概率论与数理统计第三章课后习题答案

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习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与

出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.X和Y的联合分布律如表：

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.X和Y的联合分布律如表：

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

sinxsiny,

F（x，y）=

0,

0x

π2,0y

π2

其他.

求二维随机变量（X，Y）在长方形域0x

πππ

,y内的概率.463

如图P{0X

πππ

,Y公式(3.2)463

ππππππF(,F(,)F(0,)F(0,)434636

sinπππ4

sin

3

sin

4

sin

π6

sin0sin

π3

sin0

sin

π6

4

1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度

Ae(3x4y)f（x，y）=

,

x0,y0,

0,

其他.

求：（1）常数A；

（2）随机变量（X，Y）的分布函数；

（3）P{0≤X1，0≤Y2}.

（1）由

f(x,y)dxdy

Ae

-(3x4y)

dxdy

A12

1

得A=12

（2）由定义，有

F(x,y)

yx

fu(v,u)dvd

yy12e(

3uv4

00

d)

udv

(1e3x)(1e4y)

y0,x0,

0,

0,其他

(3)P{0X1,0Y2}

P{0X1,0Y2}

124y)

12e

(3xdxdy(1e3)(1e8

)0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

k(6xy),0x2,2y4,

0,

其他.

（1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；

（3）求P{X1.5}；（4）求P{X+Y≤4}.（1）由性质有

f(x,y)dxdy

242

k(6xy)dydx8k1,

故R

18

（2）P{X1,Y3}

(3)P{X1.5}

1

320

13

f(x,y)dydx

38

18

k(6xy)dydx

x1.5

f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdy

D1

1.5

dx

412

8

(6xy)dy

2732

D2

.

(4)P{XY4}

XY4

f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdy

4x2

20

dx

18

(6xy)dy

23

.

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上听从均匀分布，Y的密度函数为

5e5y,y0,

fY（y）=

其他.0,

求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）P{Y≤X

}.

题6图

（1）因X在（0，0.2）上听从均匀分布，所以X的密度函数为

1,

fX(x)0.2

0,

0x0.2,其他.

而

5e5y,

fY(y)

0,

y0,其他.

所以

f(x,y)XY,独立fXx(f)Y

y()

10.25e5y

25e5y,0x0.2且y0,

0,

0,其他.

(2)P(YX)

f(x,y)dxdy如图25e

5y

dxdy

yx

D

0.20

dxx

-5y

25e

dy

0.20

(5e

x5

5)dx

=e

-1

0.3679.

7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

(1e4x)(1e2yF（x，y）=

),

x0,y0,

0,

其他.

求（X，Y）的联合分布密度.2

f(x,y)

F(x,y)8e(4x2y)xy

,x0,y0,0,

其他.

8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=4.8y(2x),

0x1,0yx,

0,

其他.

求边缘概率密度.fX(x)

f(x,y)dy

x=

0

4.8y(2xy)d2.4x2

(2x),0x,

0,

0,

其他.

1fY(y)

f(x,y)dx

1=

4.8y(2xx)2

y

d2.4y(3y4y),y00,

0,

其他.

1,

题8图题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

eyf（x，y）=,

0xy,

0,

其他.

求边缘概率密度.fX(x)

(

fx,y)dy

=xeydy

ex

,x0,

0,

0,其他.

fY(y)

f(x,y)dx

y=

0eydx

yex,

y0,

0,

0,其他

.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

cx2y,

x2

y1,

0,

其他.

（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.（1）

,

f(xy)dxdy如图f(x,y)dxdy

D

=1

dx1

cx2

ydy

4-1

x

2

21

c1.

得c

214

.

(2)fX(x)

f(x,y)dy

121221x24xydy

8

x2(1x4

),1x1,

0,0,

其他.

fY(y)

f(x,y)dx

2

dx75

xy2y2,

0y1,

0,

0,其他.

11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

1,

yx,0x1,

0,

其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）

.

题11图

fX(x)

f(x,y)dy

xx1dy2x,0x

10,

其他.1y1dx1y,

1y0,fY(y)

f(x,y)dx1

0y1,y1dx1y,

0,其他.

所以

f(y|x)f(x,y)

1,|y|x1,

Y|X

f(x)2x

X

0,

其他.

1

x1,1y,y

f(x,y)1

,yx1,fX|Y(x|y)

fY(y)1y

0,其他.

12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？（1）X与Y的联合分布律如下表

610

110

6100

110

(2)因P{X1}P{Y3}故X与Y不独立

（2）X与Y是否相互独立？

P{X1,Y3},

（1）X和Y的边缘分布如下表

(2)因P{X2}P{Y0.4}0.20.80.160.15P(X2,Y0.4),故X与Y不独立.

