线性代数概念

线性代数部分

梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。

沟通：突出各部分内容间的联系。

充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。

大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。

但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。

基本运算

①A+B=B+A

②(A+B)+C=4+(B+C)

③c(A+B)-cA+cB(c+d)A-cA+dA

④c(dA)=(cd}A

⑤=0<=>c=0或A=0。

3)，=A

(A±6)r="±8，

(CA)，=c(A，)。

(AB)，=BTAT

(〃—i)…2i)=c；=〃(7)

D—Q)[A)[+a2)+，，，+

转置值不变[A[=|A]

逆值变pr[=百

M=C"|A|

|a,夕।+fi2,y\=\a,^,y\+\a,fi2,y\

A=(«,，«2,«3),3阶矩阵

B尸3)

|A+B|H|A|+网

A+B=(%+/?[,+尸2,%+夕3)

|A+同=|df|+A+/2，。3+闵

A*A0

=W悯

0B*B

|E（i，j（c））=l

有关乘法的基本运算

3=ailblj+ai2b2j+---+a,lhnj

线性性质（A1+A2）B=4B+A28,

/4（J5I+B,）=A5|+AB-,

（cA）8=c（A6）=A（cfi）

结合律（AB）C=A（BC）

（ABY=BTAT

AkA'=Ak+,

（Ak）=Akl

（A6）*不一定成立!

AE=A»EA=A

A（kE）=kA,（kE）A=kA

AB=E0BA=E

与数的乘法的不同之处

（AB）‘=AW不一定成立！

无交换律因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如

A2-2A-3E=（A-3E\A+E）

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当A6=0时4A=0或8=0

由4/0和AB=0R8=0

由AW0时AB=AC48=C（无左消去律）

特别的设4uJ■逆，则A有消去律。

左消去律：AB=AC=^B=C.

右消去律：BA=CA^B=C.

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①A3=0nB=0

②A6=ACnB=C

可逆矩阵的性质

i)当A可逆时，

也可逆，且(4「厂NAT)，。

A”也可逆，且(4"厂=(AT＞。

数CHO,“也可逆，(M/1=-A-\

ii)A,8是两个〃阶可逆矩阵=AB也可逆，且(AB尸

推论：设A,8是两个〃阶矩阵，则AB=E=8A=E

命题：初等矩阵都可逆，且

(或(c)))T=E0

曲,j(c)))T=E(i,j(一c))

命题：准对角矩阵

Ai0004T000

0zz000£00

A=可逆o每个4都可逆，记AT=

00000•.0

0004*000阅

伴随矩阵的基本性质：

AA*=A*A=\A\E

当A可逆时，A^=E得人”=善，(求逆矩阵的伴随矩阵法)

同H

（A*）T=4=（AT卜A'

且得:K

伴随矩阵的其他性质

①•*|=|*I,A*=|A|AT

②（“卜=（A*y,

③|（CA）*=C"TA*|,

④（A3>=B*A*,

⑤（屋）=（A*）",

a-h

⑥（A*>=\A\"~2AO”=2时，（A*）*=AA*

一cd

关于矩阵右上肩记号：T,攵，一1,*

i）任何两个的次序可交换,

如＞=（A*）,,

（4*尸=0*等

ii）（A6）r=H（A6）T=攵41

=8*A*

但（4B）"=8'A"不一定成立!

