2023年函数及其表示方法教案(六篇)VIP

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函数及其表示方法教案篇一

第一课时：1.2.1函数的概念

（一）

教学要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间〞的符号表示某些集合。

教学重点、难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

教学过程：

一、复习准备：

1.探讨：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2.回想初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.二、讲授新课：

1.教学函数模型思想及函数概念：

①给出三个实例：

a.一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是h?130t?5t2.b.近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化状况.（见书p16页图）

c.国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。“八五〞计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表.（见书p17页表）

②探讨：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？三个实例有什么共同点？归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集a中的每一个x，依照某种对应关系f，在数集b中都与唯一确定的y和它对应，记作：f:a?b③定义：设a、b是非空数集，假使依照某种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:a?b为从集合a到集合b的一个函数（function），记作：y?f(x),x?a.其中，x叫自变量，x的取值范围a叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x?a}叫值域（range）.④探讨：值域与b的关系？构成函数的三要素？

一次函数y?ax?b(a?0)、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的定义域与值域？

⑤练习：f(x)?x2?2x?3，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。→求y?x2?2x?3,x?{?1,0,1,2}值域.2.教学区间及写法：

①概念：设a、b是两个实数，且a{x|a≤x≤b}＝[a,b]叫闭区间；{x|a{x|a≤x②符号：“∞〞读“无穷大〞；“－∞〞读“负无穷大〞；“+∞〞读“正无穷大〞③练习用区间表示：r、{x|x≥a}、{x|xa}、{x|x≤b}、{x|x3.小结：函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示

三、稳定练习：1.已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)2.探究：举例日常生活中函数应用模型的实例.什么样的曲线不能作为函数的图象？

3.课堂作业：书p21

1、2题.其次课时：1.2.1函数的概念

（二）

教学要求：会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间〞的符号表示；把握判别两个函数是否一致的方法。

教学重点：会求一些简单函数的定义域与值域。

教学难点：值域求法。

教学过程：

一、复习准备：

3x21.提问：什么叫函数？其三要素是什么？函数y＝与y＝3x是不是同一个函数？为x什么？

2.用区间表示函数y＝kx＋b、y＝ax2＋bx＋c、y＝的定义域与值域.

二、讲授新课：

1.教学函数定义域：

①出例如1：求以下函数的定义域（用区间表示）f(x)=x?3x2?2kx；

f(x)=x?1－x2?x学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）

②练习：求定义域（用区间）→

f(x)

＝x?2f(x)

x?3③小结：求定义域步骤：列不等式（组）→解不等式（组）

2.教学函数一致的判别：

①探讨：函数y=x、y=(x)、y=2x3x

2、y=x

4、y=x2有何关系？

②练习：判断以下函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

a.f(x)=(x－1)；g(x)=1;b.f(x)=x；g(x)=x20c．f(x)=x；f(x)=(x+1)22、d.f(x)=|x|；

②小结：函数是否一致，看定义域和对应法则。

3.教学函数值域的求法：

①例2：求值域（用区间表示）：y＝x2－2x＋4；y＝

＝x?2x?3?5；f(x)＝x2?3x?4；f(x)x?3先口答前面三个→变第三个求→如何利用其次个来求第四个

②小结求值域的方法：观测法、配方法、拆分法、基本函数法

三、稳定练习：1.求以下函数定义域：f(x)?2.已知f(x+1)＝2x2－3x＋1，求f(-1)。变：f(x)?1f(x)?1?1/xx?1，求f(f(x))x?1解法一：先求f(x)，即设x＋1＝t；（换元法）解法二：先求f(x)，利用凑配法；

解法三：令x＋1=－1，则x＝－2,再代入求。（特别值法）

3.f(x)的定义域是[0,1]，则f(x＋a)的定义域是。

4.求函数y＝－x2＋4x－1，x∈[-1,3)在值域。

解法（数形结合法）：画出二次函数图像→找出区间→观测值域

5.课堂作业：书p27

1、2、3题。

第三课时：1.2.2函数的表示法

（一）

教学要求：明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。教学重点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。

教学难点：分段函数的表示及其图象。

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：函数的概念？函数的三要素？

2.探讨：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.

