资金时间价值详细讲解

2.2资金时间价值的基本概念2.2.1资金时间价值的概念与衡量尺度1.资金时间价值的概念资金与时间的关系体现在资金的时间价值中。所谓资金的时间价值，是指资金在生产或流通领域不断运动，随时间的推移而产生的增值，或说是资金在生产或流通领域的运动中随时间的变化而产生的资金价值的变化量。资金的时间价值可以从两方面来理解：首先，将资金用作某项投资，由资金的运动(流通一生产一流通)可获得一定的收益或利润，这就是资金的“时间价值”。其次，如果放弃资金的使用权力，相当于失去收益的机会，或牺牲了现期消费，即相当于付出一定的代价，这也是资金时间价值的体现。2.资金时间价值的衡量尺度资金时间价值是以一定的经济活动所产生的增值或利润来表达的；因此，利息、利润是资金时间价值的体现，是衡量资金时间价值的绝对尺度。利息是资金占有者转让使用权所取得的报酬，也是使用者所付出的代价，无论个人或企业向银行贷款，都要支付利息，同理，个人或企业向银行存款，银行也要支付利息。即使使用自有资金，不需要向别人支付利息，但失去了将这笔资金存入银行或贷款给别人投资而获利的机会，这种机会的损失也就是使用自有资金的代价。利润是资金投入生产流通领域直接所获取的增值，也是衡量资金时间价值的绝对尺度。衡量资金时间价值除可用绝对尺度外，也可有相对尺度。通常我们习惯上把银行储蓄或债务资本支付中，单位时间的利息额与本金的比例称为利率，而把单位时间内直接投资生产、流通中所获得的利润额与投资额的比值称资金利润率或投资收益率，在技术经济学中，把资金增值的利息、利润可统称为收益。因此，利润率、利率也可用收益率来统称，它们是衡量资金时间价值的相对尺度。2.2.2资金时间价值的计算方法计算利息的时间单位为计息周期，计息周期有年、季、月、周、日之分，在技术经济分析中计息周期多采用年。计算资金时间价值的基本方法有单利法和复利法。1.单利法单利法是指仅以本金计算利息的方法。即在下期计算利息时不把已产生的利息也作为本金计算利息，也就是说利息不再计息。按单利计息方式，利息和占用资金的时间、本金量成正比例关系，比例系数即利率。本金在资金占用期所产生的总利息即为本金在资金占用期所产生的资金的时间价值。其总利息计算公式为：I=P-i-n(2-59)期末本利和计算公式为：F=P+Pin=P(1+in)(2-60)式中：In——总利息；P——本金额；n——计利期数；i——每个计利期的利率；Fnn期末的本利和。〔例2-3〕借款10000元，借期3年，年利率5%，按单利计息，第3年末应还本利共多少？解：根据公式(2-59)•「P=10000n=3i=5%\=P-i-n=10000X5%X3=1500(元)F3=P+I3=10000+1500=11500(元)答：第三年末应共还本利和11500元。单利的经济含义是，一笔投资投入生产后的全部生产机能时间内，每年以一定的效果系数为社会提供一定的经济效果。因此，当评价一个企业在某一段时间内为社会提供多少财富时可用单利计算，可以说单利法是从简单再生产的角度计算经济效果的。单利法虽然考虑资金的时间价值，但仅以本金为基数在整个资金占用期期末一次计算利息，对以前已经产生的利息并没有转入计息基数而累计利息，也即等于忽略了这笔资金的时间价值，没能完全反映出各期利息的时间价值，因此单利法计算资金的时间价值是不完善的。2.复利法复利法是用本金和前期累计利息总额之和为基数计算利息的方法。即除最初的本金要计算利息外，每一计息周期的利息都要并入本金，再生利息，俗称“利滚利”。复利计算的本利和公式为：F=P(1+i)n(2-61)式(2-61)的推导如下：计息周期n123:本利和FnF/P+P•i=P(1+i)F2=P(1+i)+P(1+i)•i=P(1+i)2F3=P(1+i)2+P(1+i)2•i=P(1+i)3:NFn=P(1+i)n-1+P(1+i)n—1•i=P(1+i)n按复利法本金在n期的资金占用期所产生的资金时间价值(总利息)为In=F-P=P(1+i)n-P(2-62)〔例2-4〕基础数据同上例，但按复利计息，问第3年末的本利和是多少？