线性表示

0->a1,a2,---,as

a,->at,a2,---,ax

P->外,%,♦•,,&ox}ai+x2a2+•••+xsas-0有解

<=>（at,a2,---,ax）x=/有解（x=（a,…,

Ax=£有解，即p可用A的列向量组表示

AB=C=（八/2，”,，仆），A=（4,。2,…，％），

则->a,,a,•••,«„0

r{,r2,--,rs2

A，/?2,…，Aa],a2,---,as,

则存在矩阵C,使得（A，夕2,…,月）=（%，。2,）

线性表示关系有传递性当…,A-a,f八，々,

则Bi，Pi'>"'1>PtT。,G，…"p°

等价关系;如果％,。2,4与.，42,…，.互相可表示%，%，…，a,.仅“2,…血

记作4=4血，…血°

线性相关

5=1,单个向量a,xa=0a相关=a=0

S=2,相关=对应分量成比例四,。2相关O：4=。2也=…=%：2

①向量个数S二维数〃，则囚,・・・,明线性相（无）关…a1=（w）O

A=(%,%,・・•,%),Ax=0有非零解=|A|=0

如果s>〃，则4-定相关

Ax=0的方程个数n<未知数个数s

②如果%,%,・・・,《无关，则它的每•个部分组都无关

③如果ar%，…，&无关，而%,%，…，氏，尸相关，则夕4

证明：设q,・・・,q,c不全为0,使得eg1+・・・+c°s+c2=0

则其中cwO，否则G，・・・,q不全为0,臼。]+…+C0S=0,与条件四,…,见无关矛盾。

工日Qc\Cs

于是/?=---%—-----a,o

cc

④当P时，表示方式唯一=…&无关

(表示方式不唯一<=>a[…%相关)

⑤若Qi,…，力一%,…,4,并且，>s,则/?]「••,»一■定线性相关。

证明：记A=(四/••,%.),B

则存在sxf矩阵C,使得8=AC。

Cx=O有s个方程，f个未知数，s<t,有非零解〃，Crj=O。

则8〃=AC77=0,即〃也是Bx=O的非零解，从而夕,夕,线性相关。

各性质的逆否形式

①如果%,。2,4无关，则SW〃。

②如果％有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果?…a*无关，而£步必,…,a$,则a4无关。

⑤如果A…A…a,,/J1…力无关，则f«s。

推论：若两个无关向量组/…%与丹…丹等价，贝ijs=t。

极大无关组

一个线性无关部分组(/),若#(/)等于秩％,%，%口6.(/)，0)就一定是极大无关组

①,,02,…,%无关oy(ot},a2,---,aj=s

②B7%,12,…，&0/(%，%，4)

另一种说法：取%,。2,…,％的一个极大无关组Q)

(/)也是%,。2，…,《，£的极大无关组o(/),"相关。

证明：£.a，（1）o（/）,£相关。

③户可用唯一表示u>/夕）=/（%/••,%）=$

④口，…,力一%,…,40/（%,…,4,4,…，力）=/&,•••.）

ny（万［，…，一）<7（即…,.）

⑤火,…,a,…，/o/（%,…,4）=/（%…4，4…4）=/®,…,夕,）

矩阵的秩的简单性质

0<r（A）Vmin{m,n}

厂⑷=0=A=0

A行满秩：r（A）=m

A列满秩：r（4）=〃

〃阶矩阵A满秩：r（A）=n

A满秩=A的行（列）向量组线性无关

<=>|A|o

oA可逆

=Ax=0只有零解，Ax=£唯一解。

矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①r（A，）=r（A）

②CKO时，r（cA）=r（A）

③r（A±8）Wr（A）+r（8）

@r（AB）<min{r（A）,r⑻}

⑤4可逆时，r（A8）=r（8）

弱化条件：如果A列满秩，则7（AB）=7（B）

证：下面证ABx=0与Bx=0同解。

77是A8x=0的解o=0

=8〃=0u>77是8x=0的解

5可逆时,r（4B）=r（A）

⑥若AB=O,则/•（A）+r（8）W〃（4的列数，8的行数）

⑦A列满秩时r（A8）=r（B）

8行满秩时/•（AB）=r（A）

@r（AB）+n>r（A）+r（B）

解的性质

1.Ax=0的解的性质。

如果〃],生,…,”是一组解，则它们的任意线性组合G7+C272H----1-Q,//。一定也是解。

V,,Ac=0nA（C|7+。2%+…+、〃《）=0

2.Ax=队°丰0）

①如果百…，4是Ax=£的一组解，贝U

C].+C2g2+,••+C片。也是Ax=（3的解=C]++…+C«=1

C1.+c2^2+…+ce^e是Ax=0的解oC|+c24—+ce-0

的=0Vi

4（。酒1+，2J2，eJe）=C]A刍+C2A<^2dFC/幺

=（q+c?+…+c"