二、讲授新课：

1.教学函数的三种表示方法：

①结合实例说明三种表示法→比较优点

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.优点：直观形象，反应变化趋势。列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.优点：不需计算就可看出函数值。具体实例如：二次函数等；股市走势图；列车时刻表；银行利率表。

②出例如1.某种笔记本的单价是2元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x)．

师生共练→小结：函数“y=f(x)〞有三种含义（解析表达式、图象、对应值表）．③探讨：函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？

④练习：作业本每本0.3元，买x个作业本的钱数y（元）.试用三种方法表示此实例

中的函数.④看书p22例4.下表是某班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：

甲

乙

丙

班平均

分第一次其次次第三次第四次第五次第六次98906888．287766578．391887385．492757280．388867575．795808282．6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习状况做一个分析．

提问：分析什么（成绩的变化、成绩的比较）？借助什么进行分析？

小结解答步骤：分别作点→连线→观测→结论

探讨：离散的点为什么用虚线连接起来？此例能用解析法表示表示吗？2．教学分段函数：

①出例如2：写出函数解析式，并画出函数的图像。

邮局寄信，不超过20g重时付邮资0.5元，超过20g重而不超过40g重付邮资1元。每封x克（0（学生写出解析式→试画图像→集体订正）

②练习：a.写函数式再画图像：某水果批发店，100kg内单价1元／kg，500kg内、100kg及以上0.8元／kg，500kg及以上0.6元／kg。批发x千克应付的钱数（元）。

b.画出函数f(x)=|x－1|＋|x＋2|的图像。

③提出:分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）→生活实例

3.看书，并小结：三种表示方法及优点；分段函数概念；函数图象可以是一些点或线段

三、稳定练习：1.已知f(x)＝?7,8，9题

第四课时：1.2.2函数的表示法

（二）

?2x?3,x?(??,0)2?2x?1,x?[0,??)，求f(0)、f[f(-1)]的值。2.作业：p27教学要求：了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．

教学难点：理解概念。

教学过程：

一、复习准备：

1.举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：

对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点p和它对应；

对于坐标平面内任何一个点a，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；

对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；

2.探讨：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？

3.导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集〞弱化为“任意两个非空集合〞，依照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（mapping）.

二、讲授新课：

1.教学映射概念：

①先看几个例子，两个集合a、b的元素之间的一些对应关系，并用图示意

a?{1,4,9},b?{?3,?2,?1,1,2,3}，对应法则：开平方；

a?{?3,?2,?1,1,2,3}，b?{1,4,9}，对应法则：平方；

a?{30?,45?,60?

},b?{1,对应法则：求正弦；2②定义映射：一般地，设a、b是两个非空的集合，假使按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:a?b为从集合a到集合b的一个映射（mapping）．记作“f:a?b〞关键:a中任意，b中唯一；对应法则f.③分析上面的例子是否映射？举例日常生活中的映射实例？

④探讨：映射的一些对应状况？（一对一；多对一）一对多是映射吗？

→举例一一映射的实例（一对一）

2.教学例题：

①出例如1.探究从集合a到集合b一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？a={p|p是数轴上的点}，b=r；a={三角形}，b={圆}；

a={p|p是平面直角体系中的点}，b?{(x,y)|x?r,y?r}；a={高一某班学生}，b=？

（师生探究从a到b对应关系→分辩是否映射？一一映射？→小结：a中任意，b中唯一）

②探讨：假使是从b到a呢？

③练习：判断以下两个对应是否是集合a到集合b的映射？

a={1，2，3，4}，b={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x?2x?1；a?n*,b?{0,1}，对应法则f:x?x除以2得的余数；

a?n，b?{0,1,2}，f:x?x被3除所得的余数；111设x?{1,2,3,4},y?{1，,f:x?x取倒数；234a?{x|x?2,x?n},b?n，f:x?小于x的最大质数

3.小结：映射概念.

三、稳定练习：1.练习：书p26

2、3、4题；2.课堂作业：书p2810题.第五课时1.2函数及其表示（练习课）

教学要求：会求一些简单函数的定义域和值域；能解决简单函数应用问题；把握分段函数、区间、函数的三种表示法；会解决一些函数记号的问题．

教学重点：求定义域与值域，解决函数简单应用问题．

教学难点：函数记号的理解.教学过程：

一、基础习题练习：（口答以下基础题的主要解答过程→指出题型解答方法）

1.说出以下函数的定义域与值域：y?2.已知f(x)?18；y?x2?4x?3；y?2.x?4x?33x?51，求f，f(f(3))，f(f(x)).x?

