北师大版八年级（上册）数学第一次月考试题

./北师大版八年级上册数学第一次月考试题一．选择题〔共10小题1．下列各数：1.414,,﹣,0,其中是无理数的为〔A．1.414 B． C．﹣ D．02．的平方根是〔A．4 B．±4 C．2 D．±23．下列叙述中,不正确的是〔A．绝对值最小的实数是零 B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零 D．立方根最小的实数是零4．在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于〔A．10 B．8 C．6或10 D．8或105．若△ABC的三边a、b、c满足〔a﹣b2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是〔A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．如图,长方体的长为15宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是〔A．20 B．25 C．30 D．327．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是〔A．a=7,b=24,c=25 B．a=,b=4,c=5C．a=,b=1,c= D．a=40,b=50,c=608．如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线．已知AB=5,AD=3,则BC的长为〔A．5 B．6 C．8 D．109．如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？〔A．4米 B．3米 C．5米 D．7米10．如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点〔不含端点B、C．若线段AD长为正整数,则点D的个数共有〔A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．选择题〔共10小题11．如图,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则以AB为边长的正方形面积为．12．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,CD=．13．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为三角形内部一点,且PC=3,PA=5,PB=7,则△PAB的面积为．14．如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成,则第5个三角形的面积为,第n个三角形的面积为．15．在﹣4,,0,π,1,﹣,1.这些数中,是无理数的是．16．的平方根是．17．已知一个正数的平方根是2x和x﹣6,这个数是．18．一个自然数的算术平方根是a,则与它相邻的后一个自然数的算术平方根是．19．一个数的立方根是4,那么这个数的平方根是．20．已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距．三．解答题〔共10小题21．2002年国际数学家大会在中国北京举行,这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是如图,选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图,可以说是充分肯定了我国数学的成就,也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么你能求出〔a+b2的值吗？22．如图,四边形ABCD中,AB=10,BC=13,CD=12,AD=5,AD⊥CD,求四边形ABCD的面积．23．细心观察图形,认真分析各式,然后回答问题：〔1推算出OA10的长和S10的值．〔2用含n〔n为正整数的式子表示上述规律．〔3求S12+S22+S32+…+S102的值．24．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高．〔1求AB的长；〔2求△ABC的面积；〔3求CD的长．25．如图,△ABC中,∠B=90°,BC=8,BC上一点D,使BD：CD=3：5．〔1若AD平分∠BAC,求点D到AC边的距离；〔2若点D恰好在AC边的垂直平分线上,求AB的长．26．甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h,甲往东走了4km,乙往南走了6km．〔1这时甲、乙两人相距多少km？〔2按这个速度,他们出发多少h后相距13km？27．如图,有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处,它们都要到A处的池塘去喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等,这棵树高有多少米？28．水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC．29．a,b,c为三角形ABC的三边,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判别这个三角形的形状．30．如图,AD是△ABC的中线,AD=12,AB=13,BC=10,〔1求AC的长；〔2若AC边上的高为BH,求出BH的长．北师大版八年级上册数学第一次月考试题参考答案与试题解析一．选择题〔共10小题1．〔2016•XX下列各数：1.414,,﹣,0,其中是无理数的为〔A．1.414 B． C．﹣ D．0[分析]根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数,解答即可．[解答]解：是无理数．故选B．[点评]本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数,②无限不循环小数,③含有π的数．2．〔2017•微山县模拟的平方根是〔A．4 B．±4 C．2 D．±2[分析]先化简=4,然后求4的平方根．[解答]解：=4,4的平方根是±2．故选：D．[点评]本题考查平方根的求法,关键是知道先化简．3．〔2016•XX模拟下列叙述中,不正确的是〔A．绝对值最小的实数是零 B．算术平方根最小的实数是零C．平方最小的实数是零 D．立方根最小的实数是零[分析]根据绝对值,算术平方根,平方,立方根的求法判断所给选项的正误即可．