特别的：当。，曷是Ax="的两个解时，。—蜃是Ax=0的解

②如果4是Ax=£的解，则〃维向量4也是Ar=£的解=&一。）是Ax=0的解。

解的情况判别

方程：AX=（5,即X]%+尤2%+…+工〃％二夕

力解00ta、,％,…,a〃

oy（AI⑶=y（A）o7（/,。2,…，%，6）=/（%，。2「'a”）

|无解|o/（AI⑶＞/（A）

唯一解＜=＞y（4I£）=7（A）=n

无穷多解|o/（AI/?）=/（/!）＜n

方程个数加：

/（AI/3）＜m,/（A）＜m

①当y（A）=加时，/（AI/3）=m,有解

②当机〈〃时，/（A）＜n,不会是唯-一解

对于齐次线性方程组Ax=0,

只有零解o7（A）=〃（即A列满秩）

（有非零解。/（A）＜n）

特征值特征向量

4是A的特征值=4是4的特征多项式|xE-A|的根。

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

'丸I**、

A=0A2*

、00z3＞

x-21一*一*

|xf一川=0X—A2—*=（x—2]—丸2）（x—几3）

00X—43

（2）r（A）=l时：A的特征值为0,0,…,0,"（A）

特征值的性质

命题：〃阶矩阵A的特征值4的重数2n—r（/lE—A）

命题：设A的特征值为；I「42,…则

①42…4"=同

（2）4]+42+■■■+4“=〃"（A）

命题：设〃是A的特征向量，特征值为4,即=则

①对于A的每个多项式/（4）,

1IAI

②当A可逆时，A~[r/=—r],A*〃=---〃

4A

命题：设A的特征值为2i，心，…，4“，则

①/⑷的特征值为/（九）/包）,…J（"）

②A可逆时，AT的特征值为

「一",

IAI141

A*的特征值为tU,金Ml

2,九2无T

③4’的特征值也是九”/12,…，九.

特征值的应用

①求行列式IAI=/l1,乙,…

②判别可逆性

几是A的特征值QplE—A|=0=A—4E不可逆

A-AE可逆=/I不是A的特征值。

当/（A）=0时，如果/（c）wO,则A-cEuJ逆

若4是A的特征值，则/（Z）是/（A）的特征值n/（2）=0。

/（c）#One不是A的特征值oAc£可逆。

n阶矩阵的相似关系

当AU=UA时，B=A>而AUwUA时，BA»

相似关系有i）对称性：A~6=6~A

U—AU=B,W\A^UBU''

ii)有传递性：A-B,B~C,则A~C

U']AU=B,V-'BV=C,贝ij

(uvyA(UV)=V-'U-'AUV=V-'BV=C

命题当4~8时.，A和8有许多相同的性质

①|小忸|

②7(A)=7⑻

③A,8的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

A与B的特征向量的关系：〃是A的属于4的特征向量oIT加是B的属于4的特征向量。

Ar/=加=B"一力=旭、）

UT4〃=初T〃=uTAUUT〃=4（uT7/）

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性

/&,%2/一,%“）变为g®,人…，K），则它们同时正定或同时不正定

A-B,则A,8同时正定，同时不正定。

例如8=AC。如果A正定，则对每个XHO

xrBx=xTCTACx-（Cx）rACx>0

（C可逆，xw0,，CxK0!）

我们给出关于正定的以下性质

A正定u*A—E

一存在实可逆矩阵c,A=CTC.

oA的正惯性指数=n。

oA的特征值全大于0。

oA的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法:

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。

基本概念

对称矩阵A，=A。

反对称矩阵A，=—A。

简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1,台角正上方的元素都为0。

如果A是一个〃阶矩阵，A是阶梯形矩阵nA是上三角矩阵，反之不一定

矩阵消元法：（解的情况）

①写出增广矩阵（山⑶，用初等行变换化（山月）为阶梯形矩阵（同力

②用（B|y）判别解的情况。

i）如果（回“最下面的非零行为（0,…,0|d）,则无解，否则有解。

ii）如果有解，记y是（即/）的非零行数，则

y=n时唯一解。

〃时无穷多解。

iii）唯一解求解的方法（初等变换法）

去掉（舶）的零行，得（舔九），它是〃x（〃+c）矩阵，为是“阶梯形矩阵，从而是上三角矩阵。

则2.…%都不为°。

（4⑸一匚＞（即）一匕今（劭）〃就是解。

a\\a\2…a\n

a。［a”***6?

一个〃阶行列式2，222"的值：

an\an2am,

①是〃!项的代数和

②每一项是〃个元素的乘积，它们共有〃!项。"的人…4明其中…，”是1,2,…，〃的一个全排列。

③%…%前面乘的应为（_1）"—血j2...jn）的逆序数

=工㈠…%%…%/

n

工'/MlJn

r（n（n-1）•■-21）=C；=〃（7）

代数余子式

Mj为时的余子式。

A0=（-l）”

定理：一个行列式的值。等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。

D=a2lA2I+a22A22-II-«2n^2n

•行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。

范德蒙行列式

11­••1

见见…a”"=T口T（%-%），个人

乘法相关

AB的（/,J）位元素是A的第i行和8的第/列对应元素乘积之和。

Cij=ai\^\J+ai2^2Jain^nj

乘积矩阵的列向量与行向量

（1）设mx〃矩阵A=（%,%「••,4），〃维列向量尸=（仇也，…,bj,则

A/3=伍%+b2a2+---+bnall

矩阵乘法应用于方程组

方程组的矩阵形式

Ax=P,（尸=（4也，…也J）

方程组的向量形式

x}a]+x2a2+・・・+x“a〃=（3

（2）设46=C,

A8=（A4，A/?2,…,A民）

r

>=A。：=优,%+b2ia2+…+勿。“

AB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是8的第i个列向量的各分量。

AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。

矩阵分解

当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积

特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题

4000、

A-)00

=(4%,42a2)

00

,0004“

对角矩阵从右侧乘一矩阵A,即用对角线上的元素依次乘A的各列向量

对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量

于是AE=A,EA^A

A(kE)=kA,(kE)A=kA

两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘

对角矩阵的k次方嘉只须把每个对角线上元素作k次方某

对一个〃阶矩阵A,规定"(A)为A的对角线上元素之和称为A的迹数。

于是{pt/3T^'a/3T~^r{a/3T^'a/3TaTa-tr(aaT)

其他形式方阵的高次塞也有规律

。01、

例如：A=020

J01,

初等矩阵及其在乘法中的作用

(1)交换E的第仃两行或交换E的第两列

(2)E(i(c))：用数c(w0)乘E的第i行或第i列

(3)£(/J(c))：把E的第J行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第/列上。

初等矩阵从左(右)侧乘•个矩阵A等同于对A作•次相当的初等行(列)变换

乘法的分块法则

一般法则：在计算两个矩阵A和6的乘积时，可以先把A和8用纵横线分割成若干小矩阵来进行,

要求A的纵向分割与B的横向分割一致。

得

«1

A&

-

A

-B

A

Ak

两种常用的情况

(1)A3都分成4块

.A]2](%B]2

A=,%=

^22/1^21B?2,

其中Ai的列数和应的行数相等，A.2的列数和色,的行数相关。

++

AD|^12^21^11^12^12^22

21/j—

（AzM]+A22B2lA2]/+^22^22

（2）准对角矩阵

40…0、

0A220

、。。A8，

40…0、o…o'“河。…0、

0A220oB…00A2522…0

22=2

、oo•••A-、oo-%,、ooAM,

矩阵方程与可逆矩阵

两类基本的矩阵方程(都需求A是方阵，且|A"0)

q)Ax=B(ll)xA=B

(I)的解法：

(邛)^HEM

(II)的解法，先化为=片。

通过逆求解：Ax=B,x=A-'B

可逆矩阵及其逆矩阵

定义：设A是〃阶矩阵，如果存在〃阶矩阵”，使得且“4=E,则称A是可逆矩阵,

称〃是A的逆矩阵，证作A」。

定理：〃阶矩阵A可逆0H|HO

求AT的方程(初等变换法)