?0(x?0)?3.f(x)???(x?0)，作

出

f(x)的图

象

已，知求f(1),f(?1),f(0),f{f[f(?1)]}的值.?x?1(x?0)?

二、教学典型例题：

1.函数f(x)记号的理解与运用：

①出例如1.已知f(x)=x?1g(x

1求f[g(x)]（师生共练→小结：代入法；理解中间自变量）

②练习：已知f(x)=x2?x+3求：f(x+1),f(21)x已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].③出例如2.若f1）?x?求f(x

分析：如何理解f1？如何转化为f(x））

解法一：换元法，设t?1，则??

解法二：配元法，f1）?x?1)2?1，则??解法三：代入法，将x用(x?1)2(x?1)代入，则??探讨：f(x）中，自变量x的取值范围？

1x④练习：若f()?，求f(x）.x1?x2.函数应用问题：

①出例如3.中山移动公司开展了两种通讯业务：“全球通〞，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行〞不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元.若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1,y（元）.ⅰ.写出y1,y2与x之间的函数关系式？ⅱ.2一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用一致？ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

（师生共练→探讨：如何改动，更与实际接近？→小结：简单函数应用模型）

1三、稳定练习：1.已知f(x)满足2f(x)?f()?3x，求f(x).x112.若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?)f(x?)443.设二次函数f(x)满足f(x?2)?f(2?x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.荐荐小初学二

数数

学学

教教

案案案

[1000(800[1000

字字

])荐生活中的数学教字]荐人教版初一上数学教案(全册)[1500字]荐工程数学教案(500字)

函数及其表示方法教案篇二

1.2.1函数的概念（两个课时，到时会适当增加一些实例，让学生更加明确函数的概念）

一、教育目标知识与技能：（1）通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的要素；

（3）会求一些简单函数的定义域和值域；

（4）能够正确使用“区间〞的符号表示某些函数的定义域；过程与方法：通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

通过函数概念学习的过程，培养学生从“特别到一般〞的分析问题能力以及抽象概括能力情感态度与价值观

让学生体会现实世界充满变化，感受数学的抽象概括之美。

二、教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；

三、教学难点：符号“y=f(x)〞的含义，函数定义域和值域的区间表示；

四、教学过程

（一）引入新课

1.复习初中所学函数的概念，强调概念的模型化思想。

初中所学函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y,假使对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量）；2.高一五班学生找座位这样一种对应关系，体会函数的映射关系

问题一：高一五班有60个同学，高一五班这个教室刚好有60个座位，这样每个人都可以找到一个位置，这样的安排合理吗？（合理）

问题二：高一五班有60个同学，高一五班这个教室却只有58个座位，这样会有一些同学要共用一个座位，这种安排合理吗？假使在座位不够的状况下，假使有一个同学还霸占两个座位，那么同学们同意他这种做法？（合理，这位同学的做法不道德）

问题三：高一五班有60个同学，高一五班这个教室却有62个座位，每个人都能得到一个座位，这样的安排合理。这样班里就会多出两个座位，这是某一位同学就一个屁股坐了两个或是三个座位，那同学们会同意吗？（合理，不同意，这样对其他同学不公允）老师：根据上面的三个问题，我们可以把集合a=｛高一五班的60个同学｝，集合a非空对应关系f：找座位

集合b=｛高一五班的座位数｝，集合b非空

从上面三个问题中，我们得到以下结论：每个集合a中的元素在对应关系f下都可以在集合b中有唯一一个座位与之对应，而b中的一个座位可以给两个同学坐，而集合a中的同学却不可以霸占集合b中的两个座位。

3.阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3）“八五〞计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

老师：而我们高中所学的函数的概念也会有具有以上的结论，那么函数终究是什么，请看下文：新课教学

函数的有关概念1．数的概念：

设a、b是非空的数集，假使依照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x（即集合a中的元素），在集合b中都有唯一确定的数f(x)（即集合b中的元素）和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数（function）．记作：

y=f(x)，x∈a．

其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈a}叫做函数的值域（range）．注意：

“y=f(x)〞是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)〞；

函数符号“y=f(x)〞中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域探讨

（由学生完成，师生共同分析讲评）4.备用实例：

我国2023年4月份非典疫情统计：日

期222324252627282930

新增确诊病例数1061058910311312698152101

引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依靠关系；根据刚刚所学的函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．5.区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；（强调∞不是一个数+∞表示数可以无限大，—∞表示数可以无限小）

