二次函数最大利润问题

二次函数最大利润问题44.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）

45.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.

（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？

（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

46.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝进价×销售量）

47.某商场将每件进价为160元的某种商品原来按每件200元出售，一天可售出100件，后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低2元，其销量可增加10件．

（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．

①若商场经营该商品一天要获利润4320元，则每件商品应降价多少元？

②求出y与x之间的函数关系式，当x取何值时，商场获利润最大？并求最大利润值．

48.某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量件与售价元之间存在着如下表所示的一次函数关系．

（1）求销售量件与售价元之间的函数关系式；

（2）设每天获得的利润为元，当售价为多少时，每天获得的利润最大？并求出最大值.

49.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件。试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件。

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大.

50.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．

（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）

51.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间

每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价增加x元（x为10的正整数倍）．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；

（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

52.某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=-5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元.

（1）当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元？

（2）该文具店这种笔记本每月获得利润为w元，求每月获得的利润w元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？

53.某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元。

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少。54.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足（，为整数）；冰箱的采购单价（元/台）与采购数量（台）满足（，为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元／台和1700元／台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

55.张经理到老王的果园里一次性采购一种水果,他俩商定：张经理的采购价元/吨与采购量吨之间函数关系的图象如图中的折线段所示（不包含端点,但包含端点）.

（1）求与之间的函数关系式；

（2）已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润最大？最大利润是多少？

56.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?（其它销售条件不变）

57.国家推行“节能减排\低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元,花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，销售中发现A型汽车的每周销量（台）与售价（万元/台）满足函数关系式，B型汽车的每周销量（台）与售价万元/台）满足函数关系式．

（1）求A、B两种型号的汽车的进货单价；

（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的人售价高2万元/台，设B型汽车售价为万元/台．每周销售这两种车的总利润为万元，求与的函数关系式，A、B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？

58.（1）已知方程x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．

（2）已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点（―1，―1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值并求出该最小值．

59.已知关于x的一元二次方程kx2+（3k+1）x+3=0（k≠）。

（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；

（2）若二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值。

60.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?44.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出方程；

（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；

（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（-5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．

试题解析：（1）y=（x-50）[50+5（100-x）]

=（x-50）（-5x+550）

=-5x2+800x-27500

∴y=-5x2+800x-27500（50≤x≤100）；

（2）y=-5x2+800x-27500

=-5（x-80）2+4500

∵a=-5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，-5（x-80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

由每天的总成本不超过7000元，得50（-5x+550）≤7000，

解得x≥82．

∴82≤x≤90，

∵50≤x≤100，

∴销售单价应该控制在82元至90元之间．

答案：（1）y=-5x2+800x-27500；（2）x=80时，y最大值=4500；（3）销售单价应该控制在82元至90元之间．

45.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，根据总利润=每千克利润×数量建立式子，求出y与x之间的关系，化成顶点式即可求出结论，

（2）把y=6000代入（1）的解析式，根据题意使顾客得到实惠就可以得出结论．

试题解析：（1）设每千克涨价x元，利润为y元，由题意，得：

∴a=﹣20＜0，∴抛物线开口向下，当x=7.5时，y最大值=6125，∴每天盈利不能达到8000元．

（2）当y=6000时，，解得：，，

∵要使顾客得到实惠，∴x=5．

答：每千克应涨价为5元．

答案：（1），不能；（2）5．

46.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式，然后求二次函数的最大值；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．

试题解析：

解：（1）由题意，得：w=（x－20）·y=（x－20）·（）

.

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.

（2）由题意，得：解这个方程得：x1=30，x2=40．

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.

（3）∵，∴抛物线开口向下.

∴当30≤x≤40时，w≥2000．

∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000.

设成本为P（元），由题意，得：

∵，∴P随x的增大而减小.∴当x=32时，P最小＝3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．

答案：见解析

47.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）利润=单价利润×数量；（2）根据题意列出关于x的一元二次方程进行求解；利用二次函数的性质求出x和y的值.

试题解析：（1）100×（200－160）=4000（元）

、①、根据题意得：（200－160－x）（100+5x）=4320

化简得：－20x+64=0

解得：=4

=16

经检验=4，=16都是原方程的解，且符合题意.

答：商店一天要获利4320元，则商品应降价4元或16元.

②、根据题意得：y=（200－160－x）（100+5x）=－5+4500

∴当x=10时，商场获得最大利润为4500元.

答案：（1）4000元

（2）①4或16

②x=10时，4500元

48.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）设y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

（2）根据定价求出销售量，再根据利润等于每一件的利润乘以销售量计算即可得解．

试题解析：（1）设y=kx+b（k≠0），

∵x=70时，y=3000，x=90时，y=1000，

∴，

解得，

所以y=-100x+10000；

（2）定价为80元时，y=-100×80+10000=2000，

每天获得的利润=（80-60）×2000=40000元．

答案：（1）y=-100x+10000；（2）定价为80元,40000元．

49.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）根据利润=（单价-进价）×销售量，列出函数关系式即可；

（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；

试题解析：（1）由题意得，销售量=250-10（x-25）=-10x+500，

则w=（x-20）（-10x+500）

=-10x2+700x-10000；

（2）w=-10x2+700x-10000=-10（x-35）2+2250．

∵-10＜0，

∴函数图象开口向下，w有最大值，

当x=35时，wmax=2250，

故当单价为35元时，该文具每天的利润最大.