[解答]解：A、一个数的绝对值是非负数,其中,0最小,所以绝对值最小的实数是零是正确的,不符合题意；B、非负数的算术平方根是非负数,在非负数里,0最小,所以算术平方根最小的实数是零是正确的,不符合题意；C、任何数的平方都是非负数,非负数里,0最小,所以平方最小的实数是零是正确的,不符合题意；D、没有立方根最小的数,故错误,符合题意,故选D．[点评]综合考查了绝对值,算术平方根,平方,立方根与0的关系；没有立方根最小的数这个知识点是易错点．4．〔2016•东营在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于〔A．10 B．8 C．6或10 D．8或10[分析]分两种情况考虑,如图所示,分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中,利用勾股定理求出BD与CD的长,即可求出BC的长．[解答]解：根据题意画出图形,如图所示,如图1所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得：BD==8,CD==2,此时BC=BD+CD=8+2=10；如图2所示,AB=10,AC=2,AD=6,在Rt△ABD和Rt△ACD中,根据勾股定理得：BD==8,CD==2,此时BC=BD﹣CD=8﹣2=6,则BC的长为6或10．故选C．[点评]此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键．5．〔2016秋•上蔡县校级期末若△ABC的三边a、b、c满足〔a﹣b2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是〔A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形[分析]首先根据题意由非负数的性质可得,进而得到a=b,a2+b2=c2,根据勾股定理逆定理可得△ABC的形状为等腰直角三角形．[解答]解：∵〔a﹣b2+|a2+b2﹣c2|=0,∴a﹣b=0,a2+b2﹣c2=0,解得：a=b,a2+b2=c2,∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．[点评]此题主要考查了勾股定理逆定理以及非负数的性质,关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形．6．〔2016秋•上蔡县校级期末如图,长方体的长为15宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是〔A．20 B．25 C．30 D．32[分析]要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答．[解答]解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图：∵长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,∴BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：∴AB==25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第2个图：∵长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,∴BD=CD+BC=20+5=25,AD=10,在直角三角形ABD中,根据勾股定理得：∴AB=；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第3个图：∵长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,∴AC=CD+AD=20+10=30,在直角三角形ABC中,根据勾股定理得：∴AB=；∵25＜5,∴蚂蚁爬行的最短距离是25,故选B[点评]本题主要考查两点之间线段最短,关键是将长方体侧面展开,然后利用两点之间线段最短解答．7．〔2016春•南陵县期末线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是〔A．a=7,b=24,c=25 B．a=,b=4,c=5C．a=,b=1,c= D．a=40,b=50,c=60[分析]根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边,需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方,分别对每一项进行分析,即可得出答案．[解答]解：A、72+242=252,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形；B、42+52=〔2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形；C、12+〔2=〔2,符合勾股定理的逆定理,是直角三角形；D、402+502≠602,不符合勾股定理的逆定理,不是直角三角形．故选D．[点评]本题主要考查了勾股定理的逆定理：用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形．8．〔2016•XX如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线．已知AB=5,AD=3,则BC的长为〔A．5 B．6 C．8 D．10[分析]根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC,BD=CD,根据勾股定理即可得到结论．[解答]解：∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∵AB=5,AD=3,∴BD==4,∴BC=2BD=8,故选C．[点评]本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．〔2016春•雁塔区校级期末如图①所示,有一个由传感器A控制的灯,要装在门上方离地高4.5m的墙上,任何东西只要移至该灯5m及5m以内时,灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？〔A．4米 B．3米 C．5米 D．7米[分析]根据题意构造出直角三角形,利用勾股定理解答．[解答]解：由题意可知．BE=CD=1.5m,AE=AB﹣BE=4.5﹣1.5=3m,AC=5m由勾股定理得CE==4m故离门4米远的地方,灯刚好打开,故选A．[点评]本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．10．