数学建模习题解答 杨启帆

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第一章第5题

一个男孩和一个女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校里上学，每天同时放学后分别以2km/h和1km/h的速度步行回家。一只小狗以6km/h的速度由男孩奔向女孩，又从女孩处跑向跑回男孩处，如此来回的奔跑，直至回到家中。问小狗总共奔波了多少路程？

解：由于男孩、女孩与小狗跑的时间一样，所以把时间设为t，则有2t+1t=3，得到t=1h。所以小狗跑了6km/h*1h=6km。第一章10题

一位探险家必需穿过一片宽度为800km的沙漠，他仅有的交通工具是一辆每升汽油可行驶10km的吉普车．吉普车的油箱可装10升汽油。另外吉普车上可携带8个可装5升汽油的油桶，也就是说，吉普车最多可带50升汽油(最多能在沙漠中连续行驶500km)。现假定在探险家出发地的汽油是无限充足的．问这位保险家应怎样设计他的旅行才能通过此沙漠？他要通过沙漠所需的汽油最少是多少升？为了穿越这片800km宽的沙漠，他总共需要行驶多少公里路程。总共要花费多少升的汽油?思路：

1、若沙漠只有500公里或者更短，这时很简单，一次搞定。

2、若沙漠有550km，怎么办？需要保证的是：车到了离沙漠终点还有500km的地方，能恰恰加满油且不会有多余。方案可为：600-550＝50，从起点处加5*3(升)＝15升油，开出50km，设一加油站，存下5升，剩下5升刚好使得汽车返回起点。再在起点处加满50升油，到加油站时，只乘45升了，把存放在那儿的5升油加上。则可跑出沙漠。（这样共加油15＋50＝65，总路程为150+500＝650km）

3、再看2的状况，符合这种状况的沙漠的最大距离是多少呢：答案是500*（1+1/3）公里。即在起点准备100升油，第一次装50升，跑了500/3公里后存放50*1/3升油，然后返回起点，这时车里的油也正好用完，然后再在起点处装50升，跑了550/3公里后，车内剩下（50*2/3）升油，再加上存放的50*1/3升油，恰好为50升油，则可跑出沙漠。

4。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3）km（但又超过得不多）又当如何？这时我们可以把前面的500*（1+1/3）km看成一段整体，需要保证的是：在距离沙漠终点500*（1+1/3）km处恰恰有100升油（由3的分析可知）。怎么来保证呢，我们假设沙漠的距离只比500*（1+1/3）多了1公里，由于汽车的容量是50升，所以100升油最少从起点运3次油才能满足。除了3次装油，还有两次折回，所以来回正好有5次，这5次能保证的距离是500/5，所以这时我们又把沙漠的距离延伸到了：500*（1+1/3+1/5），起点应当储存150升油。

5。当沙漠的距离超过了500*（1+1/3+1/5）km，要保证在距离沙漠终点500*（1+1/3+1/5）km的地方有150升油。

综上所述：总有某一个值k,使得

fdis=500*（1+1/3+1/5+…+1/(2k-1)）800，应当在起点准备多少油呢？这时多了一小段出来，按情形2的分析，在起点准备的油应当是：（(800-fdis)/油耗）*来回次数+k*50。

经计算：fdis=766.66,k=3,故应准备的油应为：（(800–766.66)/10）*7+3*50＝173.338。第一章11题

假使你有一个3L的桶和5L的桶，问如何才能确凿地称出4L的水？假使你要的不是4L而是别的数量，你又该怎么办？

解：确凿称出4L水的方法：先把3L的桶装满水，倒入5L的桶中，再把3L的桶装满，

又倒入5L的桶中直到倒满，此时3L的桶中还剩下1L；再将5L桶中的水倒掉，将3L桶中剩下的1L倒入5L桶中，再用3L桶装满水倒入5L桶中即可得到4L水。

设y（y?[0,8]）表示要的任意L的水，a表示得到yL水所要用到3L桶的次数，b表示得到yL水所要用到5L桶的次数。则可以得到如下模型：

y?3a?5b，a，b为整数。

例如1、y=1L时，a=2，b=-1，表示3L的桶用了两次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

2、y=2L时，a=-1，b=1。3、y=3L时，a=1，b=0。

4、y=4L时，a=3，b=-1，表示3L的桶用了三次装满，5L的桶用3L桶中的水装满一次并且倒掉。

5、y=5L时，a=0，b=1。6、y=6L时，a=2，b=0。（注，此时5L的桶有用来中间存贮）7、y=7L时，a=-1，b=2。8、y=8L时，a=1，b=1。