解：根据公式F=P(1+i)n得F=10000(1+5%)3=11576.25（元）答：第3年末的本利和为11576.25元。从例3、例4中可以看出，同一笔借款，在i和n相同的情况下，用复利计算出的利息金额比用单利计算出的大。本金愈大、利率愈高、期限愈长，两者差距就愈大。复利法由于考虑了利息的时间价值，即利息再生利息，比较符合资金在社会再生产过程中的实际情况，因此它是一种比较完善的计算方法。在技术经济分析中若不另加说明，均按复利法计算。我国基本建设投资借款以及国外资金借款都是按复利计算的。复利法有间断复利和连续复利两种。间断复利是按一定期限（如年、季、月、日）复利计息的方法，连续复利是按瞬时（即计息周期趋于无限短）复利计息的方法。从理论上讲，复利计算应该采用连续复利计息，因为资金实际上是在不停地运动着，每时每刻都通过生产过程增值，但是为了简化计算，在实际工作中是按照一定期限计息的。因此，除有特殊要求外，在技术经济分析中通常采用间断（普通）复利计息法计算利息。2.2.3计息周期小于一年的复利计算计息周期是计算利息的时间单位，付息周期是支付利息的时间单位。一般情况不加特别说明时，在技术经济分析中，通常是以年为计息周期，即所采用的利率是年利率。但在实际经济活动中，计息周期有年、季、月、周、日等多种形式。这样就出现了不同周期的利率换算问题。当计息周期与付息周期不相等时，就产生了名义利率与实际利率的区别。名义利率名义利率是计息周期利率与付息周期内的计息周期数的积。计算公式为：r=iXm（2-63）式中：r——名义利率（付息周期利率）；i——计息周期利率；m——付息周期内的计息周期数例如：月利率1%，每月计息一次，则年名义利率为12%，它等于计息周期利率1%乘以一年内的计息周期数12；同样季名义利率为3%，它等于计息周期利率1%乘以一季度内的计息周期数3。在这里，“月利率1%，每月计息一次”，也可以表示为“年利率为12%，每月计息一次”或“季利率3%，每月计息一次”，而此种表示法中的年利率12%与季利率3%均为名义利率。名义利率也称挂名利率，它只是一种习惯上的表示方法。人们通常习惯于将计息周期小于一年的利率仍用年利率的方式予以表达。例如，半年计算一次利息，利率4%，则表达为“年利率为8%，半年计息一次”。这里的年利率8%，就是名义利率。实际计算利息时不用名义利率，而用实际利率。实际利率实际利率是计算利息时实际采用的利率，也称有效利率。它是在对名义利率按付息周期内的计息周期长短等因素进行调整后计算所得的利率。是借款者在复利周期小于一年时，实际支付的利率值，是有效的利率。人们习惯上所称的实际利率为年实际利率。在技术经济分析中应采用年有效利率。设r表示年名义利率，i表示年实际利率(有效利率)，m表示一年中计息次数，计息周期的实际利率为r/m，根据复利计息公式，本金P在一年后的本利和F为：F=P(1+r/m)m-11年中得到的计息为：F—P=P1+r/m)m—P按利率定义可知:实际利率=|金P(1+r/m)m—P则年实际利率为：i=(1+r/m)m—1(2-64)当m=1时，即一年内计息周期数为1，一年计息一次时，名义利率等于实际利率；若m>1时，即计息周期短于一年，一年内的计息周期数大于1时，实际利率大于名义利率。当m—8时，即按连续复利计算时，年实际利率=lim[(1+i/m)m—1]ms=lim[(1+i/m)m/i]i—1ms=ei—1(2-65)若年利率为8%，按连续复利计算：年实际利率=eM8—1=1.08329-1=8.329%表2-3给出了当名义利率为8%时，对应于不同计算周期的年实际利率。表2-3年名义利率为8%不同计息周期情况下的年实际利率计息周期一年内计息周期数(m)各计息期利率(i/m)%一兀钱弟一年年末终值实际年利率(％)年18.0001.080008.000半年24.0001.081608.160季42.0001.082438.243月120.6661.083008.300周520.1541.083248.324日3650.0221.083288.328连续8—1.083298.3292.3资金等值计算2.3.1资金等值在资金时间价值的计算中，等值是一个十分重要的概念。