伴随矩阵

Ai41,,,Au

A1“A?”,1,A““)

线性表示

夕可以用%,02,…,见线性表示，即夕可以表示为a,,a2,---,as的线性组合,

也就是存在ng,…,C.,使得c]a]+c2a2+…+qq=(3

记号:p->ax,a2,---,as

线性相关性

线性相关：存在向量4可用其它向量外,a-,4句,4线性表示。

线性无关：每个向量%都不能用其它向量线性表示

定义：如果存在不全为0的c,,使得.%+c2a2+•••+csas=0则称％,a2，…,见线

性相关，否则称%,a,线性无关。

B|J：%,。2,4线性相(无)关=/%+…+/4=0有(无)非零解

o(3，。2,…,a.Jx=O有(无)非零解

极大无关组和秩

定义:%,。2,…,％的一个部分组(/)称为它的一个极大无关组，如果满足：

i)(/)线性无关。

ii)(/)再扩大就相关。

(/)之四02,(〃)三/…a,=(/)

定义：规定的秩7(%/，…,6)=#(1)。

如果&每个元素都是零向量，则规定其秩为0。

0</(«1，•■■,aj<min{n,5}

有相同线性关系的向量组

定义：两个向量若有相同个数的向量：外,%，…,4,四，夕2,…，孔，并且向量方程

西,。1+x2a2+…+儿4=0与x/|+X2J32+…+阳氏=0同解,则称它们有相同的线性关系。

①对应的部分组有一致的相关性。

%,。2，«4的对应部分组。\,仇,04,

若%,。2，。4相关，有不全为0的使得

G%+c2a2+c4a4=0，

即（6，。2，°，。4。“、0）是％乌+x2a2H■…+x*a、=0的解，

从而也是+…+阳］=0的解，则有

C/1+。262+。4万4=0，

用血血也相关。

②极大无关组相对应，从而秩相等。

③有一致的内在线表示关系。

设：A=（%,%，…,%），8=（四,外,则

xtat+x2a2H---1-xsas-0即Ax=Q,

——+X2/32+…+xsPs=0即Bx=0o

四,。2,％与A，色,…，民有相同的线性关系即4》=0与6工=0同解。

反之，当Ar=0与5x=0同解时，A和8的列向量组有相同的线性关系。

矩阵的秩

定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩

规定r（4）=行（列）向量组的秩。

r（A）的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B,则8的非零行数即r（A）。

命题：r（A）=A的非零子式阶数的最大值。

*=C*::

J-V

弋,■kJ

A=

*3Z*3C*

■*----—*——*-

方程组的表达形式

a]}x]+tz12x2H---Fa]nxn=b]

ax+axH---Fax=b

1.〈2]]2222nM2

.^l+am2x2+--+amnxn=bm

2.Ax=(3"是解oA〃=夕

3.xxa}+x2a2d—+xnan-(3<=>/3ai,a2,---,all

基础解系和通解

1.Ax=0有非零解时的基础解系

7，%，…，”是Ax=0的基础解系的条件：

①每个7.都是Ax=0的解

②…，一线性无关

③Ax=0的每个解〃f.，%,…,?