第一章第13题

其次章1题

第i个前初的兔子对数为fi

f0?1,f1?1，f2?f0?f1?2，f3?f2?f1?3，f4?f2?f3?5f5?f4?f3?8，f6?f4?f5?13，f7?f6?f5?21，f8?f6?f7?34

f9?f8?f7?55，f10?f8?f9?89，f11?f10?f9?144（对）

（理解：第i个月的兔子=第i-1个月的兔子+第i-2个月的兔子，fi?fi?1?fi?2）其次章2题

这相当于一根棒的两端甲A，乙B，设初始位置甲A(0,0),棒长为R,乙的初始坐标为（D,0）,顺时针运动，设甲的切向速度为v1,乙的径向速度为v2,则有转速w=v1/R,设x轴正方向单位向量为i,y正方向为j,则有乙的合速度为

v1*(i*cos(wt)+j*sin(wt))+V2*(j*cos（wt）-isin(wt)），即有乙坐标的参数方程为

x=D+[V1*cos(wt)-v2*sin（wt）]*ty=[V1*sin(wt)+v2*cos（wt）]*t,这就是乙的运动路线了

其次章3题最小二乘法

设y?ax?b，让总偏差最小，总偏差记为?，?????y??ax?b???iii?1162，要求?达到最小

16??16??2?yi??axi?b??????xi???2???yi??axi?b????xi?0?ai?1?i?1??16??2?yi??axi?b???0???bi?1

a?16?yixi??yi?xi16??xi???yi?xii?1i?1i?1i?1162i?116i?116161616，b??xi?yixi??yi??xi?i?1i?1i?1i?1161616162??2x?16x???i??i?i?1?i?1?16216

?yxi?116ii?12584?12325?12848?13377?13708?13950?14229?14630?14880?15288?

15299?15168?15582?15840?16200?16728?232566??x?ii?1162?20449?21025?21316?21609?22201?22500?23409?23716?24025?2433624649?25281?25600?26244?26896?378220a?16?232566?2458?151116?378220??2458?2?0.7194

b?2458?232566?378220?1511?2458?2?16?378220??16.073

y?0.7194x?16.073

数学建模2.10

将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，桌子四条腿的连线呈长方形，不允许将

桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，是否总能设法使其四条腿同时落地？若桌子四条腿共圆，结果又如何？解：对于此题，假使不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。因此对于问题一和问题三我们都这样假设（1）地面为连续曲面

（2）方桌的四条腿长度一致

（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。问题一

现在，我们来证明：假使上述假设条件成立，那么答案是确定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab,则ab也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x轴的夹角记为?。

简单看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令

f(?)为A、B离地距离之和，g(?)为C、D离地距

离之和，它们的值由?唯一确定。由假设（1），f(?),g(?)均为?的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故f(?)g(?)=0必成立（??）。不妨设

f(0)?0,g(0)?0g（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），

于是问题归结为：

已知f(?),g(?)均为?的连续函数，f(0)?0,g(0)?0且对任意?有

f(?0)g(?0)?0，求证存在某一?0，使f(?0)g(?0)?0。

g(?)?0。??f()?()g??证明：当θ=π时，AB与CD互换位置，故f(?)?0，作h()，

显然，h(?)也是?的连续函数，h(0)?f(0)?g(0)?0而h(?)?f(?)?g(?)?0，由连续函数的取零值定理，存在?0，0??0??，使得h(?0)?0，即f(?0)?g(?0)。又由于f(?0)g(?0)?0，故必有f(?0)?g(?0)?0，证毕。

问题二

现在，我们来证明：假使上述假设条件成立，那么答案是确定的。以圆桌的中心为坐标原点作直角坐标系如下图，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在y轴上，而B、D则在y轴上。当方桌绕中心0旋转时，B、D与x轴的夹角记为?。

简单看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，我们令f'(?0)为A、C离地距离之

g'(?)为B、和，D离地距离之和，它们的值由?唯一确定。由假设（1），f('?)0,g'(?)均为?的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地，故f'(?0)g(?)=0必成立（??）。不妨设f'(0)?0,g'(0)?0g（若g'(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：

已知f'(?0),g'(?)均为?的连续函数，f'(0)?0,g'(0)?0且对任意?有

f'(?0)g'(?0)?0，求证存在某一?0，使f'(?0)g'(?0)?0。

证明：当θ=

???π时，AC与BD互换位置，故f'()?0，g'()?0。作

222h'(?)?f'(??)g?'(，)显然，h'(?)也是?的连续函数，h'(0)?f'(0)?g'(0)?0而h'()?f'()?g'()?0，由连续函数的取零值定理，存在?0，0??0?，使得

2222????即f'(?0)?g'(?0)。又由于f'(?0)g'(?0)?0，故必有f'(?0)?g'(?0)?0，h'(?0)?0，证毕。

其次章第11题

一辆汽车停于A处并垂直于AB方向，此汽车可转的最小圆半径为R，求不倒车而A到B的最短路径.(1)|AB|>2R,要求汽车到达B点时停车方向与在A点时的方向一致。（2）|AB|>=2R,汽车到达B点时停车方向与A点时的方向相反。解：

