503==E.要求复习时补上省掉的.123038.给定矩阵A0121,试求矩阵A的秩.2460解2.39.设A25,求A1.13解 请复习时自己写出）12340.设A011,求A1.141解 不存在逆矩阵.1 0 041.设A013,求(A)T1.其中A是A的伴随矩阵.22015242.111,矩阵X满足AXA1设矩阵A1112X,111其中A是A的伴随矩阵,求矩阵X.求未知量的值，使AB，其中x232zyz6Ax,B18zy2.6y2y6z（第二章．按定义，先列出联立方程组，再解出：x 11, y 9, z 3.要求会写出过程）知识点参看第2章P51第2章P49a1a2a300144.已知AP10b1b2b3Pm,mN，其中P010,求矩阵c1c2c3100A.（第二章．提示： P是交换一、三行的初等矩阵 ,矩阵左乘P10相当于交换10次一、三行的位置，仍为原矩阵.矩阵右乘Pm相当于交换m次一、三列的位置.故当m为奇数时,A为原矩阵交换一、a3a2a1三列后的矩阵,即b3b2b1；当m为偶数时,A为原矩阵.）知c3c2c1识点参看第2章P51第2章P490001000100245.设n阶行列式A1,求A中所有元素的0000n110000n代数余子式之和.（第二章．提示: A 中所有元素代数余子式,即A其中A 是矩阵 A的伴随矩阵.而A A A1

中的所有元素,(n1)(n 2)(1)2

0001000100211,因此A中所有元素的代数n!0000n110000n(n1)(n2)余子式之和,即A 中的所有元素之和为 ( 1) 2

n(n 1).)知2n!识点参看第2章P51 第2章P4946.已知 A2 2E,B A2 2A 2E,证明B可逆,并求B的逆矩阵.（ 第 二 章 ． 提 示 ： 由 已 知 条 件 可 得BA22AA3A(A2E)(AE),而由A22E,可推出A可逆，且A11A2；(AE)(A2AE)E,即AE可逆,且2(AE)1A2AE；由A38E10E,得(A2E)(A22A4E)10E,所以A2E可逆,且(A2E)11(A22A4E).于是B可逆,且可推出B11(A23A4E).）1010知识点参看第2章P51第2章P4947.已知A,B均为三阶矩阵,且满足2A1BB4E,其中E是三120阶单位矩阵.试证明矩阵A2E可逆.若已给B120,求出002矩阵A.020A110.)002121148.已知方程组11kx2无解，试求k的值.5k834（第3章按定义，列出联立方程组.然后解方程组.可求出k0.要求会写出计算过程）.知识点参看第3章P83第3章P10911049.设α2,β2,γ2,若TTαβxβγx3β,试求此方1k1程组的通解.（解由于112kT212k242k,αβ112k1021T2021042,βγk02kk故所给的线性方程组可改写为14k13282k2x6.12k22k3k对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵14k1314k13A282k26(r)02k2k13k3B.12k22k3k000014k13当k1时,此时A可化为矩阵B10213,易知0000r(A) r(B1) 2 3.故线性方程组有无穷多解：x1k13xx2c113,其中c为任意常数.x3221101423当k1时,此时A可化为矩阵B20000,易知0000r(A)r(B2)13.故线性方程组有无穷多解：x1423xx2c11c200,其中c1,c2为两个任意常数.）x3010xyz1,50.已知方程组2x(a3)y3z3,有无穷多解,试求a,b的取2x(a1)ybza1值及方程组的解.（第 3 章 答案： 当a 0,b 1,方程组的通解为(0,1,0)T k(0,1,1)T. 当 a 1,b 2, 则 方程组的通解为(0,0, 1)T k( 1,1,0)T.要说明理由）知识点参看第2章P51 第2章P4951.设A,B都是n阶矩阵,且A2ABE,求矩阵(ABBA2A)的秩.（第4章答案：r(ABBA2A)=r(2A)=r(A)=n.）知识点参看第6章P150第4章P16852.已知向量组β10,β2ab与向量组12,31β110139有相同的秩，且β3可由α1,α2,α31236α2,α0,α317线性表出，求 a,b 的值.（第4章b 5, a 15.）知识点参看第4章P107 第4章P168已知α是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,其中12113aA=1,求a的值.a1260（第4章答案：因为A是43矩阵,基础解系中仅有一个解向量α,故3r(A)1,即r(A)2.而12112113a011,可见a0.）知识点参看第4章a1100a260004aP107 第4章P16812354.已知矩阵A=04a中a0,且齐次线性方程组Ax=0有非1a9零解.A*是A的伴随矩阵,试求齐次方程组A*x=0的通解.（第4章答案：因齐次方程Ax=0有非零解,故123A04a242aa20.于是a6或a4.因a0,故取1a9a4.因r(A)=2,所以r(A*)=1.于是齐次方程组A*x=0有nr(A*)=312.又因A*A=AE=0,所以矩阵A的列向量是齐次方程组A*x=0的解.故A*x=0的通解为k1(1,0,1)T+k2(1,2,2)T.）知识点参看第4章P107第4章P16855.设A是34矩阵,秩r(A)=1,若α1(1,2,0,2)T,α2(1,1,a,5)T,α3(3,a,3,5)T,α4(1,1,1,a)T线性相关,且可以表示齐次线性方程组Ax=0的任一解,求Ax=0的基础解系.（第4章答案：因设A是34矩阵,秩r(A)=1,所以Ax=0的基础解系有nr(A)=3个解向量.由此知向量组α1,α2,α3,α4的秩为3,且其最大线性无关组就是Ax=0的基础解系.对矩阵1121112121a1施行初等变换得03a41,0a310a31a0255a0(a3)(a4)00当且仅当a3,4或1时，向量组α,α,α,α的秩为3,从而1234推出α,α,α1 2 3