（3）区间的数轴表示．（强调闭区间的端点用实点表示，开区间的端点用空心点表示）典型例题

1．求函数定义域

课本

解：（略）

说明：

函数的定义域寻常由问题的实际背景确定，假使课前三个实例；

假使只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．稳定练习：课本第1题

2．判断两个函数是否为同一函数课本例2解：（略）

说明：

构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，假使两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

3.稳定练习：

课本第2题

判断以下函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1（2）f(x)=x；g(x)=

（3）f(x)=x2；f(x)=(x+1)2（4）f(x)=|x|；g(x)=

例3（1）设函数f(x)=2x+3，函数g(x)=3x-5，试求，(2)已知a,b,f(a+b)=f(a)f(b),f(1)=2,求：++„+课堂练习

1.求以下函数的定义域（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2求以下两个函数的定义域与值域（1）

(2)

(三)归纳小结，加强思想

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。

（四）作业布置

课本习题1．2（a组）第1—7题（b组）第1题

函数及其表示方法教案篇三

§1.1集合及其表示法教学目标知识与技能目标：

（1）使学生初步了解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于〞关系的意义。

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义。（4）.把握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）。.（5）通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

过程与方法目标：

（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，擅长独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；

（3）通过教师指导发现知识结论，学会抽象概括和运用规律思维的习惯。

（4）通过集合两种表示方法的相互转化培养学生的抽象概括和规律思维能力

情感态度与价值观目标：

激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。

教学重点：集合的基本概念及表示方法。

教学难点：运用集合的常用表示方法，正确表示一些简单的集合。授课方法：讲授法教学过程：一．集合的概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东

西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.在本书，一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

3.集合的正例和反例

（1）{2，3，4}，{（2，3），（3，4）}，{三角形}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，{51，52，53，…，100}，{2，4，6，8，…}

我们班的男同学；我们班的团员；

（2）“好心的人〞，“著名的数学家〞，“我们班级中的高个子同学〞……这类对象一般不能构成数学意义上的集合，由于找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准。{1，1，2}由于出现重复元素，也不是集合的正确表示。

4.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种状况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不一致的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特别集合时，寻常依照习惯的由小到大的数轴顺

5.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，元素与集合的关系用“属于〞和“不属于〞表

示；

（1）假使a是集合a的元素，就说a属于a，记作a∈a（2）假使a不是集合a的元素，就说a不属于a，记作aa例如：1∈{1，2，3}；2.5{1，2，3}6．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作n整数集，记作z有理数集，记作q实数集，记作r例如：1∈z，1.2z，0∈n；例题1：课本p77．有限集和无限集的概念

自然数集n，{1，2，3，4，5，„„}；{x|2x-30}；{钝角三角形}，„„；

无限集：含有无限个元素的集合。有限集：含有有限个元素的集合。{x/x=3},{我们班的全体同学}，{我们班中年龄小于10岁的同学}空集：规定空集，不含元素。记作；二．集合的表示方法

问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的?如表示以下数中的正数4.8,-3,2,-0.5,方法1:方法2:{4.8,2,1,+73,3.131,+73,3.1}3问题2：在初中学习不等式时,如何表示不等式x+3问题1中，方法1为图示法，方法2为列举法.1.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特别集合时,寻常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不便利或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；

例1．用列举法表示以下集合：

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(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；(3)从51到100的所有整数的集合；(4)小于10的所有自然数组成的集合；(5)方程xx的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6：能否用列举法表示不等式x-7表示形式：a={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；a={x∣p}表示集合a是由所有具有性质p的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xa；若xa,则x具有性质p。

说明:(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；(2)应防止集合表示中的一些错误。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{x∣1,2}，用{实数集}或{全体实数}表示r。

例2．用描述法表示以下集合：(1)由适合x-x-20的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)抛物线y=x上的点;(4)抛物线y=x上点的横坐标;(5)抛物线y=x上点的纵坐标;例3．试分别用列举法和描述法表示以下集合：（1）方程x20的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

