现代控制理论-

现代控制理论-第1页，共64页，2023年，2月20日，星期日课程的基本问题基本要求考核成绩：期末考试确定，满分100分上课要求：希望认真听课作业：希望认真完成作业，但不记成绩教材及参考书现代控制理论主编王金城化学工业出版社现代控制理论基础主编梁慧冰机械工业出版社教学内容（前五章）

1控制系统的状态空间描述2线性系统的状态空间运动分析3线性控制系统的能控性和能观测性4控制系统的稳定性——李雅普诺夫第二方法5线性控制系统的综合

6现代控制理论专题2第2页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.1引言1.2状态空间描述1.3状态空间描述的状态变量图1.4状态空间描述的建立1.5化输入-输出描述为状态空间描述1.6离散系统状态空间描述的建立1.7线性变换1.8由状态空间描述求传递函数阵1控制系统的状态空间描述3第3页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.1引言经典控制理论的发展和完善时代：从1932年奈魁斯特（H.Nyquist）发表反馈放大器的频率域稳定性论文起，到二十世纪五十年代末。现代控制理论的形成和发展时代：从二十世纪五十年代末开始，其标志性成果：1956年庞特里雅金（L.S.Pontryagin）的极大值原理1957年贝尔曼（R.Bellman）的动态规划理论1961年卡尔曼（R.E.Kalman）的线性递推滤波理论其中，状态空间的概念和方法的引入，则起了重要的推动作用。4第4页，共64页，2023年，2月20日，星期日研究对象：线性与非线性系统、定常与时变系统、单变量与多变量系统、连续与离散系统数学上：状态空间法（输入-状态-输出）方法上：研究系统输入/输出特性和内部性能内容上：线性系统理论（基础）、系统辨识、最优控制、自适应控制等1.1引言5第5页，共64页，2023年，2月20日，星期日状态变量是指能够完全描述系统运动状态的且数量最少的一组变量。完全描述是指，如果给定了t=t0时刻这组变量的值，和t≥t0时的输入信号，那么系统在t≥t0的任何瞬时的行为就完全确定了。数量最少是指反映系统状态的一组独立的变量。1.2状态空间描述1．2．1状态和状态空间状态和状态空间长久以来就在描述质点和刚体运动的经典动力学中得到了广泛的应用。在经典控制理论中所讨论过的相平面，就是一个特殊的二维状态空间。状态所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况。一个质点作直线运动，它的状态就是各时刻的位置与速度一个RLC电路，它的状态就是各时刻电感电流与电容电压6第6页，共64页，2023年，2月20日，星期日状态向量以状态变量为分量组成的向量称为状态向量。设x1(t),x2(t),…,xn(t)是系统的一组状态变量，则状态向量就是以这组状态变量为分量的向量，记为1.2状态空间描述状态空间以x1(t),x2(t),…,xn(t)为坐标轴所构成的n维欧式空间称为状态空间。状态空间中每一点都代表一个特定状态。系统t≥t0各时刻的状态构成状态空间中一条轨迹。7第7页，共64页，2023年，2月20日，星期日1．2．2被控过程的状态空间描述1.2状态空间描述被控过程的输出特性是简单的函数关系，可表为

j=1,2,…,m被控过程的动力学特性，可用n个一阶常微分方程组来描述

i=1,2,…,n

u1(t),u2(t),…,ur(t)为控制变量,即输入变量x1(t),x2(t),…,xn(t)为状态变量y1(t),y2(t),…,ym(t)为输出变量,可直接测量,故也称为量测变量8第8页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述引入向量函数

状态空间描述（状态空间表达式）状态方程输出方程令9第9页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述用矩阵方程表示如果所描述过程是线性的10第10页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述A(t)为系统矩阵，n×n维；B(t)为控制矩阵，n×r维；

C(t)为输出矩阵，m×n维，D(t)为传递矩阵,m×r维。

简记为S(A,B,C,D)如果系统是线性定常系统其中A，B，C，D分别为常数矩阵11第11页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述1．2．3非线性状态空间描述的线性化考察系统在x0=x(t0)附近的运动，且对于x0和u0有将f和g在x0，u0处进行泰勒级数展开，则有式中其中f，g是x，u的非线性函数。实际的控制系统总是非线性的，即12第12页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述用增量表示令忽略a，b，则有13第13页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.2状态空间描述例试求下列非线性系统在x0=0和u0=1处的线性化方程。解由状态方程和输出方程得于是14第14页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.3状态空间描述的状态变量图

状态变量图的图形符号

加法器比例器积分器带初始条件积分器

状态空间描述的一般形式向量信号15第15页，共64页，2023年，2月20日，星期日三阶系统微分方程

1.3状态空间描述的状态变量图

一阶系统微分方程16第16页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

从系统的机理出发进行推导由系统的结构图建立对系统的微分方程或传递函数进行转换建立方法例试列写RLC网络的状态空间描述，以电流i2为输出。解此网络的贮能元件有电感L1，L2和电容C，考虑到i1，i2和uc这三个变量是独立的，故可选它们为状态变量。根据网络回路和节点方程，可得1.4.1从系统的机理出发建立状态空间描述

17第17页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

令x1=i1，x2=i2，x3=uc，整理得18第18页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

例列写以M1和M2的位移y1和y2为输出的状态空间描述。解弹簧和质量块是贮能单元，可选择位移y1、y2和速度v1、v2为状态变量。19第19页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

