状态反馈和状态观测器

状态反馈和状态观测器2023/4/121第1页，共81页，2023年，2月20日，星期日第一节状态反馈及极点配置状态反馈与输出反馈状态反馈极点配置条件和算法状态反馈闭环系统的能控性和能观测性2023/4/122第2页，共81页，2023年，2月20日，星期日将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。一、状态反馈反馈的两种基本形式：状态反馈（1种）、输出反馈（2种）原受控系统：线性反馈规律：2023/4/123第3页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态反馈闭环系统：反馈增益矩阵：状态反馈闭环传递函数矩阵为：

一般D=0，可化简为：状态反馈闭环系统表示：状态反馈系统的特征方程为：2023/4/124第4页，共81页，2023年，2月20日，星期日原受控系统：二、输出到参考输入的反馈（又称为输出反馈）将系统输出量乘以相应的反馈系数馈送到参考输人，其和作为受控系统的控制输入。（同古典控制，不作过多说明）输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：2023/4/125第5页，共81页，2023年，2月20日，星期日输出反馈增益矩阵：闭环传递函数矩阵为：结论3：由于反馈引自系统输出，所以输出反馈不影响系统的可观测性。结论1：当HC＝K时，输出到参考输入的反馈与状态反馈等价。即对于任意的输出反馈系统，总可以找到一个等价的状态反馈，即K＝HC。故输出反馈不改变系统的能控性。结论2：对于状态反馈，从K＝HC中，给定K值，不一定能够解出H。所以，输出反馈是部分状态反馈，输出信息所包含的不一定是系统的全部状态变量，适合工程应用，性能较状态反馈差。2023/4/126第6页，共81页，2023年，2月20日，星期日原受控系统：三、输出到状态微分的反馈将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到状态微分处。这种反馈在状态观测器中应用广泛，结构和观测器很相似。输出反馈系统状态空间描述为：2023/4/127第7页，共81页，2023年，2月20日，星期日极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。四、状态反馈极点配置条件和算法1、极点配置算法(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3）定理：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是：状态完全能控。注意：矩阵的特征值就是所期望的闭环极点。对不能控的状态，状态反馈不能改变其特征值。2023/4/128第8页，共81页，2023年，2月20日，星期日(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。(4)由确定反馈矩阵K：[解]：（1）先判断该系统的能控性[例1]考虑线性定常系统其中：试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统极点为-2±j4和-10。2023/4/129第9页，共81页，2023年，2月20日，星期日该系统状态完全能控，通过状态反馈，可任意进行极点配置。（2）计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：（3）计算期望的特征多项式2023/4/1210第10页，共81页，2023年，2月20日，星期日由得（4）确定K阵求得：所以状态反馈矩阵K为：[例2]对如下的线性定常系统，讨论状态反馈对系统极点的影响[解]：（1）先判断该系统的能控性由对角线标准型判据可知，特征值为－1的状态不能控。(2)假如加入状态反馈阵K，得到反馈后的特征多项式为：2023/4/1211第11页，共81页，2023年，2月20日，星期日从中可以看出，对于－1的极点，状态反馈不起作用，状态反馈只能通过k2去影响2这个极点。即状态反馈对不能控部分状态，不能任意配置其极点。求将相等繁琐，所以引入第二能控标准型法。2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3）1、首先将原系统化为第二能控标准型2、求出在第二能控标准型的状态下的状态反馈矩阵3、求出在原系统的状态下的状态反馈矩阵2023/4/1212第12页，共81页，2023年，2月20日，星期日证明：原系统：第二能控标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：2023/4/1213第13页，共81页，2023年，2月20日，星期日第二能控标准型：此时的系统不变量和原系统相同。能控标准型下，加入状态反馈后，系统矩阵为：[第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式及]2023/4/1214第14页，共81页，2023年，2月20日，星期日第二能控标准型下，状态反馈后闭环系统特征多项式为：根据期望闭环极点，写出期望特征多项式：由，可以确定第二能控标准型下的反馈矩阵为：2023/4/1215第15页，共81页，2023年，2月20日，星期日(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为第二能控标准型的变换阵若给定状态方程已是第二能控标准型，那么，无需转换第二能控标准型法，求反馈增益矩阵K的步骤：系统不变量：2023/4/1216第16页，共81页，2023年，2月20日，星期日(3)根据给定或求得的期望闭环极点，写出期望的特征多项式：(4)直接写出在第二能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：还可以由期望闭环传递函数得到：第二能控标准型法，非常适合于计算机matlab求解期望的闭环极点有时直接给定；有时给定某些性能指标：如超调量和调整时间等）2023/4/1217第17页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]用第二能控标准型法，重新求解前面例1：（2）计算原系统的特征多项式：[解]：（1）可知，系统已经是第二能控标准型了，故系统能控，此时变换阵（3）计算期望的特征多项式（4）确定K阵所以状态反馈矩阵K为：第二能控标准型下的状态反馈矩阵为：2023/4/1218第18页，共81页，2023年，2月20日，星期日3）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中是A满足其自身的特征方程，为：推导过程：略此方法也非常适合于计算机matlab求解2023/4/1219第19页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]用爱克曼公式，重新求解前面例1：[解]：（1）确定系统期望的特征多项式系数：所以：（2）确定2023/4/1220第20页，共81页，2023年，2月20日，星期日（3）所以状态反馈矩阵K为：2023/4/1221第21页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]已知线性定常连续系统的状态空间表达式为设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为－1和－2，并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。令2023/4/1222第22页，共81页，2023年，2月20日，星期日则状态反馈闭环系统的特征多项式为期望的特征多项式为由，求得