是Ax=0的基础解系.）知识点参看第4章P107第4章P16856.已知向量组（I）α1(1,3,0,5)T,α2(1,2,1,4)T,α3向量组（II）β(1,3,6,1)T,β(a,0,b,2)T等价，12（第4章答案a1,b3.解法提示：由于α1

(1,1,2,53)T与求a,b的值.2α α,只需2 3考察ααβ,β的互相线性表出问题.作初等变换：1,2与12111a111a[α1α2β1,β2]32300163a016b016b541201625a111a0163a.方程组x1α1x2α2β2有解000b3a00022ab3a0a1,b3.即（II）可由(I)线性表出的充分必22a0要条件是a1,b3.1111反之，当a1,b3.时1,2123032,[ββαα]6301125411110365方程组11221与11222均有解,.xxx000ββαxββα00000说明(I)可由(II)线性表出,所以(I)与(II)等价时,a1,b3.)知识点参看第4章P107第4章P168（五）证明题57.若已知a100A0a20,其中ai0(i1,2,,n).00an求证其逆矩阵100a11100.Aa2001ann（证因为Aai0,所以A1存在.又i1100a100a110a2000a2E,00an001an100a1a1001000a20a2E.00100anan所以证明线性方程组

100a11A100.）a2001anx1 2x2 x3 1,2x1 x2 2x3 2,无解3x1 x2 3x3 4.1 2 1 1（证 方程组的增广矩阵为 A 2 1 2 2,对A施行适当3 1 3 4的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即Ar2r1(2)121112110500r2(1)0100r3r1(3)0501505011211r3r250100,0001会求出A与A的秩，从而知r(A)r(A).故方程组无解.）试证明向量b=(3,5,6)可以用向量a1 (1,0,1),a2 (1,1,1),a3 (0, 1, 1),线性表示，并写出表示式 .（证 按定义，设存在数 x1,x2,x3,使得bx1a1x2a2x3a3成立.为此，应解如下线性方程组x1x23x2x35x1x2x36.x111容易求得此方程组的唯一解为x214x39,故有b11a114a29a3.）60.证明f(x1,x2,x3)3x126x1x3x224x2x38x32是正定二次型.(证因二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为303A012.328会写出A的各顺序主子式，并验证皆大于零.故由赫尔维茨定理知f(x1,x2,x3)是一个正定二次型.)设A=[aij]是n阶矩阵,如果aij >∑aij ,i=1,2, ,n,≠i证明矩阵 A的列向量αj=[a1j,a2j, ,anj]T (j=1,2, ,n)线性无关.(第4章答案：可用反证法.若存在不全为零的数k1,k2,,kn,使得kα+k2α++knα0,然后，设ki=max{k1,k2,,kn},112n=显然ki>0.由k≠0,知α可以由其余n1个αiij线性表出，且αk1α1ki1αi1ki1αi1knαn.那么,其第i个分量就ikikikiki满足关系式：aiik1ai1ki1aii1ki1aii1knain.从而有kikikikiaiikjaijkjaijaij.这与已知条件矛盾,所以jikijikijiα1,α2,,αn线性无关.)62.设A是n阶矩阵,αα,,αAx=0的基础解1,2t是齐次方程组系,若存在βi,使Aβ=α,i=1,2,,t,证明向量组iiα,α,,α,β1,β2,,βt12t线性无关.(第4章答：若存在不全为零的数k1,k2,,kt,l1,l2,,lt,使得kα+k2α++kα+lβ++lβ=0,（1）112tt11ttα=0,Aβα,i=1,2,,t代入,得用A左乘上式,并把Aii=ilα+l2α++ltα0,（2）112t=因α1,α2,,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系,它们线性无关,故对（2）必有l1=0,l2=0,lt=0.（1）式,有kα+k2α++kα=0,即向量α,α,,α,β1,β2,,βt112tt12t线性无关.)63.设A是m×n矩阵,对矩阵A做初等行变换得到矩阵B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.(第4章证法提示：因经初等行变换由A可得到B,故存在初等矩阵P1,P2,,Pk使PkP2P1AB.把矩阵A,B写成列向量形式：A=[α1α2αn],B=[β1β2βn],P=k21则有PPPP[α1α2αn]=[β1β2βn],于是Pαi=βi(i=1,2,,n).A的x列向量α,α,,α线性相关[αj,