（二）集合的分类

例4．观测以下三个集合的元素个数

1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xr∣0有限集:含有有限个元素的集合集合的分类无限集:含有无限个元素的集合空集:不含有任何元素的集合(emptyset)

（三）文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，表达如下：画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图：

第3/6页

表示任意一个集合a表示{3，9，27}说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.三．课堂练习一例1.用“〞或者“〞填空0n0z

2z1*n2r2例2.用适当的方法表示以下集合：

(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组xy5的解集；xy1(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.四．课堂练习二

1.元素与集合的关系用符号表示：

①a属于集合a___________；②a不属于集合a___________.2.常用数集记法：

字母n表示______________；用_______表示正整数集；z表示_____________；用______表示有理数集；r表示_________________.3.空集是不含任何_________的集合，记作______________.第4/6页

4.集合常用的表示方法有和.

1.列举法表示以下集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2){y|yx21,1x3,xz}2.已知m为所有大于2且小于1的实数组成的集合，则以下关系式正确的是（m

b.mc.1md.2m3.以下写法正确的是（）

a.0{(0,1)};b.1{(0,1)};c.(0,1){(0,1)};d.(0,1){0,1}.4.在平面直角坐标系中画出集合{(x,y)|xy0,xr,yr}内的点所在的区域.5.用适当的方法表示以下集合：(1)关于x的方程x2ax20,ar的解集;(2)两直线y2x1和yx2的交点组成的集合.6.方程(x2)3(x1)(x3)(x4)0的解集含有________个元素.7.已知方程ax2ax10的解集是空集，则实数a的取值范围是___________.

8.已知集合a{2,(a1)2,a23a3}，且1a，求实数a的值.9.已知集合m含有三个元素0,1,x(xr)，且x2m，求实数x的值.(选做)10.(1)已知方程x2px40的解集是a，且6a，）

第5/6页

求实数p的值；

(2)已知方程x2pxq0的解集是{6}，求实数p,q的值.例1.;;;;;

例2.(1){1,3,5};(2){x|x3k1,kn};(3){(x,y)|(4){(x,y)|x0,y0,xr,yr}1.aa;aa2.自然数集；n或z；整数集；q；实数集*xy5}或者{(2,3)}xy1

3.元素；4.列举法；描述法

1.(1){2,3,5,7};(2){1,0,3}2.d3.c4.第一、三象限及坐标轴y阴影区域，含边界a

5.(1)

当a{}；当a

a；

2当a时，6.47.0a48.a1或09.x110.(1)p20;(2)p12,q363

函数及其表示方法教案篇四

函数及其表示方法

一、目标认知

学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步把握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情

境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．难点:对函数符号的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当〞？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

1.函数的三种表示法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2.分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值状况．

知识点

二、映射与函数1.映射定义：

设a、b是两个非空集合，假使依照某个对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的映射；记为f：a→b.象与原象：假使给定一个从集合a到集合b的映射，那么a中的元素a对应的b中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)a中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)b中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设a、b是两个非空数集，若f：a→b是从集合a到集合b的映射，这个映射叫做从集合a到集合b的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)b中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则t1

ft,f22

2x1x;

2

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x-4x+3.2

(1)已知f(x+1)=x+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x+4x+2=(x+1)+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4

总结升华：求函数解析式常用方法：

f[f(-1)]=f(4)=16.；

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出以下函数的图象.yx2

y2x4x30x23

思路点拨：1.首先取不同的点，在图像上描出，用一条平滑的线连接各点。

（1）yx22x2x22xx2为分段函数，图象是两条射线；

（2）y2x4x30x3图象是抛物线.所作函数图象分别如下图：

分段函数：

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.

思路点拨：分段函数求值，必需注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1

f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.1x0

已知fxx0，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)的值.x1x0

解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；10.某市郊空调公共汽车的票价按以下规则制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，假使沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，20x535x10xn由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：y410x15515x19

根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：

移动公司开展了两种通讯业务：“全球通〞，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行〞不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用一致？

ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用一致；

ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150∴x=375（分钟）

采用其次种方式：200=0.6x，x333

∴应采用第一种(全球通)方式.已知映射f:a→b，在f的作用下，以下说法中不正确的是()

a．a中每个元素必有象，但b中元素不一定有原象

b．b中元素可以有两个原c．a中的任何元素有且只能有唯一的象

d．a与b必需是非空的数1x1x

已知f，求f(x)的解析式。21x1x1x1x解：观测已知函数f

21x1x1y11y1y11y2x1x213（分钟）

222我们可以先令y1x1x，则x1y1y。所以fy2。从而化简得出fy2y1y2，在令y=x，则就可以得出fx。

总结升华：

(1)由实际问题确定的函数，不仅要确定函数的解析式，同时要求出函数的定义域(一般状况下，都要接受实际问题的约束).(2)根据实际问题中自变量所表示的具体数量的含义来确定函数的定义域，使之必需有实际意义.