由于资金具有时间价值，因此，等量资金所处的时点不同时，其价值一般不同；不同时点的不等量资金，其价值可能是相同的。资金等值是指在考虑时间因素的情况下，一笔资金与不同时点绝对值不等的另一笔或一系列资金，按某一利率换算至某一相同时点时，可能具有相等的价值。例如，现在的100元与一年以后的110元，绝对值不等，但如果年利率为10%，则两者是等值的。因为现在的100元，1年后的本利和应该是本金100元与利息100X10%=10元之和，即110元。同样1年后的110元等于现在的110/(1+10%)=100元。影响资金等值的因素有3个：资金额的大小，利率的大小，资金发生的时间。三个因素中任何一个因素变化都将导致等值的变化，如现在的100元与一年后的110元，只有在10%的情况下才等值，而其中利率是一个关键因素，一般等值计算中是以同一利率为依据的。2.3.2等值计算中的典型现金流利用等值概念，可以把某一时点的资金按一定利率换算为与之等值的另一时点或另一序列时点的资金，反之亦然。这个换算过程即为资金的等值计算。在技术经济分析中，为了考察投资项目的经济效果，必须对项目寿命期内不同时间发生的全部费用和全部收益进行计算和分析。在考虑资金时间价值的情况下，不同时间发生的收入或支出，其数值不能直接相加减，只能通过等值计算将它们换算到同一时点上，再进行分析。等值计算包括：单个现金流之间的计算；单个现金流与系列现金流之间的计算；系列现金流之间的计算。在等值计算中，有四种现金流是最基本最典型的。现在值P现在值属于现在一次支付(或收入)性质的金额，简称现值。另一方面，现在值也可以是未来某一时刻的货币资金按某种利率折算到现在的值。现金流如图2-9所示；01211n—2n—1n,P图2-9现在值P现金流量图2.将来值F这是指站在现在时刻来看，发生在未来某时刻一次支付(或收入)的货币资金，常简称为终值。现金流如图2-10所示：111101234n—1nF图2-10将来值F现金流量图等年值A等年值（等额年金）属于从现在时刻来看，以后分次等额支付（或收入）的货币资金，通常每期金额间隔周期为一年，故称“等年值”，也可称“年金”。等额年金包括期末年金、期初年金、延期年金等，常用的期末年金应当满足三个条件：（1）各期支付金额相等，即A；（2）支付期（n）中各期的间隔应相等（如一年）；（3）第一次支付在第一年末，以后每一次支付都在每一期末。其现金流如图2-11所示：0123…n—2n—1n图2-11等额年金现金流量图递增（递减）年值G它的特点是：在第一年末的现金流值的基础上，以后每年递增（或递减）一个数量G，G也称为“等差值”或“梯度”，第一年末的现金流值称为基础值。以递增年值为例，其现金流如图2-12所示：A+(n—1)G01234n—1n—2n图2-12递增年值G现金流量图我们实际上遇到的各种现金流，都可以理解成上述几种典型现金流的某种组合。在等值计算中，把将来某一时点或一系列时点的现金流量按给定的利率换算为现在时点的等值现金流称为“贴现”或“折现”，换算过程中所用的利率称为“贴现率”或“折现率”贴现后的现金流称为“现值”，而把现在时点或一系列时点的现金流按给定的利率计算所得的将来某时点的等值现金流称为“将来值”或“终值”。应当指出，现值常指计算期的期初即第一年初（第零年）的现金流。但现值又是一个相对的概念，一般地讲，凡是把第t+k个时点发生的现金流，贴现到第t个时点的等值现金流，就是第t+k个时点现金流贴现后在第t时点的现值。在等值计算中，若系

统的现金流，无论是流出还是流入，均在一个时点上一次全部发生，则称为“整付”或“一次支付”。相对于整付而言，某笔款项分别在几个时点上多次发生，则称为“分付”。分付可以是等额分付，也可以是不等额分付。连续等额分付中，等额分付值通常称“系列值”，如果是以年为计息期，即称为“等额年金”或“年值”。在连续不等额分付中，又有“等差分付”和“等比分付”。利用等值的概念，我们可以将现值（P）、将来值（F）、年值（A）、等差值（G）等进行相互变换。下面介绍的资金等值的复利计算公式就是利用等值的原理得出的。2.3.3普通复利公式资金等值计算公式和复利计算公式是相同的。