流体力学六章课件

流体力学六章课件1第1页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动

若，即ωx=ωy=ωz

=0，则流体的运动称为无旋运动或势流，若ω≠0。(至少有一个分量不为零)，则称为旋涡运动或有旋运动。判断流体运动是无旋还是有旋，不能从流体质点的轨迹来判别，而是要看流体微团本身是否旋转。

旋涡运动是流体运动的一种基本形式。它存在于小到肉眼看不到的物体边壁附近极薄的边界层内及物体后面的尾流中，大到太阳系与宇宙星系中，它们都可利用涡系的生成与发展解释。

本章首先介绍描述旋涡运动的一些基本概念——涡线、涡管、涡束、涡强与速度环量及其关系，然后叙述关于理想流体旋涡运动规律的几个定理——有关旋涡运动的运动学特性之亥姆霍兹(Helmholtz)第一定理(旋涡运动在空间的变化规律)，有关旋涡运动的动力学特性之汤姆生(Thomson)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、亥姆霍兹第二定理及第三定理(旋涡运动随时间的变化规律)，最后阐述关于旋涡在流体中诱导速度的毕奥—萨伐尔(Bion-Savart)定律。希望由此对流体旋涡运动的规律有个基本的了解，以便用于分析有关的理论与实际问题。

2第2页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动§6-1涡线、涡管、涡束与涡强(涡通量)

涡量场中涡线、涡管、涡束与涡强(涡通量)这些运动学概念最早是1843年由亥姆霍兹首先引入的，它们分别类似于速度场中的流线、流管、流速与流量。一、涡线

涡线是涡量场中某瞬时作出的这样一条空间曲线，在该瞬时曲线上所有各点流体微团的旋转角速度矢量与该曲线相切(如图)。因为每点处角速度矢量方向是流体微团的旋转轴方向(按右手定则)，所以涡线也就是一群流体微团在给定瞬时围绕旋转的公共轴线。显然，涡线方程为3第3页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动式中是涡线上的微元矢量。在直角坐标中展开后可得到涡线方程，即其中旋转角速度分量ωx

、ωy、ωz是以时间变量t为参变量。对于不同的t，就构成了涡线族方程组。涡线与流线类似，有如下性质:(1)定常流动时涡线的形状与位置不随时间改变;(2)一般情况下，任一瞬时过一点只能作一条涡线;(3)可以证明:理想流体定常流动时沿流线的伯努利积分亦适用于沿涡线的情形。4第4页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动但是，一般情况下涡线与流线不重合，而是相交。在流体作平面流动时，涡线流线处处正交，即同一点。

涡量场与不可压缩流体的速度场一样，都是无源场(无散场)，这是因为:不可压缩流体的速度场中相应的涡量场中一、涡管、涡束与旋涡强度(涡通量)1.涡管在涡量场中任取一条非涡线的封闭曲线，过曲线上每一点作涡线，这些涡线构成的管状表面称为涡管(如图)。若该封闭曲线所围面积无限小，则称为微元涡管。微元涡管中同一截面的流体微团以同一角速度旋转，但与刚体不同的是沿涡管方向不同截面的角速度是不相同的。5第5页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动※.涡面给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。

涡线涡面涡管2.涡束涡管内所包含的旋转流体(或者说所有涡线的总和)称为涡束。3.旋涡强度(涡通量)旋涡的变化及其对周围流场的影响决定于旋涡旋转角速度及涡束内所含流体的多少(可用其截面积A来表示)。由此来定义通过微元涡管的旋涡强度(简称为涡强，又叫作涡通量)，6第6页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动式中，为微元面积dA的外法线单位矢量；ωn的是角速度矢量在方向的投影量。通过整个涡管之任一曲面A的旋涡强度(涡通量)为式中A不一定是某平面截面面积，也可是某曲面面积。旋涡强度的单位通常是m2/s。空间问题的涡通量平面问题的涡通量7第7页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动§6-2速度环量，斯托克斯定理

一、速度环量

1869年汤姆生(Thomson)引进一个与旋涡强度密切相关的速度环量的概念。利用斯托克斯定理，可通过对速度环量的计算或量测较简便地确定旋涡强度。速度环量在流体力学与空气动力学中十分重要。

