31平行四边形(4) 三角形的中位线

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九年级数学(上)第三章证明(三)

1.平行四边形(4)三角形的中位线及性质

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回想与思考1

学好几何标志是会“证明〞

证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;

(3)结合图形,用符号语言写出“已知〞和“求证〞;(4)分析题意,摸索证明思路(由“因〞导“果〞,执“果〞索“因〞.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理明了地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.

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回想

思考

平行四边形的性质AD

定理:平行四边形的对边相等.

′

∵四边形ABCD是平行四边形.BC∴AB=CD,BC=DA.AD定理:平行四边形的对角相等.O∵四边形ABCD是平行四边形.BC∴∠A=∠C,∠B=∠D.MADN定理:平行四边形的对角线相互平分.∵四边形ABCD是平行四边形.QCPB∴CO=AO,BO=DO.定理:夹在两条平等线间的平行线段相等.∵MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.

证明后的结论,以后可以直接运用.

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回想

思考

平行四边形的判定ADC

定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.

B

′

定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.定理:对角线相互平分的四边形是平行四边形.AD∵AO=CO,BO=DO,O∴四边形ABCD是平行四边形.定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.∵∠A=∠C,∠B=∠D.∴四边形ABCD是平行四边形.BC

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回想

思考

等腰梯形的性质AD

定理:等腰梯形同一底上的两个角相等.

在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D,∠B=∠C.

B

C

定理:等腰梯形的两条对角线相等.

在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..

A

D

B

C

证明后的结论,以后可以直接运用.

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回想

思考

等腰梯形的判定AD

定理:同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.

在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.

B

C

定理:两条对角线相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.AD

B

C

证明后的结论,以后可以直接运用.

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我思,我进步1

挑战分割三角形

你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?A

四个全等的三角形.

请你设法验证.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.B

D

E

F

C

猜一猜,三角形中位线有什么性质?

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三角形中位线的性质我思,我进步2定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.已知:如图,DE是△ABC的中位线.1求证:DE∥BC,DE2BC.分析:要证明线段的倍分关系,可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明

平行四边形的对边的关系A于是可作辅助线,利用全等三角形来证明相应的边相等.DE证明:如图,延长DE至F,F使EF=DE,连接CF.∵AE=CE,∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△CFE(SAS).BC∴AD=CF,∠ADE=∠F.∴BD∥CF.∵AD=BD,(一组对边平等且相等的四∴BD=CF.∴四边形DBCF是平行四边形.边形是平行四边形.)∴DF∥BC,DF=BC.1∴DE∥BC,DEBC.

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我思,我进步3

三角形中位线的性质

利用定理“三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半〞,请你证明下面分割出的四个小三角形全等.已知:如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点.A

求证:△ADE≌△DBF≌△EFC≌FED.分析:利用三角形中位线性质,可D转化用(SSS)来证明三角形全等.证明:B∵D,E,F分别是△ABC各边的中点.F

E

C

(三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半).∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED(SSS).

DEBFFC.EFADDB.FDCEEA.

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我思,我进步4

三角形中位线的性质

如图,四边形ABCD四边的中点分别为E,F,G,H,四边形EFGH是怎样四边形?你的结论对所有的四边形ABCD都成立吗?四边形EFGH是平行四边形,结论对所有的四边形ABCD都成立.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点A求证:四边形EFGH是平行四边形..E分析:将四边形ABCD分割为三角形,利B用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.HF证明:连接AC.DC∵E,F,G,H分别为各边的中点,G1∴EF∥AC,EFAC.21HG∥AC,HGAC.2∴四边形EFGH是平行四边形.

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我思,我进步5

做一做,想一想A

′

已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,有通过学习方法估测出了A,B两地之间的距离:先在ABC外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗?

M

N

B

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回想

思考

三角形中位线的性质

定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三A边的一半.∵DE是△ABC的中位,1∴DE∥BC,DEBC.2这个定理提供了证明线段平行,和线段成倍分关系的根据.′DE

模型:连接任意四边形各边中点B所成的四边形是平行四边形.要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形H的形状后,对角线具有的关系(对角线相等,对角线垂直,对角线相等且垂直)决D定了各中点所成四边形的形状.

A

CEB