状态反馈闭环系统的结构图如下：2023/4/1223第23页，共81页，2023年，2月20日，星期日期望极点选取的原则：1）n维控制系统有n个期望极点；2）期望极点是物理上可实现的，为实数或共轭复数对；3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，对系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统只有极小的影响。2、闭环系统期望极点的选取2023/4/1224第24页，共81页，2023年，2月20日，星期日五、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性定理：如果SI线性定常系统是能控的，则状态反馈所构成的闭环系统也是能控的。证明:2023/4/1225第25页，共81页，2023年，2月20日，星期日结论：对SISO系统，引入状态反馈后，不改变系统原有的闭环零点。所以经过极点的任意配置，可能会出现零极点相约，由于可控性不变，故可能破坏可观测性。第二能控标准型，受控系统传递函数：状态反馈后，闭环系统传递函数：2023/4/1226第26页，共81页，2023年，2月20日，星期日[本节小结]：1、状态反馈系统的结构:状态反馈闭环系统：状态反馈闭环传递函数矩阵为：状态反馈系统的特征方程为：2、输出反馈:闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：2023/4/1227第27页，共81页，2023年，2月20日，星期日3、输出到状态微分的反馈：闭环系统动态方程：闭环传递函数矩阵为：系统的特征方程为：4、状态反馈极点配置条件和算法：极点任意配置条件：系统状态完全能控。极点配置算法：反馈阵k的求法2023/4/1228第28页，共81页，2023年，2月20日，星期日(4)由确定反馈矩阵K：(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：(3)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写期望特征多项式。1）直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。2023/4/1229第29页，共81页，2023年，2月20日，星期日(4)写出第二能控标准型下的反馈增益矩阵：(5)求未变换前原系统的状态反馈增益矩阵：2）第二能控标准型法求反馈矩阵（维数较大时，n>3时）(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。(3)写出期望的特征多项式：(2)确定将原系统化为第二能控标准型的变换阵2023/4/1230第30页，共81页，2023年，2月20日，星期日5、状态反馈闭环系统的能控性和能观测性可以保持原系统的能控性，但可能破坏原系统的能观测性。3）爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）其中是A满足其自身的特征方程，为：为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：2）和3）方法非常适合于计算机matlab求解2023/4/1231第31页，共81页，2023年，2月20日，星期日第二节系统的镇定问题系统镇定的概念状态反馈与系统的镇定2023/4/1232第32页，共81页，2023年，2月20日，星期日一、系统镇定的概念镇定：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。可以采用状态反馈实现镇定，则称系统是状态反馈能镇定的。定理：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态反馈能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理证明：二、状态反馈与系统的镇定原系统：2023/4/1233第33页，共81页，2023年，2月20日，星期日将原系统按照能控性分解，得到系统对系统引入状态反馈后，系统矩阵变为闭环系统特征多项式为：能控部分，总可以通过状态反馈使之镇定要求渐近稳定2023/4/1234第34页，共81页，2023年，2月20日，星期日结论1：如果线性定常系统是状态完全能控的，则不管其特征值是否都具有负实部，一定是状态反馈能镇定的。（一定存在状态反馈阵K，使闭环系统的极点得到任意配置）