某瞬时在流场中有任一曲线AB(如图)，它上面各点的速度沿该曲线的线积分沿曲线AB作速度的线积分沿闭曲线速度的线积分

称为速度(线)积分。其中为曲线AB上的微元矢量，α为该曲线上某点速度与当地夹角。8第8页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动

若曲线AB是一条封闭曲线L，则速度沿该封闭曲线的线积分称为某瞬时沿该封闭曲线的速度环量(简称为环量)。可见，速度(线)积分或速度环量的概念在形式上类似于力沿曲线或封闭曲线的作功。

速度环量的正负号取决于流场中速度的方向以及线积分所取环绕方向。为统一起见，通常规定线积分绕逆时针方向为其正方向。

速度环量的概念不仅适用于不可压缩流体与理想流体，而且也适用于可压缩流体与粘性流体。9第9页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动二、斯托克斯定理

旋涡强度(面积分)与速度环量(线积分)的关系可直接根据高等数学中的斯托克斯定理来确定:式中，L是包围单连通区域的任一有限大封闭曲线；A是以封闭曲线L为周界的任意开口曲面。斯托克斯定理说明了：绕任一封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为界的任意开口曲面A的旋涡强度(涡通量)的2倍。10第10页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动

斯托克斯定理只适用于单连通区域。所谓单连通区域就是在连通域中的任一闭合曲线，其连续地收缩成一点时不与边界线相交，这种连通域就称为单连通区域(如图)。例如，球表面内部的空间区域，或两个同心球之间的空间区域等都是单连通区域。否则，就称为多连通区域。例如，由内外柱形边界围成的空间就是一双连通区域(如图)。若封闭曲线内有平面点涡等奇点(§7-4)，则亦是多连通区域。双连通区域单连通区域11第11页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动

对于多连通区域，在运用斯托克斯定理时首先必须把它化成单连通区域。这只要做适当数目的隔面。例如，对于平面机翼翼型绕流的双连通区域，只要做一个无限薄的隔面，就可将它化成一个单连通区域(如图)。此时可利用斯托克斯定理其中

因为

所以

12第12页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动斯托克斯定理的证明1.L为微小矩形封闭曲线ABCD:若是平面曲线(如图)，对于微元长度的速度可按始、终端点速度的平均值计算，由此13第13页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动上述结论可推广应用于L为空间微小矩形封闭曲线条件下，因为它的三个相互垂直的投影面中具有上述关系。2.L为平面有限大区域的封闭曲线

用一系列平行x轴与y轴的相互垂直的直线将它分成无数多个微小的矩形(如图)。对于每个微小矩形都有关系式dΓ=2ωndA，然后对速度环量求和，注意到此时沿相邻矩形的公共边上的速度积分方向相反，故符号相反而相互抵消，因而对于单连通区域求和后，剩下的只是外周线L的环量。则14第14页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动3.L为任意空间有限大区域的封闭曲线设A为以L为界的任意曲面，可把曲面A分成无数个微小曲面，对于每一微小曲面都有关系式dΓ=2ωndA

，对于单连通区域，若对总面积的速度环量求和，得由此可见，斯托克斯定理亦适用于空间的三元流动。例.已知不可压缩流体流动的速度分布试求涡线方程及沿封闭曲线的速度环量。其中a、b为常数。15第15页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动解：旋转角速度代入涡线方程，化简得积分得16第16页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动对于在z=0平面上的圆周则由斯托克斯定理故17第17页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动例.一个以角速度ω按逆时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动。有旋流动中速度环量的计算解：在流场中对应于任意两个半径r1和r2的圆周速度各为V1=ωr1和V2=ωr2

，沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量18第18页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积于是上式正是斯托克斯定理的一个例证。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。19第19页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动例.一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即V=C/r，其中C为常数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。无旋流动中速度环量的计算解：沿图中画斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量20第20页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动可见，在这区域内是无旋流动。这结论可推广适用于任何不包围圆心O的区域内，例如。若包有圆心（r=0），该处速度等于无限大，应作例外来处理。现在求沿半径的圆周封闭曲线的速度环量

上式说明，绕任何一个圆周的流场中，速度环量都不等于零，并保持一个常数，所以是有旋流动。但凡是绕不包括圆心在内的任何圆周的速度环量必等于零，故在圆心O点处必有旋涡存在，圆心是一个孤立涡点，称为奇点。21第21页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动§6-3汤姆生定理与拉格朗日定理汤姆生定理又称为开尔文(Kelvin)定理，后者是前者的封号。