函数及其表示方法教案篇五

函数及其表示方法

一、目标认知学习目标：

(1)会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步把握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．

重点:

函数概念的理解，函数关系的三种表示方法．分段函数解析式的求法．

难点:

对函数符号yf(x)的理解；对于具体问题能灵活运用这三种表示方法中的某种进行分析，什么才算“恰当〞？分段函数解析式的求法．

二、知识要点梳理

知识点

一、函数的概念

1．函数的定义

设a、b是非空的数集，假使依照某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作：yf(x)，xa．

其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xa}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，假使两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

区间表示：

{x|a≤x≤b}=[a，b]；；

.；知识点

二、函数的表示法

1．函数的三种表示方法：

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：

分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值状况．知识点

三、映射与函数1.映射定义：

设a、b是两个非空集合，假使依照某个对应法则f，对于集合a中的任何一个元素，在集合b中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从a到b的映射；记为f：a→b.象与原象：假使给定一个从集合a到集合b的映射，那么a中的元素a对应的b中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：

(1)a中的每一个元素都有象，且唯一；

(2)b中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)a的象记为f(a).2.函数：

设a、b是两个非空数集，若f：a→b是从集合a到集合b的映射，这个映射叫做从集合a到集合b的函数，记为y=f(x).注意：

(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；

(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；

(3)b中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定义域，值域=象集合.三、规律方法指导1.函数定义域的求法

(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰见的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必需用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象

对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法

实际上求函数的值域是个比较繁杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲求方法，常用的方法有：

观测法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观测求得函数的值域；

配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的状况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；

判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；

换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将繁杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析

类型

一、函数概念

(1)1.以下各组函数是否表示同一个函数？

(不同)

(2)

(不同)

(3)

(4)

(一致)

(一致)

思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则法则，其中核心是对应，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别一致时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别一致的两个函数，它们也不一定是同一函数，由于函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：

判断以下命题的真假

(1)y=x-1与

(2)

(3)

是同一函数；

与y=|x|是同一函数；

是同一函数；

(4)

与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求以下函数的定义域(用区间表示).

(1)；

(2)；

(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)；

(2)；

(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必需取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：

求以下函数的定义域：

(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．

解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；

(2)要使函数有意义，须使

所以函数的定义域是；，(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：

(1)假使f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集r；

(2)假使f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)假使f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

(4)假使f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3³32+5³3-2=27+15-2=40；

举一反三：；

.；

已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f()的值；

(3)当a＞0时，求f(a)³f(a-1)的值.2

3解：(1)由；

(2)；；

(3)当a＞0时，.已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：

(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))

思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．

解：(1)f(2)=2³22-3³2-25=-23；g(2)=2³2-5=-1；

(2)f(g(2))=f(-1)=2³(-1)2-3³(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2³(-23)-5=-51；

(3)f(g(x))=f(2x-5)=2³(2x-5)2-3³(2x-5)-25=8x2-46x+40；

g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2³(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数其次层，直到最终求出最终结果.4.求值域(用区间表示)：

(1)y=x2-2x+4；

思路点拨：求函数的值域必需合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；

.(2)；

(3)；

(4)1)∪(1，+∞).，∴函数的值域为(-∞，类型

二、映射与函数

5.以下对应关系中，哪些是从a到b的映射，哪些不是?假使不是映射，如何修改可以使其成为映射?