〔2016•XX如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点〔不含端点B、C．若线段AD长为正整数,则点D的个数共有〔A．5个 B．4个 C．3个 D．2个[分析]首先过A作AE⊥BC,当D与E重合时,AD最短,首先利用等腰三角形的性质可得BE=EC,进而可得BE的长,利用勾股定理计算出AE长,然后可得AD的取值范围,进而可得答案．[解答]解：过A作AE⊥BC,∵AB=AC,∴EC=BE=BC=4,∴AE==3,∵D是线段BC上的动点〔不含端点B、C．∴3≤AD＜5,∴AD=3或4,∵线段AD长为正整数,∴AD的可以有三条,长为4,3,4,∴点D的个数共有3个,故选：C．[点评]此题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理,关键是正确利用勾股定理计算出AD的最小值,然后求出AD的取值范围．二．选择题〔共10小题11．〔2016•岳池县模拟如图,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,则以AB为边长的正方形面积为25．[分析]根据勾股定理求出AB,根据正方形的面积公式求出即可．[解答]解：由勾股定理得：AB==5,所以以AB为边长的正方形的面积为52=25,故答案为：25．[点评]本题考查了勾股定理的应用,能根据勾股定理求出AB的长是解此题的关键．12．〔2016•黔东南州一模在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D,CD=cm．[分析]先根据勾股定理求出直角边AC的长度,再利用三角形的面积即可求出CD的长．[解答]解：∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,∴AC==4cm．∵S△ABC=AC•CB=AB•CD,∴×4×3=×5×CD,∴CD=cm．故答案为cm．[点评]此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．利用直角三角形面积的两种不同表示方法是解题的关键．13．〔2016•道外区一模如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P为三角形内部一点,且PC=3,PA=5,PB=7,则△PAB的面积为14．[分析]过P作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,根据四边形CDPE是矩形,得到CD=PE=y,CE=PD=x,设PD=x,PE=y,AC=BC=a,列方程组即可得到结论．[解答]解：过P作PD⊥AC于D,PE⊥BC于E,则四边形CDPE是矩形,设PD=x,PE=y,AC=BC=a,∴CD=PE=y,CE=PD=x,∴,∴,∴a2﹣ay﹣ax=28,∴S△APB=S△ABC﹣S△APC﹣S△BCP=a2﹣ax﹣ay=14．故答案为：14．[点评]本题考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,熟记各性质是解题的关键．14．〔2016•永新县一模如图中的螺旋形由一系列直角三角形组成,则第5个三角形的面积为,第n个三角形的面积为．[分析]这是一个规律性题目,第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边,依次进行下去,且有一个直角边的边长为1．从而可求出面积,得出规律即可．[解答]解：根据勾股定理：第一个三角形中：OA12=1+1,S1=1×1÷2=；第二个三角形中：OA22=OA12+1=1+1+1,S2=OA1×1÷2=×1÷2=；第三个三角形中：OA32=OA22+1=1+1+1+1,S3=OA2×1÷2=×1÷2=；…∴第5个三角形的面积=第n个三角形的面积Sn=．故答案为：,．[点评]本题主要考查了勾股定理的应用,要注意根据勾股定理,逐一进行计算,从中寻求规律,进行解答．15．〔2016秋•XX期中在﹣4,,0,π,1,﹣,1.这些数中,是无理数的是π．[分析]无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．[解答]解：无理数只有：π．故答案是：π．[点评]此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有：π,2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…,等有这样规律的数．16．〔2016•XX区二模的平方根是±．[分析]由=3,再根据平方根定义求解即可．[解答]解：∵=3,∴的平方根是±．故答案为：±．[点评]本题主要考查平方根与算术平方根,掌握平方根定义是关键．17．〔2016•瑞昌市一模已知一个正数的平方根是2x和x﹣6,这个数是16．[分析]由于一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,由此即可得到关于x的方程,解方程即可解决问题．[解答]解：∵一个正数的平方根是2x和x﹣6,∴2x+x﹣6=0,解得x=2,∴这个数的正平方根为2x=4,∴这个数是16．故答案为：16．[点评]此题主要考查平方根的定义及其应用,比较简单．18．〔2016秋•龙岗区期末一个自然数的算术平方根是a,则与它相邻的后一个自然数的算术平方根是．[分析]根据题意先求出这个自然数为a2,所以相邻的后一个自然数为a2+1[解答]解：这个自然数为：a2,∴相邻后一个的自然数为a2+1,∴a2+1的算术平方根为：,故答案为：,[点评]本题考查算术平方根,解题的关键是求出与它相邻的后一个自然数是a2+1,本题属于基础题型19．〔2016春•海珠区期末一个数的立方根是4,那么这个数的平方根是±8．[分析]根据立方根的定义可知,这个数为64,故这个数的平方根为±8．[解答]解：设这个数为x,则根据题意可知=4,解得x=64；即64的平方根为±8．故答案为±8．[点评]本题综合考查的是平方根和立方根的计算,要求学生能够熟练掌握和应用．20．〔2016春•建瓯市期末已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距40海里．[分析]根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间,得两条船分别走了32,24．再根据勾股定理,即可求得两条船之间的距离．[解答]解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向,∴∠BAC=90°,两小时后,两艘船分别行驶了16×2=32,12×2=24海里,根据勾股定理得：=40〔海里．故答案为：40海里．