（3）I=n—/（A）

通解

①如果7,%”是Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的通解为

C]〃|+。2%+…+47,G任意

②如果4是Ax=/?（£xO）的一个解，7，%「一，%是从=0的基础解系，则Ax尸的通解为

Jo+G7+C2%+…+%”，S任意

特征向量与特征值

定义:如果〃工0,粗与〃线性相关，则称乙是A的一个特征向量。此时，有数;M疆A??=M

称4为〃的特征值。

设A是数量矩阵花，则对每个〃维列向量〃，=于是，任何非零列向量都是花的特征向

量，特征值都是力。

①特征值有限特征向量无穷多

若=A（crj）-cAr/-cXrf-A（c77）

:A（。7+。2〃2）=，1人7+。24生=4（C|〃|+C2%）

A%=沏2J

②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。

③计算时先求特征值，后求特征向量。

特征向量与特征值计算

A?j=沏,77w0

=（花--.=0,”0

=〃是“E-A）x=0的非零解

命题：①；I是A的特征值OplE—A|=0

②〃是属于2的特征向量是（/LE-A）x=O的非零解

称多项式\xE-A|为A的特征多项式。

2是A的特征值=4是A的特征多项式\xE-的根。

4的重数：4作为|xE-A|的根的重数。

”阶矩阵A的特征值有八个：A可能其中有的不是实数，有的是多重的。

计算步骤：

①求出特征多项式|xE—川。

②求|在-山的根，得特征值。

③对每个特征值/1,.，求（/L’E—A）x=O的非零解，得属于义，的特征向量。

n阶矩阵的相似关系

设A,8是两个〃阶矩阵。如果存在〃阶可逆矩阵U,使得UTAU=B,则称A与5相似，记作

A-

n阶矩阵的对角化

基本定理A可对角化oA有〃个线性无关的特征向量。

设可逆矩阵U小）,则

'400o'

0200

U-lAU=2

00,­.0

,000%

4000、

04001\

OA（7，〃2,…，％）=U=（477I，%2%」一，4"J

00•.0

000

=A1,=,i=1,2,…,〃

判别法则

A可对角化=对于A的每个特征值丸，/I的重数=〃一7（/IE—A）。

计算：对每个特征值乙,求出（4石-4卜=0的一个基础解系，把它们合在一起，得到八个线性无关

的特征向量，7,…,必。令U（7，仇，…山）则

「4000

0400

W'AU,其中4为7的特征值。

000

<0004,7

二次型（实二次型）

二次型及其矩阵

一个〃元二次型的一般形式为

/（x”X2,…,x.）=+2^“卢Xj

f=li<j

只有平方项的二次型称为标准二次型。

形如：X：+X：+…+$一片+]-----才+g的〃元二次型称为规范二次型。

对每个”阶实矩阵4,记X=（X],》2,…,x"）‘，则/Ax是一个二次型。

1

f{x],x2,---,xn）=xAx

称4的秩y（A）为这个二次型的秩。

标准二次型的矩阵是对角矩阵0

规范二次型的矩阵是规范对角矩阵。

可逆线性变量替换

设有一个“元二次型/日,々,…,X"），引进新的一组变量必，为，…,尤，并把玉,了2,…,乙用它们表

ZjXo

匹=”+q2y2+…+CQ”

+一.+”,(并要求矩阵C

是可逆矩阵）

[X"=%%+32+~+%”