根据资金的支付方式不同，可将等值计算公式分为四类，现将主要计算公式介绍如下。1.一次支付类型一次支付类型的现金流量图（如图2-13），涉及一次性发生的两笔现金流量，即现值与终值，我们约定现值发生在期初、终值发生的期末。对应的等值计算公式有一次支付终值公式和一次支付现值公式。现值公式。（1）一次支付终值公式（已知P求F）一次支付终值公式又称一次支付复利公式，与复利计算的本利和公式（2-61）是一样的，它是等值计算的基本公式，其他计算公式都可以从此派生出来。一次支付终值公式为：F=P（1+i）n=p（F/p,i,n）（2-66）此公式是，在折现率为i计息周期数为n的条件下，已知现值P求n期末的终值F的等值计算公式。系数（1+i）n称为一次支付终值系数，可用符号（F/P,i,n）表示。其中，斜线右边字母表示已知的数据与参数，左边表示欲求的等值现金流。该系数可由复利系数表查出。〔例2-5〕为对现有企业进行技术改造，向银行贷款100万元，年利率为5%，两年还清，借款期末应向银行偿还本利和共多少？解：画现金流量图，如图2-14。

i=5%P=100万元|

012i=5%F=?图2-14〔例25)现金流量图两年后归还银行的本利和应与现在的借款金额等值，折现率就是银行利率。由式(2-66)可得出：F=P(1+i)n=ioo(i+5%)2=110.25(万元)也可以查复利系数表(见本书附录)，当折现率为5%时，n=2的一次支付终值系数(F/E5%,2)为1.1025，故F=P(F/P,i,n)=100(F/P,5%,2)=100X1.1025=110.25(万元)答：两年末应向银行偿还本利和110.25万元。一次支付现值公式(已知F求P)这是已知终值F求现值P的等值计算公式，是一次支付终值公式的逆运算式。由式(2-66)可直接导出：P=77马=P(P/F,i,n)(2-67)(1+i)n1式中^■「称为一次支付现值系数，或称贴现系数，可用符号(P/F,i,n)表示，(1+i)n可理解为已知F、i、n求现值P，可查复利系数表求得。它和一次支付终值系数(1+i)n互为倒数。〔例2-6〕某公司对报酬率为10%的项目进行投资，为在5年后获得1000万元，现在应投资多少?解：画现金流量图，如图2-15。+F=1000万元012345i=10%，，P=?图2-15〔例26)现金流量图由公式(2-67)得八1000P==620.9(万元)(1+10%)5也可查表计算P=F(P/F,i,n)=1000(P/F,10%,5)=1000X0.6209=620.9(万元)答：现在应投资620.9万元。2.等额分付类型对于等额分付类型，我们有如下约定：等额支付值A连续地发生在每期期末；现值P是发生在第一期的期初，即与第一个A相差一期；未来值F与最后一个A同时发生。等额支付且连续发生的现金流，我们称之为等额系列现金流。下面介绍等额系列现金流的四个等值计算公式。等额分付终值公式(已知A求F)等额分付终值公式也称为年金终值公式，该公式按利率i复利计息，计算与n期内等额系列现金流A等值的第n期末的本利和F。也就是已知A,i,n，求F。其现金流量图如图2-16：依据图2-16，可把等额序列视为n个一次支付的组合，利用一次支付终值公式可推导出等额分付终值公式：F=A+A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-2+A(1+i)n-1=A[1+(1+i)+(1+i)2+…+(1+i)n-2+(1+i)n-1]“F=?01234…n-2n-1n图2-16等额分付终值现金流量图利用等比级数求和公式S="1—q”)得n1-q(1+i)n-1,F=&一)一]=A(F/A,i,n)(2-68)式中i(1+i)n-1-一;一称为等额分付终值系数或年金终值系数，记为(F/Ai,n)，可理解为已知A、i、n，求F。i其系数值可从复利系数表中查得。〔例2-7〕某项目寿命期5年，每年净收入1000万元，年利率8%，该项目到五年末寿命期满时净收入多少？解：画现金流量图，如图2-17。A=1000万元|4|…：012345i=8%F=?图2-17〔例2-7)现金流量图由公式(2-68)得