汤姆生定理：对于理想、正压流体，质量力单值有势时，沿任一封闭流体线(由一些给定的流体微团构成的曲线)的速度环量，在整个运动过程中不随时间改变。这只要证明dΓ/dt=0即可。一、汤姆生定理现证明如下:设t瞬时的封闭流体线L，在t+dt瞬时变形运动为，由定义，22第22页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动于是

从图可见

所以

注意到

故

说明了封闭流体线的速度环量对时间的变化率等于此流体线的加速度环量。23第23页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动再利用理想流体的欧拉运动微分方程若质量力单值有势，可引入质量力势Π，，对于密度ρ仅是压强p的单值函数之正压流体，存在压强函数PF，代入得

则

得证。由上述证明可知，汤姆生定理显示了旋涡运动的动力学特性。其中，为哈密顿算子：24第24页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动二、拉格朗日定理在理想、正压流体中，质量力单值有势时，若某一瞬时流体一部分没有旋涡，则在该瞬时以前或以后的时间里，这部分流体亦不会产生旋涡；反之，一旦有旋涡的存在，则该部分流体中的旋涡亦不会自行消失，这就是拉格朗日定理。该定理是旋涡的不生不灭定理，它对于判断流场是否有旋有着重要的意义。

这一定理是汤姆生定理的推论。现证明如下：若某瞬时、某部分流体处处ω=0，则由斯托克斯定理，该部分流体内封闭流体线L的速度环量根据汤姆生定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势时，沿给定流体线的速度环量在以前或以后的时间里，应始终保持Γ=0。25第25页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动再利用斯托克斯定理，对于位于那部分流体中的任何曲面A，在运动过程中始终因为曲面A的任意性(包括位置、大小与方位)，故欲使上式成立，必须在任何瞬时处处ω=0。反之，可以证明在上述条件下，一旦有旋涡的存在，则这部分流体中的旋涡亦不会消失。由此得证。根据拉格朗日定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势时，由静止开始运动的流体，运动一定是无旋的；无穷远处均匀来流绕流物体的流场亦是无旋的。26第26页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动必须指出，若需考虑流体的粘性，或质量力无势时(如哥氏加速度形成的惯性力)或是斜压流体(密度不仅与压强有关，而且还与温度、湿度或含盐度等有关，如大气或海水)，则旋涡就会产生、发展、扩散、衰减与消失。此外，粘性流体往往作旋涡运动，同时在粘性流体中存在旋涡扩散及耗能的特性，流场中旋涡将从涡强大的地方向涡强小的地方扩散，直到各处涡强相等，并随着时间的推移，各处涡量慢慢衰减为零。27第27页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动§6-4亥姆霍兹旋涡三定理

在同一瞬时，沿涡管长度旋涡强度不变，这就是亥姆霍兹第一定理。该定理显示了旋涡运动的运动学特性。一、亥姆霍兹第一定理——涡强守恒定理现证明如下:在某瞬时，沿涡管表面取封闭周线，其中AB与是两条几乎重合的曲线(如图)。先研究该封闭曲线的环量，其速度线积分的环绕方向如图。显然，因为

所以

28第28页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动根据斯托克斯定理，由于通过涡管表面的涡强为零，所以对于上述封闭周线ABB'A'A的速度环量亦等于零，即则

即

再利用斯托克斯定理，得即

式中A1、

A2分别为以曲线A'A、BB'为界的任意曲面。得证。显然，亥姆霍兹第一定理对于微元涡管亦成立，为29第29页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动由此可见，亥姆霍兹第一定理形式上类似于不可压缩流体沿流管的连续性方程，亦是一运动学定理。亥姆霍兹第一定理对理想流体或粘性流体、对正压流体或斜压流体、无论质量力是否有势都适用。●根据亥姆霍兹第一定理，可得到以下结论:

(1)同一瞬时，对于同一微元涡管来说，截面积小的地方流体旋转角速度大，反之亦然。

(2)涡管截面积不可能变为零，否则ω=∞，但这是不可能的。所以涡管不可能在流体内部开始或终止，或者说不可能在流体内部断开。因此，涡管只可能为自我封闭的环形涡圈(图1)，如吸烟者吐出的圆环形烟圈，水中旋涡，或者在边界上(容器壁面或自由液面)开始与终止(图2)，或伸展到无穷远处，如龙卷风(图3)。30第30页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动二、亥姆霍兹第二定理——涡管(线)保持性定理亥姆霍兹第二定理与第三定理均显示了旋涡的动力学特性。亥姆霍兹第二定理：理想、正压流体中，若质量力单值有势，则涡管(线)在流体运动过程中一直保持为由相同流体质点组成的涡管(线)而不破坏。31第31页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动证明如下:某瞬时t，在涡管表面上取一封闭的流体线L(如图)，由于该曲线所包围的面积无ω通过，即ωn=0，因而按斯托克斯定理，ΓL=0。在以后t'瞬时，由相同流体质点组成的流体线变形运动到L'位置，据汤姆生定理ΓL'=ΓL=0。再利用斯托克斯定理，通过封闭流体线L'所围的任意曲面的ωn=0，即没有涡线通过。这就是说，在某一瞬时构成涡管的流体质点在运动过程中永远在涡管上，即涡管永远保持为涡管而不破坏。当然，随着时间的改变，涡管的形状与位置是可能变化的。可以想像，由于涡线可看成是两个涡管的交线，既然涡管存在保持性定理，那么涡线亦存在保持性定理。32第32页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动实际上，任何流体与由它构成的流体面都具有保持性定理。涡线与涡管只不过是它们的特殊情况。历史上较早的是由亥姆霍兹首先单独证明了涡线与涡管的保持性定理(1858年)。三、亥姆霍兹第三定理——涡强保持性定理

理想、正压流体中，若质量力单值有势，则在流体运动过程中涡管的涡强不随时间改变。现证明如下:如图所示，设t瞬时通过涡管上以封闭曲线L为界的曲面A的涡强，由斯托克斯定理，经过一段时间，在t'瞬时，由相同流体质点构成的流体线运动到L'位置。据汤姆生定理，在理想、正压流体中，质量力单值有势的条件下，ΓL'=ΓL

。33第33页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动又据涡管保持性定理，L'仍保持在涡管表面。再次利用斯托克斯定理可得：在t'瞬时通过涡管上以封闭曲线L'为界的曲面A'的涡强。得证。

34第34页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动§6-5旋涡的诱导速度——毕奥—萨伐尔定律

涡量场与速度场有一定的关系。若已知速度场，只要通过微分运算就容易求得涡量场；反之可以想像，若已知涡量场，可通过积分运算来确定其诱导的速度场。根据给定的涡量场确定它们诱导的速度场具有重要的理论与实际意义。例如，三元机翼绕流中下洗流动的计算及其对空气动力的影响，如何估计物体形状对流动的影响以及绕流物体旋涡阻力的计算等等，所有这些都与这一问题有着直接的联系。对于不可压缩流体，如何根据给定的涡量场确定其诱导速度，其计算公式的严格证明涉及较多的数学理论，在此不作介绍，有兴趣的读者可参看有关参考书，如文[7]。35第35页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动根据流场可与电磁场相比拟，详细内容见文[4]，由电动力学中的毕奥——萨伐尔定律，磁场强度式中，I为导线中的电流；

为导线沿电流方向的微元矢量；

是导线中任一点至电磁场中某研究点的矢径。的方向由右手定则确定，见图（a），即图中垂直进纸面的方向。于是得到微小的涡束（涡线）之诱导速度（在流体力学中亦称为毕奥—萨伐尔定律）。图（a）图（b）36第36页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动式中Γ为速度环量，又称为线涡强度。Γ在积分号外面，这是根据亥姆霍兹第一定理与斯托克斯定理，在同一瞬时沿涡管长度速度环量不变。为微小涡束(涡线)的微元矢量(按Γ的右手定则确定方向)，为微小涡束(涡线)与任一点至涡量场中某研究点的矢径。的方向由右手定则确定，见图

(b)，即图中垂直进纸面方向。根据前式，诱导速度的大小式中α为微元矢量到的夹角。计算中认为微小涡束（涡线）以外的流场是无旋势流，可利用势流叠加原理(§7-3)。但是实际上，旋涡诱导速度的产生是由于旋涡通过流体的粘性对周围流场起作用。37第37页，共42页，2023年，2月20日，星期一第六章流体的旋涡运动1.有限长直线涡