cm/

代入…，乙），得到月，…，儿的一个二次型g（y”…，儿）这样的操作称为对/日…X,,）作了

一次可逆线性变量替换。

设y=（为，为，则上面的变换式可写成

x=CY

则/&…x“）=/A17cze=g8,…,凡）

于是g(%,…y")的矩阵为cZc

(CTACf=C'ATCT=CTAC

实对称矩阵的合同

两个〃阶实对称矩阵A和6,如果存在〃阶实可逆矩阵C,值得C7;4C=8。称A与8合同，记作

A-Bo

命题：二次型/（占…x“）=/Ax可用可逆线性变换替换化为

g(yr--y«)=y/fly<=>A~B

二次型的标准化和规范化

i.每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。

也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。

设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵。，使得0是对角矩阵。

QTAQ=Q-'AQ^DA~D,A^D

2.标准化和规范化的方法

①正交变换法

②配方法

3.惯性定理与惯性指数

定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于

0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。

个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。

用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。

定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是

它们的正、负惯性指数相等。

实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。

正定二次型与正定矩阵

定义：一个二次型/（七,々，…，z）称为正定二次型，如果当阳,…,工”不全为0时，

例如,标准二次型/（再,尤2,…，x"）=4*+4%;+…+正定=4>0,i=

（必要性”=>”,取占=1,/=…=z=o，小时/（i,o,…,0）=&>o同样可证每个4〉o）

实对称矩阵正定即二次型/Ax正定，也就是：当xwO时，/'Ax>0。

~1000'

02.00

例如实对角矩阵八八,八正定。儿,>0,i=l,…,〃

00*.0

、0004

定义：设A是一个“阶矩阵，记4是A的西北角的，阶小方阵，称|A』为A的第r个顺序主子式（或

广阶顺序主子式）。

附录一内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化

一.向量的内积

1.定义

两个〃维实向量a,£的内积是一个数，记作（。,6），规定为它们对应分量乘积之和。

(a，⑶

设%d+a2b2+…+a也a'(3

2.性质

①对称性:(«/)=(△2)

②双线性性质：(%+%，/)=(。|，夕)+(。2,⑶

(a，4+〃2)=(a，4)+(a,p2)

(ca,⑶=c(a,6)=(a,c0)

③正交性：(«,«)>0,且(a,a)=O=a=O(a,a)=WX

/=1

3.长度与正交

向量a的长度［M=1(a,a)

||<z||=0oa=0

HHdH

单位向量：长度为i的向量

若awO,则£是单位向量，称为a的单位化。

PH

两个向量a,2如果内积为0：(«,/?)=0,称它们是正交的。

如果〃维向量组a”《两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。

例1.如果向量组%,二2,4两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。

证：t己A=贝U

'隧『000、

AZ=Ohll2oo

00,­.0

、oooIM2>

则乂A，A)=s,=>r(A)=s即r(ai,---,as)=s。

例2.若A是一个实的矩阵，则r（A「A）=r（A）。

二.正交矩阵

一个实n阶矩阵A如果满足AAT=E,就称为正交矩阵。Ar=ZU

定理A是正交矩阵oA的行向量组是单位正交向量组。

=A的列向量组是单位正交向量组。

例3.正交矩阵4保持内积，即

（Aa,A/7）=（a,/7）

lAai=H

证：出5人爵二丛与A0=/0=

1

例4.（04）A是3阶正交矩阵，并且知1,求Ax=0的解。

0

三.施密特正交化方法

这是把•个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。

A=B-B-ca

设%%线性无关

①正交化：令4=%

①1，%）

a

B?=2（尸评）

（设夕2=。2-S1,（夕2，夕1）=（。2，夕1）一人（£|，4）

（%，4）时

当k&A正交。）

（综4）

夕=13—夕臼川一及乂夕,

331

②单位化:令7端，『缶『俞

则〃1，%，〃3是与外,%,£3等价的单位正交向量组。

四.实对称矩阵的对角化

设4是一个实的对称矩阵，则

①4的每个特征值都是实数。

②对每个特征值4,重数=〃—r（/lE—A）。即A可以对角化。

③属于不同特征值的特征向量互相正交。

于是：存在正交矩阵。，使得是对角矩阵。

对每个特征值4,找（/IE-A）x=O的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。

设A是6阶的有3个特征值为（二重），4（三重），4（一重）

找4的2个单位正交特征向量名,%。

找4的3个单位正交特征向量/，%,人。

找乙的一个单位特征向量〃6。

。=（7，%，仇，〃4，〃5，〃6）

例5.（04）A是3阶实对称矩阵，厂（4）=2,6是它的一个二重特征值,

都是属于6的特征向量。

（1）求A的另一个特征值。

（2）求A。

解（1）另一个特征值为0。

任］