答案：(1)w=-10x2+700x-10000;(2)单价为35元时，该文具每天的利润最大.

50.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）根据每月获得利润=一件的利润×每月销售量，用x表示出W，然后根据二次函数知识解决问题；（2）令W=2000.得，解方程即可；（3）由（2）可得，又物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，所以，.

试题解析：（1）＝（x－20）（－10x+500）=，所以当x=35时，

＝2250

（2）令W=2000，则，解得：

（3）由题意得：

且

，，当，成本满足，所以成本最少要3600元

答案：见解析

51.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；

（2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；

（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解．

试题解析：（1）由题意得：

y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．

（2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000；

（3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890

抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，

但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大，

此时一天订住的房间数是：50-=34间，

最大利润是：34×（340-20）=10880元．

答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．

答案：（1）y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=-x2+34x+8000；（3）一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．

52.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）当y=70时，70=-5x+150

解得x=16

∴(16-10)×70=420元.

（2）（x-10）×（-5x+150）

=

∵

∴自变量的取值范围为

（3）

∵a=-5<0

∴当时，w随x的增大而增大，

∴当x=18时，w有最大值=480元

答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元.

答案：（1）420元；（2）（）；（3）当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元

53.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）根据题意，y=（60-50+x）（200-10x）,

整理得，y=10x2+100x+2000（0<x≤12）；

（2）由（1）得y=-10x2+100x+2000

=－10（x-5）2＋2250，

当x=5时，最大月利润y为2250元。定价65元

答案：（1）y=10x2+100x+2000（0<x≤12）；（2）定价65元时，最大月利润y为2250元。

54.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，然后根据数量和单价列出不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；

（2）设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式并整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值即可．

试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，

由题意得，，

解不等式①得，，

解不等式②得，，

所以，不等式组的解集是，

∵x为正整数，

∴x可取的值为11、12、13、14、15，

所以，该商家共有5种进货方案；

（2）设总利润为W元，空调的采购数量为x台，

，

则W==

=，

当时，W随x的增大而增大，

∵，

∴当x=15时，W最大值=（元），

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

答案：（1）5；（2）15，10650．

55.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）根据函数图象得出分段函数解析式，注意x的取值范围；

（2）利用函（1）中函数解析式表示出w，进而利用函数性质得出最值．

试题解析：（1）根据图象可知当0＜x≤20时，

（2）根据上式以及老王种植水果的成本是2800元/吨，

由题意得：当0＜x≤20时，

W=（8000-2800）x=5200x，

W随x的增大而增大，当x=20时，W最大=5200×20=104000元，

当20＜x≤40时，

W=（-200x+12000-2800）x=-200x2+9200x，

当x=23时，

W最大=105800元．

故采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．

答案：采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润W最大，最大利润是105800元．

56.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。

答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。

（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；

当10＜x≤50时，y=[3000－10（x－10）－2400]x，即y=－10x2+700x；

当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。

∴。

（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，

答：公司应将最低销售单价调整为2750元。

答案：（1）商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）。（3）公司应将最低销售单价调整为2750元。

57.考点：2.4二次函数的应用试题解析：

试题分析：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，根据花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等，可列出方程=，解方程即可；（2）根据每周销售这两种车的总利润=每周销售A型汽车的利润+每周销售B型汽车的利润，可求出与的函数关系式，然后利用二次函数的性质可解决问题.

试题解析：解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，

依题意得：=，

解得：m=10，

检验：m=10时，m≠0，m﹣2≠0，

故m=10是原分式方程的解，

故m﹣2=8．

答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；

6分

（2）根据题意得出：

W=（t+2﹣10）[﹣（t+2）+20]+（t﹣8）（﹣t+14）

=﹣2t2+48t﹣256，

=﹣2（t﹣12）2+32，

∵a=﹣2＜0，抛物线开口向下，

∴当t=12时，W有最大值为32，

12+2=14，

答：A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为14万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．

答案：（1）A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元（2）A种型号的汽车售价为14万元/台，B种型号的汽车售价为14万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．

58.考点：2.5二次函数与一元二次方程试题解析：

（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求根公式得出x1、x2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x2+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。

∵d=|x1﹣x2|，

∴d2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=p2﹣4q=p2﹣4p+8=（p﹣2）2+4。

∴当p=2时，d2的最小值是4。

答案：（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p2﹣4q≥0，∴（2）当p=2时，d2的最小值是4。

59.考点：2.5二次函数与一元二次方程试题解析：

试题分析：（1）先计算判别式得值得到△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2，然后根据非负数的性质得到△≥0，则根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先由求根