不稳定但状态完全能控的系统，可以通过状态反馈使它镇定结论2：可控系统是一定可镇定的，可镇定系统不一定是可控的2023/4/1235第35页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]系统的状态方程为（2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定的。因此该系统是状态反馈能镇定的。[解]：（1）系统的特征值为1，2和－5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。（1）该系统是否是渐近稳定的？（2）该系统是否是状态反馈能镇定的？（3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为2023/4/1236第36页，共81页，2023年，2月20日，星期日（3）不能控部分的极点为－5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控部分进行极点配置。设，对能控部分进行极点配置。期望的特征多项式为：2023/4/1237第37页，共81页，2023年，2月20日，星期日由得：解得：所以反馈阵为：2023/4/1238第38页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]系统的状态方程和输出方程如下[解]：（1）系统特征方程为：（1）讨论系统的稳定性。（2）加状态反馈可否使系统渐近稳定？特征值为，系统不是渐近稳定的。（2）系统能控，加入状态反馈可以任意配置极点。设反馈阵为，加状态反馈后的系统矩阵为2023/4/1239第39页，共81页，2023年，2月20日，星期日系统的特征多项式为：通过k1和k2的调整可使系统的特征值都位于左半S平面，使系统渐近稳定。2023/4/1240第40页，共81页，2023年，2月20日，星期日第三节状态观测器状态观测器的原理和构成状态观测器的存在条件状态观测器极点配置条件和算法构成状态观测器的原则2023/4/1241第41页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。如果是状态完全能观测的，那么根据输出y的测量，可以唯一地确定系统的初始状态，系统任意时刻的状态：所以只要满足一定的条件，可从可测量y和u中把x间接重构出来。一、状态观测器的原理和构成2023/4/1242第42页，共81页，2023年，2月20日，星期日原受控系统：状态观测器：原系统和状态观测器之间状态的误差：有：，即：——原系统初始状态——状态观测器的初始状态如果，必有，即两者完全等价，实际很难满足。也就是说原状态和状态观测器的估计状态之间必存在误差，从而导致原系统和状态观测器的输出也必存在误差。渐近状态观测器。2023/4/1243第43页，共81页，2023年，2月20日，星期日全维渐近状态观测器结构图：维数2n。2023/4/1244第44页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态观测器的特征方程为：状态观测器方程：由此可以得到全维渐近状态观测器的等价结构图：维数2n。2023/4/1245第45页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态观测器能否起作用的关键：观测器在任何初始条件下，都能够无误差地重构原状态。二、状态观测器的存在条件：

存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。存在条件设状态观测器方程：证：将原系统按照能观测性分解：2023/4/1246第46页，共81页，2023年，2月20日，星期日令：则：得：2023/4/1247第47页，共81页，2023年，2月20日，星期日1、能观测部分：齐次状态方程的解：2、不能观测部分：非齐次状态方程的解2023/4/1248第48页，共81页，2023年，2月20日，星期日要求A22的特征值均具有负实部，即不能观部分是渐近稳定的此时：2023/4/1249第49页，共81页，2023年，2月20日，星期日前提：设计全维状态观测器，是状态观测器期望的特征值。则目的是确定观测器增益矩阵，使得A-KeC具有期望的特征值。——等同于状态反馈系统的设计。三、状态观测器设计和状态反馈设计的对偶问题：原系统为：则其对偶系统为：1、针对对偶系统来设计状态反馈阵K：线性反馈规律仍然为：则希望取得一组期望的特征值，将特征值选择为原系统的观测器的期望特征值。2023/4/1250第50页，共81页，2023年，2月20日，星期日观察上式可以发现：与原系统状态观测器的特征方程相比：则有：其中，K是其对偶系统的状态反馈阵。结论：原系统的状态观测器增益矩阵Ke的设计，等同于其对偶系统状态反馈中反馈阵K的设计，两者互为转置。其中原系统的观测器特征值等于其对偶系统状态反馈的特征值。2023/4/1251第51页，共81页，2023年，2月20日，星期日由状态观测器存在性定理，可以得到以下定理：定理：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是原系统为状态完全能观测。四、状态观测器极点配置条件和算法：证明：根据以上的对偶关系，要使原系统的观测器极点能任意配置，则要求其对偶系统的状态反馈系统极点能任意配置。所以，其对偶系统状态能控。原系统为：则其对偶系统为：则要求：即：原系统状态能观2023/4/1252第52页，共81页，2023年，2月20日，星期日第二能观测标准型下，状态观测器的特征多项式：第二能观测标准型：能观测标准型下状态观测器的系统矩阵：2023/4/1253第53页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态观测器的设计步骤：(3)写出状态观测器的期望特征多项式：1、直接法（维数较小时，n≤3）(2)求观测器的特征多项式：(4)由确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2023/4/1254第54页，共81页，2023年，2月20日，星期日2、第二能观标准型法（维数较大时，n>3，适合计算机求解）(2)确定将原系统化为第二能观测标准型的变换阵。若给定的状态方程已是能观测标准型，那么，无需转换(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2023/4/1255第55页，共81页，2023年，2月20日，星期日(4)直接写出在第二能观测标准型下观测器的反馈矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：下面证明原系统和线性变换后系统间观测器的状态反馈增益矩阵的关系：2023/4/1256第56页，共81页，2023年，2月20日，星期日证明：原系统：第二能观标准型：其中：式（1）和式（2）比较，得：2023/4/1257第57页，共81页，2023年，2月20日，星期日为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中是A满足其自身的特征方程，为：推导过程：用前面讲述的对偶关系来推导。转化为对偶系统的状态反馈阵K的设计。此方法也非常适合于计算机matlab求解3、爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）2023/4/1258第58页，共81页，2023年，2月20日，星期日[解]：