[点评]本题考查了勾股定理的应用,熟练运用勾股定理进行计算,基础知识,比较简单．三．解答题〔共10小题21．〔2016•北京二模2002年国际数学家大会在中国北京举行,这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽就是如图,选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图,可以说是充分肯定了我国数学的成就,也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么你能求出〔a+b2的值吗？[分析]根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积,然后求四个直角三角形的面积,即可得到ab的值,然后根据〔a+b2=a2+2ab+b2即可求解．[解答]解：根据勾股定理可得a2+b2=13,四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12,即：2ab=12则〔a+b2=a2+2ab+b2=13+12=25．[点评]本题考查勾股定理,以及完全平方式,正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．22．〔2016春•海淀区期末如图,四边形ABCD中,AB=10,BC=13,CD=12,AD=5,AD⊥CD,求四边形ABCD的面积．[分析]连接AC,过点C作CE⊥AB于点E,在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长,由等腰三角形的性质得出AE=BE=AB,在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长,再由S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC即可得出结论．[解答]解：连接AC,过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD,∴∠D=90°．在Rt△ACD中,AD=5,CD=12,AC=．∵BC=13,∴AC=BC．∵CE⊥AB,AB=10,∴AE=BE=AB=．在Rt△CAE中,CE=．∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=．[点评]本题考查的是勾股定理及三角形的面积公式,等腰三角形的判定和性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键．23．〔2016秋•金平区校级期末细心观察图形,认真分析各式,然后回答问题：〔1推算出OA10的长和S10的值．〔2用含n〔n为正整数的式子表示上述规律．〔3求S12+S22+S32+…+S102的值．[分析]〔1根据规律写出OA102,再根据算术平方根的定义解答；〔2根据题中给出的得数即可得出结论；〔3根据分析写出算式,然后利用求和公式列式计算即可得解．[解答]解：〔1∵OA22=〔2+1=2,OA32=12+〔2=3,OA42=12+〔2=4,…,∴OA102=10,∴OA10=；∵S1=,S2=,S3=,…,∴S10=；〔2由〔1可知,OAn=,Sn=；〔3S12+S22+S23+…+S210=+++…+=×〔1+2+3+…+10=×=．[点评]本题考查了算术平方根,勾股定理,根据数字的变化规律,观察出被开方数的变化规律是解题的关键．24．〔2016春•XX校级期中如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,CD是高．〔1求AB的长；〔2求△ABC的面积；〔3求CD的长．[分析]〔1根据勾股定理可求得AB的长；〔2根据三角形的面积公式计算即可求解；〔3根据三角形的面积相等即可求得CD的长．[解答]解：〔1∵在△ABC中,∠ACB=90°,BC=15,AC=20,∴AB2=AC2+BC2,解得AB=25．答：AB的长是25；〔2AC•BC=×20×15=150．答：△ABC的面积是150；〔3∵CD是边AB上的高,∴AC•BC=AB•CD,解得：CD=12．答：CD的长是12．[点评]此题主要考查勾股定理及三角形的面积公式的综合运用能力,本题的难度不大．25．〔2016秋•东台市期中如图,△ABC中,∠B=90°,BC=8,BC上一点D,使BD：CD=3：5．〔1若AD平分∠BAC,求点D到AC边的距离；〔2若点D恰好在AC边的垂直平分线上,求AB的长．[分析]〔1先根据BC=8,BD：CD=3：5得出BD=3,CD=5,过点D作DH⊥AC于点H,根据角平分线的性质可得出结论；〔2根据D恰好在AC边的垂直平分线上得出AD=CD=5,在Rt△ABD中根据勾股定理即可得出AB的长．[解答]解：〔1∵BC=8,BD：CD=3：5,∴BD=3,CD=5．过点D作DH⊥AC于点H,∵AD平分∠BAC,∠B=90°,∴DH=BD=3,即点D到AC边的距离是3；〔2∵点D恰好在AC边的垂直平分线上,∴AD=CD=5,在Rt△ABD中,∵AD=5,BD=3,∴AB==4．[点评]本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．26．〔2016秋•XX期末甲、乙两人同时从同一地点匀速出发1h,甲往东走了4km,乙往南走了6km．〔1这时甲、乙两人相距多少km？〔2按这个速度,他们出发多少h后相距13km？[分析]〔1根据题意,由于甲往东走了4千米,乙往南走了6千米,所以OA=4千米,OB=6千米,然后利用勾股定理即可求出甲、乙两人相距多少千米．〔2按这个速度,他们相距13km时,求出直角边即可．[解答]解：〔1如图,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,∵OA=4千米,OB=6千米,∴AB==2千米．所以甲、乙两人相距2千米．〔2当AB=13Km,∴AO=4x,BO=6x,∴16x2+36x2=132,∴x=h．∴按这个速度,他们出发h后相距13km．[点评]此题主要考查了正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．27．〔2016秋•东台市期中如图,有两只猴子在一棵树CD高5m的点B处,它们都要到A处的池塘去喝水,其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等,这棵树高有多少米？[分析]已知BC,要求CD求BD即可,可以设BD为x,找到两只猴子经过路程相等的等量关系,即BD+DA=BC+CA,根据此等量关系列出方程即可求解．[解答]解：设BD为x,且存在BD+DA=BC+CA,即BD+DA=15,DA=1