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上听从均匀分布，Y的概率密度为

1y/2e,

fY（y）=2

0,

y0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；2

（2）设含有a的二次方程为a+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

1,0,

y

12

0x1,e,y1,

fY(y)2

其他;0,其他.

（1）因fX(x)

1y/2

e

故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)2

0,

0x1,y0,其他

.

题14图

(2)方程a22XaY0有实根的条件是

(2X)4Y0

2

故X≥Y，从而方程有实根的概率为：

P{X

2

2

Y}

xy

2

f(x,y)dxdy

10

dx

x0

2

12

e

y/2

dy

1(1)(0)]

0.1445.

15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

1000

,

f（x）=x2

0,

x1000,其他.

求Z=X/Y的概率密度.

如图,Z的分布函数FXZ(z)P{Zz}P{

Yz}

(1)当z≤0时，FZ(z)0

（2）当0z1时，（这时当x=1000时,y=

1000z）(如图a)

6F

10

6yz

Z(z)

x2

dy

103

dy3

10

y

y

2

dxxz

10

x2

y

2

dxz

=

103

103106dyz

z

y

2zy32

题15图

(3)当z≥1时，（这时当y=103

时，x=103

z）（如图b）

F10

6Z(z)

x2

y

2

dxdy

10

3

dy

zy

10

610

3

y

xx2

y

2

dx

z

=

10

3

103106dy11y

2zy32z11,z1,2z即fz

Z(z),

0z1

,

20,

其他.12z2,z1,故f1

Z(z)2,

0z1,0,其他.

16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地听从N（160，202）分布.随机地选取4求其中没有一只寿命小于180的概率.

只，

设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，20），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4)180}Xi之间独立P{X1180}P{X2180}

2

P{X3180}P{X4180}[1P{X1180}][P1X{2

180}P][X13

4

{

18P0}4X][1

{180}]

1801604

[1P{X1180}]120

[1(1)](0.158)0.00063.

4

4

17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，

P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

i

P{Z=i}=p(k)q(ik)，i=0，1，2，….

k0

因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以{Zi}{XYi}{X0,Yi}

于是

i

i

{X1Y,i1}X{iY,

P{Zi}

k0i

P{Xk,Yi}k相,X互Y独立

P{X

k0

k}P{Yi}k

k0

p(k)q(i)k

18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都听从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y听从参数为2n，p的二项分布.

方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

k

P{XYk}

P{X

i0

i,Yki}

k

P(

i0k

Xi)P{Y

n

k}i

k

in

k

i

i0k

nipqinipki

n

k

q

i0

nnk2

pqiki

n

k

2nk2

pq

k

方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均听从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,

X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y听从参数为（2n,p)的二项分布.

（2）求V=max（X，Y）的分布律；（3）求U=min（X，Y）的分布律；（4）求W=X+Y的分布律.（1）P{X2|Y2}

P{X2,Y2}

P{Y2}P{X2,Y

5

2}

P{X

i0

i,Y2}

0.051

,0.252

P{Y3|X0}

P{Y3,X0}P{X0}

P{X0,Y

3

3}

P{X

j0

0,Yj}

0.011

;0.033

（2）P{Vi}P{max(X,Y)i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}

i1

i

P{X

k0

i,Yk}

P{X

k0

k,Yi},i0,1,2,3,4

所以V的分布律为

(3)P{Ui}P{min(X,Y)i}

P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}

35

ki

P{Xi,Yk}

ki1

P{Xk,Yi}

i0,1,2,3

于是

20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上听从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

因（X，Y）的联合概率密度为

1

,

f(x,y)πR2

0,

xyR,其他.

2

2

2

（1）P{Y0|YX}

P{Y0,YX}P{YX}

y0yx

f(x,y)d

yx

f(x,y)d

π

π/454π

dd

R0R0

11πR

2

rdr

rdr

π/4

2

3/8

1/23;4

(2)P{M0}P{max(X,Y)0}1P{max(X,Y)0}

1P{X0,Y0}1

x0y0

f(x,y)d1

2

14

34

.

21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e所围成，二维随机变量（X，Y）

在区域D上听从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

区域D的面积为S0

e

2

1x

1

dxlnx

e1

2

2.（X,Y）的联合密度函数为

1,

f(x,y)2

0,

1xe,0y其他.

2

1

x

,

（X，Y）关于X的边缘密度函数为

11/x1

dy,fX(x)022x

0,

1xe,其他.

2

所以fX(2)

14

.

22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和

2

因P{Yyj}Pj

P{X

i1

xi,Yyj},

故P{Yy1}P{Xx1,Yy1}P{Xx2,Yy1},从而P{Xx1,Yy1}

1618124.

