初中数学 文档：“幂的运算”学习导航 市赛一等奖

“幂的运算”学习导航本文所要讲解的幂的运算内容包括同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法.它们都是是整式运算的基础，由于幂的运算中的几个法则容易混淆，学习和运用时一定要严格区分.为了方便同学们的学习和运用，现对这部分重点知识加以解读.一、法则解读1.同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母可以表示为：am×an＝am+n（m、n都是正整数）.注意：在这个表达式中，等式的左边是两个幂底数相同，且是乘积的关系；而右边是一个幂，与左边相比，底数不变，只是指数是左边的指数相加而得到.2.幂的乘方：底数不变，指数相乘.用字母可以表示为：(am)n＝amn（m、n都是正整数）.这个法则的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘.注意：幂的乘方一定要与同底数幂相乘的法则的区别，前者是指数相乘，而后者则是指数相加.3.积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘.用字母可以表示为：(a×b)n＝an×bn（n是正整数）.注意：要具体运算时，一定要将积中的每一个因式都要乘方，不能漏乘.4.同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减.用字母可以表示为：am÷an＝am+n（a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）.可见这个法则成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减.注意：和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差.5.零指数幂与负整数指数幂：不等于零的数的零次幂等于1.即a0＝1(a≠0).不等于零的数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数.即a－p＝(a≠0，p是正整数).二、典型题析例1计算：[(x－2b)3×(x－2b)4]2÷(x－2b)15(a－2b≠0).分析考虑本题中的底数均为(x－2b)，所以将其看成一个整体，先对中括号内实施同底数幂的乘法，后对中括号中进行幂的乘方，再运用同底数幂的除法运算，最后运用负整数指数幂化简.解[(x－2b)3×(x－2b)4]2÷(x－2b)15＝[(x－2b)3+4]2÷(x－2b)15＝(x－2b)7×2÷(x－2b)15＝(x－2b)14÷(x－2b)15＝(x－2b)14－15＝(x－2b)－1＝说明本题的第一步也可以先运用积的乘方进行运算.例2已知：a＝355，b＝444，c＝533.则有（）＜b＜c＜b＜a＜a＜b＜c＜b分析由于a、b、c的指数都较大，即使用计算器也有一定的难度，故直接有乘方求解较繁，但仔细观察分析知55、44、33都是11的倍数，这时可逆用幂的乘方的法则或许会有结果.解因为355＝35×11＝(35)11＝24311；444＝44×11＝(44)11＝25611；533＝53×11＝(53)11＝12511；而由乘方的意义可知，25611＞24311＞12511，所以444＞355＞533，即b＞a＞c，也即c＜a＜b.故应选C.说明本题要不是逆用幂的乘方法则，还不知道要在运算的黑暗里摸索多久.三、链接中考例3（2008年重庆市中考试题）计算x3·x2的结果是（）5C分析题目是两个同底数幂相乘的运算式子，只要运用同底数幂相乘的法则进行运算.解x3·x2＝x3+2＝x5.故应选B.说明本题只是单一地考查了同底数幂的乘法的法则.例4（2008年南京市中考试题）计算(ab2)3的结果是（） 6 分析由题目的结构特征，直接运用积的乘方和幂的乘方法则求解.解(ab2)3＝a3(b2)3＝a3b6.故应选D.说明本题中一个小小的题目，却运用了两个大法则，求解时一定注意法则的准确运用.例5（2008年资阳市中考试题）下列运算正确的是（）A.(ab)5＝ab5 ÷a2＝a6 C.(a2)3＝a5 D.(a－b)2＝a2－b2分析利用幂的运算法则逐一筛选.解因为(ab)5＝a5b5，a8÷a2＝a6，(a2)3＝a6，(a－b)2≠a2－b2，所以只有B正确，故应选B.说明对于(a－b)2＝a2－b2，虽然我们还没有接触到，但可以取特殊值代入加以验证.例6（2008乌鲁木齐中考试题）若a＞0且ax＝2，ay＝3，则ax－y的值为（）A.－1 B.1 C. D.分析由已知条件，要求ax－y的值，只有逆用同底数幂的除法法则，从ax－y寻求ax和ay.解因为ax＝2，ay＝3，所以ax－y＝ax÷ay＝2÷3＝.故应选C.说明对于的四大运算法则的逆向运用在以后的整式乘除运算中会经常遇到，请同学们注意演练.例7（2008年肇庆市中考试题）已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面规律，试猜想22008的末位数是＿＿＿.分析要想直接计算22008的结果去寻求其末位数是多少，显然是不切实际的，不如从已知条件提供的信息入手，去寻找规律，通过观察可知，末位数是呈周期性循环的，由此可获解.解因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，而22008＝2502×4，所以22008的末位数与24的末位数相同，即22008的末位数是6.说明利用幂的运算法则去探索有关数的末位数时，一定要从中发现规律，一般不可强求.四、疑点点拨1.注意四个法则中的指数都是正整数，底数均不能为0，在具体运用法则进行运算时，除了要注意“