(1)传递函数无零极点对消，系统能观测可以写为第二能观测标准型：[例]系统的传递函数如下，试设计状态观测器，使观测器的极点为－10，－10。(2)设观测器的反馈增益阵为：1、直接法求解：2023/4/1259第59页，共81页，2023年，2月20日，星期日(5)由系数相等，得到观测器的反馈矩阵为：(4)状态观测器期望的特征多项式为：(3)求观测器的特征多项式：则观测器的系统矩阵为：2023/4/1260第60页，共81页，2023年，2月20日，星期日原系统的对偶系统，其A、B阵如下：设对偶系统的状态反馈阵为2、用状态反馈和状态观测器的对偶关系求解：将系统的特征值选择为原系统观测器的期望特征值。则期望的特征多项式为：则对偶系统的加入状态反馈后的特征多项式为：由系数相等，得到对偶系统状态反馈矩阵K为：所以，原系统观测器的反馈矩阵为：2023/4/1261第61页，共81页，2023年，2月20日，星期日3、用爱克曼公式求解：（1）确定系统期望的特征多项式系数：所以：（2）确定2023/4/1262第62页，共81页，2023年，2月20日，星期日（3）所以观测器增益Ke为：2023/4/1263第63页，共81页，2023年，2月20日，星期日[例]已知线性定常连续系统的状态空间表达式为设计状态观测器，使观测器极点为－10和－10，并画出系统的结构图。解：先判断系统的能观测性。系统状态完全能观测，观测器存在，且其极点可以任意配置。令2023/4/1264第64页，共81页，2023年，2月20日，星期日则观测器的特征多项式为观测器期望的特征多项式为由，求得

观测器方程为：或：2023/4/1265第65页，共81页，2023年，2月20日，星期日观测器的系统结构图如下：2023/4/1266第66页，共81页，2023年，2月20日，星期日五、构成状态观测器的原则：1）观测器以原系统的输入和输出作为其输入。2）的输出状态应有足够快的速度逼近x，这就要求有足够宽的频带，将导致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大。3）有较高的抗干扰性，这就要求有较窄的频带，因而快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应综合考虑。4）在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。5）观测器的逼近速度选择：只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快2~5倍。2023/4/1267第67页，共81页，2023年，2月20日，星期日[本节小结]：一、全维状态观测器的原理、构成与极点配置状态观测器方程：

存在性定理：线性定常系统不能观测的部分是渐近稳定的。状态观测器极点配置条件：状态完全能观测状态观测器极点配置算法：反馈阵Ke的设计（或用对偶原理，设计其对偶系统的状态反馈阵K）2023/4/1268第68页，共81页，2023年，2月20日，星期日(3)写出状态观测器的期望特征多项式：1、直接法（维数较小时，n≤3）(2)求观测器的特征多项式：(4)由确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。2、第二能观测标准型法（维数较大时，n>3）(1)判断系统能观测性。如果状态完全能观测，按下列步骤继续。(2)确定将原系统化为第二能观测标准型的变换阵。2023/4/1269第69页，共81页，2023年，2月20日，星期日(4)写出在第二能观测标准型下，观测器的反馈矩阵：(5)求未变换前系统状态观测器的反馈矩阵：(3)指定的状态观测器的特征值，写出期望的特征多项式：2023/4/1270第70页，共81页，2023年，2月20日，星期日为系统期望的特征多项式系数，由下式确定：其中是A满足其自身的特征方程，为：3、爱克曼公式(Ackermann公式法)（维数较大时，n>3）2023/4/1271第71页，共81页，2023年，2月20日，星期日第四节带有观测器的状态反馈系统带有观测器的状态反馈系统的构成带有观测器的状态反馈系统的输入输出特性2023/4/1272第72页，共81页，2023年，2月20日，星期日状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件构成：带有状态观测器的状态反馈系统由观测器和状态反馈两个子系统构成。用观测器的估计状态实现反馈。

是x重构状态，阶数小于等于x阶数。系统阶数为与x阶数和一、带有观测器的状态反馈系统的构成全维状态观测器加入状态反馈2023/4/1273第73页，共81页，20