而X与Y独立，故P{Xxi}P{Yyj}P{Xxi,Yyi},从而P{Xx1}即：P{Xx1}

16

P{Xx1,Yy1}124

/1614.

124.

又P{Xx1}P{Xx1,Yy1}P{Xx1,Yy2}P{Xx1,Yy3},即

14124

18

P{Xx1,Yy3},

112.

38

从而P{Xx1,Yy3}同理P{Yy2}

3

12

,P{Xx2,Yy2}

16

12

13

又P{Yyj}1,故P{Yy3}1

j1

.

同理P{Xx2}从而

34

.

P{Xx2,Yy3}P{Yy3}P{Xx1,Yy3}

13

112

14

.

故

23.设某班车起点站上客人数X听从参数为λ(λ0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率

为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发

车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.

mmnm

(1)P{Ym|Xn}Cnp(1p),0mn,n0,1,2,.

(2)P{Xn,Ym}P{Xn}P{Ym|Xn}

e

(1p)

n!

n

m

Cp

m

n

mn

n,mn,n0,1,2,.

24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~

10.32

，而Y的概率密度为f(y)，0.7

求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

G(u)P{XYu}0.3P{XYu|X1}0.7P{XYu|X2}

0.3PY{u1|X1}

由于X和Y独立，可见

0P.7Y{u

2X|

G(u)0.3P{Yu1}0.7P{Yu2}

0.3Fu(1)

由此，得U的概率密度为

0F.7u(

g(u)G(u)0.3F(u1)0.7F(u2)

0.3fu(1)0f.7u(

25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均听从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：由于随即变量听从[0，3]上的均匀分布，于是有

11,0x3,y3,,0

f(y)3f(x)3

0,x0,x3;0,y0,y3.

由于X，Y相互独立，所以

1

,0x3,0y3,

f(x,y)9

0,x0,y0,x3,y3.

{Y,}.推得P{maxX

91

26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

其中a,（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}.

解(1)由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.

由E(X)0.2，可得

ac0.1.

P{X0,Y0}ab0.1

再由P{Y0X0}0,.5

P{X0}ab0.5

得ab0.3.

解以上关于a，b，c的三个方程得

a0.2,b0.1,c0.1.

(2)Z的可能取值为2，1，0，1，2，

P{Z2}P{X1,Y1}0.2，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.1，

P{Z0}P{X1,Y1}P{X0,Y0}P{X1,Y1}0.3，

P{Z1}P{X1,Y0}P{X0,Y1}0.3，

P{Z2}P{X1,Y1}0.1，

即Z的概率分布为

(3)P{XZ}P{Y0}0.1b0.20.10.10.20.4.

习题四

1.设随机变量X的分布律为

求(1)E(X)(1)

18

2

1111522222

(2)E(X)(1)012;

82844

0

121

182

141;

(3)E(2X3)2E(X)32

12

34

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为

故E(X)0.58300.501,

5

0.340

10.07020.0073

D(X)

i0

x[iEX(

2

)P]i

(00.501)

0.432.

2

0.583(1

2

0.501)0.340

2

(50.501)

3.设随机变量X的分布律为

且已知E（X）=0.1,E(X)=0.9,求P1，P2，P3.因P1P2P31……①,

又E(X)(1)P10P21P3P3P10.1……②,

E(X)(1)P10P21P3P1P30.9……③

2

2

2

2

由①②③联立解得P10.4,P20.1,P30.5.

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白

球的概率是多少？

记A={从袋中任取1球为白球}，则

N

P(A)全概率公式P{A|Xk}P{Xk}

k0

N

k0

kN

P{Xk}

nN.

1N

N

kP{X

k0

k}

1N

E(X)

5.设随机变量X的概率密度为

x,0x1,

f（x）=2x,1x2,

0,其他.

求E（X），D（X）.E(X)

xf(x)dxxdx

1

2

1

2

2

1

x(2x)dx

2x313

xx1.

3130

E(X)

2

xf(x)dxxdx

2

1

3

2

1

x(2x)dx

2

76

故D(X)E(X2)[E(X)]2

16

.

6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求以下随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；

（2）V=YZ4X.

(1)E[U]E(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144

(2)E[V]E[YZ4X]E[YZ]4E(X)

因Y,Z独立E(Y)E(Z)

4E(X)

11845687.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），

D（2X3Y）.(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.

(2)D(2X3Y)2D(X)(3)DY412916192.

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=

试确定常数k，并求E（XY）.因

22

k,0,

0x1,0yx,

其他.

f(x,y)dxdy

10

dxkdy

x

12

k1,故k=2

E(XY)

xyf(x,y)dxdy

10

xdx2ydy0.25.

x

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

2x,

fX（x）=

0,

0x1,

e(y5),

fY（y）=其他;0,

y