(1)a=r，b=r，对应法则f：取倒数；

(2)a={平面内的三角形}，b={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；

(3)a={平面内的圆}，b={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．

思路点拨：根据定义分析是否满足“a中任意〞和“b中唯一〞．

解：(1)不是映射，集合a中的元素0在集合b中没有元素与之对应，不满足“a中任意〞；若把a改为

a={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1〞等就可成为映射；

(2)是映射，集合a中的任意一个元素(三角形)，在集合b中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与

之对应，这是由于不共线的三点可以确定一个圆；

(3)不是映射，集合a中的任意一个元素(圆)，在集合b中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无

数个)与之对应，不满足“b中唯一〞的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正

三角形便可成为映射．

总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集a、终止集b和对应法则f三个角度入手．

举一反三：

判断以下两个对应是否是集合a到集合b的映射？

①a={1，2，3，4}，b={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则

②a=n*，b={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；

③a=n，b={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；

④设x={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①a中元素的剩余；②“多对一〞“一对一〞构成，而“一对多〞不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.已知映射f：a→b，在f的作用下，判断以下说法是否正确？

(1)任取x∈a，都有唯一的y∈b与x对应；

(2)a中的某个元素在b中可以没有象；

(3)a中的某个元素在b中可以有两个以上的象；

(4)a中的不同的元素在b中有不同的象；

(5)b中的元素在a中都有原象；

(6)b中的元素在a中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.以下对应哪些是从a到b的映射？是从a到b的一一映射吗？是从a到b的函数吗？

(1)a=n，b={1，-1}，f：x→y=(-1)x；

(2)a=n，b=n+，f：x→y=|x-3|；

(3)a=r，b=r，(4)a=z，b=n，f：x→y=|x|；

(5)a=n，b=z，f：x→y=|x|；

(6)a=n，b=n，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从a到b的映射也是从a到b的函数，但只有(6)是从a到b的一一映射；(2)、(3)不是从a到b的映射也不是从a到b的函数.6.已知a=r，b={(x，y)|x，yr}，f：a→b是从集合a到集合b的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求a中的元素

解：

∴a中元素的象为的象，b中元素的原象.故.举一反三：

设f：a→b是集合a到集合b的映射，其中

(1)a={x|x＞0}，b=r，f：x→x2-2x-1，则a中元素的象及b中元素-1的原象分别为什么？

(2)a=b={(x，y)|x∈r，y∈r}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则a中元素(1，3)的象及b中元素(1，3)的原象分别为什么？

解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以a中元素的象为；

又由于x2-2x-1=-1有x=0或x=2，由于a={x|x＞0}，所以b中元素-1的原象为2；

(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以a中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；

又由于由

有x=2，y=1，所以b中元素(1，3)的原象为(2，1).类型

三、函数的表示方法

7.求函数的解析式

(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；

(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；

(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1

即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：

(1)已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；

(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1

∴f(x)=x2+2x-1；

(法3)设f(x)=ax2+bx+c则

f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c

∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；

(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2²(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：

(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.(1)8.作出以下函数的图象.；

(2)；

(3)；

(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；

(2)为分段函数，图象是两条射线；

(3)

(4)图象是抛物线.为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；

所作函数图象分别如下图：

类型

四、分段函数

9.已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必需注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2³02+1=1

f[f(-1)]=f[2³(-1)+3]=f(1)=2³12+1=3.举一反三：

已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：

∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；

f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.举一反三：

移动公司开展了两种通讯业务：“全球通〞，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行〞不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，ⅰ.写出y1，y2与x之间的函数关系式？

ⅱ.一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用一致？

ⅲ.若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？

解：ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；

ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250

∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用一致；

ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150∴x=375（分钟）

采用其次种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.学习成果测评基础达标

一、选择题

1．判断以下各组中的两个函数是同一函数的为()

⑴，；

⑵，；

⑶，；

⑷，；

⑸，．

a．⑴、⑵

b．⑵、⑶

c．⑷

d．⑶、⑸

2．函数y=的定义域是（）

a．-1≤x≤

1b．x≤-1或x≥1

c．0≤x≤1

3．函数的值域是（）

a．(-∞，)∪(，+∞)

b．(-∞，)∪(，+∞)

c．r

d．(-∞，)∪(，+∞)

4．以下从集合a到集合b的对应中：

①a=r，b=(0，+∞)，f:x→y=x2；

②

③

④a=[-2，1]，b=[2，5]，f:x→y=x2+1；

d．{-1，1}

⑤a=[-3，3]，b=[1，3]，f:x→y=|x|

其中，不是从集合a到集合b的映射的个数是()

a．1

b．2

c．3

d．4

5．已知映射f:a→b，在f的作用下，以下说法中不正确的是()

a．a中每个元素必有象，但b中元素不一定有原象

b．b中元素可以有两个原象

c．a中的任何元素有且只能有唯一的象

d．a与b必需是非空的数集

6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象()

a．(，1)

b．(1，3)

c．(2，6)

d．(-1，-3)