令x1=y1，x2=y2，，及u=f式中xT=[x1

x2

x3

x4]，yT=[y1

y2]

20第20页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

1.4.2从系统结构图出发建立状态空间描述例某系统的结构图如图,试求其状态空间描述。21第21页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.4状态空间描述的建立

对于传递函数中含有零点的环节，需变换成真分式真分式

22第22页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

考虑一个单输入-单输出线性定常系统，它的运动方程是一个n阶线性常系数微分方程:其传递函数为目的是寻求一个状态空间描述与之对应当m<n时，d=0。而当m=n时，d=b0≠0

在保证输入输出关系不变前提下，可以有多种的A，b，c，d与之对应，而每一种对应就是一种实现。23第23页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

1.5.1能控标准形实现

设单输入-单输出控制系统由传递函数描述因m=n-1，即d=0，所以用状态变量图建立系统的状态空间描述，将上式改写24第24页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

25第25页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

能控标准形实现例试列写如下二阶系统状态空间描述的能控标准形

解将传递函数改写

友矩阵26第26页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

（1）不包含输入导数项的情况设系统的微分方程为令27第27页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

（2）包含输入导数项的情况

系统的传递函数为

上式分解为如下两部分串联，并引入中间变量Z(s)

28第28页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

1.5.2

能观测标准形实现重写系统的传递函数

构造状态变量图29第29页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

能观测标准形实现对偶关系能控标准形实现30第30页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

1.5.3约当标准形实现（1）特征根互异情况系统的传递函数为

其中l1，l2，…，ln互异。将上式展开成部分分式

31第31页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

约当标准形实现32第32页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

（2）特征根有重根情况设系统只有l1是重根，且重数为k，其余n-k个特征根是单根。此时，系统的传递函数可写成33第33页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

34第34页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

写成一般形式其中35第35页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

1.5.4

多输入-多输出系统的实现以双输入-双输出二阶系统为例。设系统的微分方程为

对导数积分36第36页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.5化输入-输出描述为状态空间描述

37第37页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.6离散系统状态空间描述的建立

周期性采样线性定常系统的差分方程一般具有如下的形式进行Z变换，导出脉冲传递函数（单输入输出变量系统）（多输入输出多变量系统）38第38页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

1.7.1线性非奇异变换A与是相似矩阵，它们具有相同的基本特性：行列式相同、秩相同、特征多项式相同、特征值相同等

选取不同状态变量得到不同状态空间描述它们具有相同输入、相同输出、相同的状态变量维数式中或39第39页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

例

将如下系统变换为状态空间描述对角线标准形解选取非奇异变换阵P为新的状态变量是原状态变量的线性组合40第40页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

将一般形式的状态空间描述变换为对角线标准形41第41页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

1.7.2系统的特征值和特征向量（1）系统的特征值

设A是n×n的矩阵，若存在一非零向量p，有

Ap=lpl称为A的特征值，p称为A的对应于特征值l的特征向量。特征多项式将行列式|lI-A|展开 |lI-A|=ln+a

1ln-1+…+an-1l+an

特征方程det(l

I-A)=|lI-A|=0特征方程的根就是特征值l42第42页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

对于友矩阵l1=-1l2=-2l3=-3

特征多项式为：|lI-A|=ln+a

1ln-1+…+an-1l+an

例43第43页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

（2）系统的不变量与特征值的不变性

系统经线性变换后，其特征多项式不变：证明

特征多项式的系数a

1，a

2，…，an称为系统的不变量

44第44页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

（3）特征向量的计算

Ap=lp例

试求矩阵的特征向量解

①根据|lI-A|=0已计算出：l1=-1，l2=-2，l3=-3

②计算对应于l1=-1的特征向量p1按定义Ap1=lp1

设45第45页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

解出

p12＝0，p11＝p13，令p11＝1，则p13＝1

③同理，可算出l2=-2，l3=-3的特征向量46第46页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

1.7.3将状态空间描述变换为约当标准形

（1）A阵为任意形式采用线性变换，将变换为（Ⅰ）特征值互异时

求出li的特征向量pi，i＝1,2,…,n。由pi构成变换矩阵P

由于47第47页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

两边左乘P-1，得

48第48页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

（Ⅱ）特征值有重根时设A有n个特征值，其中l1为k重根，其余为互异根。

49第49页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

即k个重根

n-k个单根

也可根据A矩阵特征方程的第k行的代数余子式求

50第50页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

例试将矩阵变换为约当标准形解A阵的特征方程为下面分别用两种方法求变换阵P。①根据递推方法求解②根据A矩阵特征方程的代数余子式求解其特征值为l1=l2=1，l

3=5。51第51页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

①根据递推方法求解p13=8为任选

先计算重根l1=l2=1的特征向量p1

Ap1=l1

p1即52第52页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

再由Ap2=l1p2+p1计算p2

最后计算对应于l3=5的特征向量p3：

Ap3=l3p3因此53第53页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

②根据A矩阵特征方程的代数余子式求解将行列式按第一行展开，得代数余子式将l1=1代入，得p11=p12=p13=0，这样p1=0，不符合要求。故改为按第二行展开

将l1=1代入，得p11=0，p12=0，p13=-3254第54页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

由①法得到：对于重根l2=1

，有

将l3=5代入代数余子式，得③将A阵变换成约当标准形55第55页，共64页，2023年，2月20日，星期日1.7线性变换

考虑如下系统：