(1)若|AB|>2R，且汽车要求到达B点时方向与在A点时方向一致

(2)若|AB|>=2R且要求汽车到达B点时方向与A点时方向相反

分别以半径R作过A点的圆O,作过B点的圆O,再作两圆公切线CD则

当CD为0，即AB=2R时，距离最短

第三章其次题

大气压强P可用对海拔高度H的变化率dp/dh与p成正比来建模，且位于海平面的压强为1013mbar，位于海拔高度20km的压强为90mbar。1.解初值问题

微分方程dp/dh=kp

初值条件p=p0,h=0

得到通过h表示p的表达式，根据海拔-压强的给定数据确定p0和k的值。

2.在海拔高度h=50km处大气压强是多少？3.在海拔高度是多少公里处大气压强等于900mbar？解：1dp/dh=kpdp/p=kdh

lnp=kh+c

根据题意解得：

C=6.9206，k=-0.1215Lnp=-0.1215*h+6.9206

(2)当h=50时，解得p=2.329。（3）当p=900时，h=0.97KM。

第三章第3题

3..在某化学反应中，物质的数量随着时间的改变率与其当前的数量成正比。例如，δ-糖蛋白内酯变成葡萄糖酸，当时间t以小时为单位时，化学反应方程式是

dy??0.6ydt

假使当t=0时，有δ-糖蛋白内酯100g，那么一小时后还剩下多少？

解:假设δ-糖蛋白内酯可以全部转变成葡萄糖酸，y为当前δ-糖蛋白内酯的量（y?0），t为时间，由题意：

dy??0.6ydt

dy??0.6dty两边积分，得lny??0.6t?c

y?e?0.6t?c

?0.6t?cy?e因此，

由t=0时，y=100得出c=ln100

?0.6t?ln100y?e则，

所以，当t=1时，则

y?e?0.6?ln100?100e?0.6

即一小时后还剩下δ-糖蛋白内酯100e?0.6g。

第三章13题

为了勉励购买100（单位）某货物的买主，商家销售部门用连续打折的方法促销，以购货数量x（单位）决定所售货物的单价p(x)（即单价p(x)是购货数量的函数）。假定折扣降价速率为每单位降价0.01美元，又假设购买100（单位）该货物的单价是p(100)?20.09美元。

（1）通过解如下问题求p(x)：

微分方程：

dp1??pdx100初值条件：p(100)?20.09

（2）求10（单位）该货物的单价p(10)和90（单位）的单价p(90)。

（3）商家的收入是用r(x)?xp(x)来计算的。假使销售部门问你：这样打折扣是否会出现如下状况，即售出100（单位）的货物的收入比售出90（单位）货物的

收入还要少，你会怎么回复他们。

（4）试证明：当x?100时商家的收入r达到最大。

解答：（1）由微分方程可得方程为p(x)?ce所以求得方程为p(x)=54.61e?x100?x100，再由初值条件，可得c?54.61。

。

（2）当为10单位时，即x=10,所以p(10)=

54.61e110；当为90单位时，p(90)=

54.61e910。

（3）当售出90（单位）时r(90)=90p(90)=90

54.61e910;

当售出100（单位）时p(100)=100p(100)=100

54.61e110。

由计算可知，r(90)?r(100)。所以不会出现售出100（单位）的货物的收入比

售出90（单位）货物的收入还要少的状况。

我的回复：不会出现售出100（单位）的货物的收入比售出90（单位）货物的收入还要少的状况，但是即使会有这样的状况，这样虽然从某种意义上来看，我们公司在当售出100（单位）的货物相对于售出90（单位）货物要赚的少，有损于我公司，但是我们的促销方法便是如此，商家以诚信为本，我们不会由于有这样的状况来改变我们的促销方式，来欺骗各位商家销售部门。

（4）令r'(x)?54.61e?x100?x54.61100?xe?0，解得x=100；100?x?x54.6110054.6110054.61?1e?xe??e?0，故当再将x=100代入r''(x)得r''(x)??5010000100x=100时r(x)取到最大值，即r(100)=100

54.61e110=4941.3171399778。

第五章1题

模型假设：某工厂每天生产A产品x个，B产品y个，获利为z元。模型建立：

maxz?0.3?x?0.15?y

?0?x?600??0?y?1200?x?y?1000?模型求解：得到结果??x?600，z?0.3?600?0.15?400?240

?y?400结论：该厂应当生产A产品600件，每天生产B产品400个才能得到最大的利润，最大的利润为240元。数学建模参考答案与评分标准

1.请简述数学建模的一般步骤。

答：建立数学模型的过程大致可以分为以下几个步骤：（1）了解问题背景。（2）提出合理的假设。（3）建立数学模型。（4）模型的求解。

（5）模型的分析与检验。（6）模型的应用

数学建模的流程图为：

2.取一根很长的绳子，它的长度恰好能紧贴地球（假设地球为一数学意义上严格的的球体）表面绕赤道一周。假使把绳子再接长15米，将其悬在空中绕赤道一周（即绳子上的每一点到地面的距离均相等），问：2.26米的姚明是否可以从绳子的下方自由地直立行走？

答：初看好像不可以，地球这么大，半径6000多公里，你现在的绳子只多了15米而已，不可能让绳子悬空2米多的！但假使认真分析，其实是完全可以的！

由于H=15/2PI≈2.39米大于2.26米。

3.将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转，问是否总能设法使其四条腿同时落地？

答：假设

（1）地面为连续曲面

（2）方桌的四条腿长度