7．已知集合p={x|0≤x≤4}，q={y|0≤y≤2}，以下各表达式中不表示从p到q的映射的是()

a．y=

b．y=

c．y=x

d．y=

x2

8．以下图象能够成为某个函数图象的是()

9．函数的图象与直线的公共点数目是()

a．

b．

c．或

d．或10．已知集合和

a．中的元素对应，则

c．，且的值分别为()

d．，使

中元素

b．11．已知，若，则的值是()

a．

b．或12．为了得到函数

c．，或

d．的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是()

a．沿轴向右平移个单位

b．沿轴向右平移个单位

c．沿轴向左平移个单位

d．沿轴向左平移

二、填空题

个单位

1．设函数则实数的取值范围是_______________．

2．函数的定义域_______________．

上的值域是_________．的图象与x轴交于，且函数的最大值

3．函数f(x)=3x-5在区间

4．若二次函数为，则这个二次函数的表达式是_______________．

5．函数

6．函数

三、解答题的定义域是_____________________．的最小值是_________________．

1．求函数

2．求函数的定义域．的值域．

3．根据以下条件，求函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)；

(2)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；

(4)已知；

(5)已知f(x)的定义域为r，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升

一、选择题

1．设函数

a．

b．

c．，则的表达式是()

d．

2．函数

a．3

b．-3

c．

满足

d．

则常数等于()

3．已知

a．15

b．1

c．3

d．30

4．已知函数

定义域是，那么等于()，则的定义域是()

a．

5．函数

a．

b．

c．的值域是()

d．

b．

c．

d．

6．已知，则的解析式为()

a．

二、填空题

b．

c．

d．

1．若函数

2．若函数，则，则

=_______________．=_______________．

3．函数的值域是_______________．

4．已知

5．设函数，则不等式，当的解集是_______________．

时，的值有正有负，则实数的范围________．

三、解答题

1．设是方程的两实根，当

为何值时，有最小值?求出这个最小值．

2．求以下函数的定义域

(1)

3．求以下函数的值域

；(2)．

(1)；(2)．

综合探究

1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是()

2.如图所表示的函数解析式是()

a.b.c.d.3．函数的图象是()

4.如图，等腰梯形abcd的两底分别为ad=2a，bc=a，∠bad=45°，作直线mn⊥ad交ad于m，交折线abcd于n，记am=x，试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.

答案与解析：

基础达标

一、选择题

1．c．(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应法则不同；(4)定义域一致，且对应法则一致；(5)定义域不同．

2．d．由题意1-x2≥0且x2-1≥0，-1≤x≤1且x≤-1或x≥1，∴x=±1，选d．

3．b．法一：由y=，∴x=∴y≠，应选b．

法二：

4．c．提醒：①④⑤不是，均不满足“a中任意〞的限制条件．

5．d．提醒：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间．

6．a．设(4，6)在f下的原象是(x，y)，则，解之得x=，y=1，应选a．

7．c．∵0≤x≤4，∴0≤

8．c．

x≤=2，应选c．

9．c．有可能是没有交点的，假使有交点，那么对于

10．d．依照对应法则

而，∴，仅有一个函数值．

．，而

11．d．该分段函数的三段各自的值域为

∴

∴

．

12．d．平移前的“〞，平移后的“〞，用“〞代替了“〞，即

二、填空题，左移．

1．.当，这是矛盾的；当

.2．

设

.提醒：，对称轴

.3．，当

时，.4．

..5．

三、解答题

1．解：∵..6．.．，∴定义域为

2．解：∵∴，∴值域为

3．解：(1).提醒：利用待定系数法；

(2).提醒：利用待定系数法；

(3)f(x+3)=x2+14x+49.提醒：利用换元法求解，设x-3=t，则x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1变为f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t+4)2，故f(x+3)=[(x+3)+4]2；

(4)f(x)=x2+2.提醒：整体代换，设；

(5).提醒：利用方程，用-x替换2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一个新的式子2f(-x)+