F=1000(1F=1000(1+8%)5-18%=5867(万元)或查表计算F=A（F/A,i,n）=1000（F/A,8%,5）=1000X5.867=5867（万元）答：该项目到五年末寿命期满时净收入为5867万元。（2）等额分付偿债基金公式（已知F求A）等额分付偿债基金公式又称等额分付积累基金公式。也就是为了在未来偿还一笔债务，或为未来积累某笔基金，在利率为i的情况下，预先每年应存储多少资金。即已知F、i、n,求A。其现金流量如图2-18：图2-18等额分付偿债基金现金流量图等额分付偿债基金公式是等额分付终值公式的逆运算式。因此可由公式（2-68）直接导出：A=F-—；-=F（A/F,i,n）（2-69）_（1+i）n-1_,_„1一…j人一,一式中系数一称为等额分付偿债基金系数，又称积累基金因子，也可用符号（A/F,i,n）（1+i）n-1表示，其系数值可从复利系数表中查得。利用式（2-68）和式（2-69）进行等值计算时，必须注意的一点是，这两个公式分别适用于图2-16和图2-18所示的现金流量图。若年值A均发生在各期期初，F仍发生在第n期末，则不能直接套用式（2-68）和（2-69），必须进行一定的变换。〔例2-8〕某企业计划自筹资金于5年后新建一个生产车间，预计需要投资2000万元。若年利率为8%，在复利计息条件下，从现在起每年末应等额存入银行多少钱？解：画现金流量图，如图2-19。F=2000万元012345RI"A=?i=8%图2-19〔例2-8〕现金流量图由公式（2-69）得A=A=2000x8%(1+8%)5-1=2000X0.1705=341(万元)或查表计算A=F(A/F,i,n)=2000(A/F,8%,5)=2000X0.1705=341(万元)答：每年末应存入银行341万元。〔例2-9〕某学生在大学四年学习期间，每年年初从银行借款4000元用以支付学费，若按年利率6%计复利，到第四年末累积欠款多少元?解；画现金流量图，如图2-20。A=4000元1J:Wj012341=?i=6%图2-20〔例2-9〕现金流量图额。本例不能直接套用式(2-68)，由于每年的借款发生在年初，需要先将其折算成年末的等价金n+i)[(1^^-

I额。=4000x(1+6%)x(1+6%)4T=4000X1.06X4.375=18550(元)或查表计算F=A(F/P,i,n)(F/A,i,n)=4000(F/P,6%,1)(F/A,6%,4)=18550(元)答：到第四年末累积欠款18550元。等额分付现值公式(已知A求P)如果在收益率为i的情况下，希望在今后几年内，每年末能取得等额的存款或收益A，现在必须投入多少资金？即已知A，i，n，求P。其现金流量图如图2-21：A123…n—1nP=?图2-21等额分付现值现金流量图厂，(1+i)n-1由等额分付终值公式(2-68)F=A一七——和一次支付终值公式(2-66)F=P(1+i)ni可得：户(1+i)n=A[(1+g「LiJ移项得：-(1+i)n-「P=A(,).、=A(P/A,i,n)(2-70)i(1+i)n(1+i)n—1式中口称为等额分付现值系数，也可用符号(P/A,i,n)表示，其系数值可从复利系数i(1+i)n表中查得。〔例2-10〕购买某项专利技术，预计每年平均可获利200万元，在年利率6%的情况下，5年后要求连本带利全部回收投资，问期初购买专利一次性投入的资金应不超过多少钱才合算？解：画现金流量图，如图2-22。-fj#,A=200万元12345i=6%P=？图2-22〔例2-10〕现金流量图_/(1+i)n-「由公式(2-70)p=A得i(1+l)nP=200x(1+6%)5-P=200x(1+6%)5-16%(1+6%)5=842.47(万元)或查表计算P=A(P/A,i,n)=200(P/A,6%,5)=200X4.212=842.4(万元)答：购买专利的金额不能超过842.4万元才合算。等额分付资本回收公式(已知P求A)该公式是指，如果现在投资P元，按复利计算，希望分n期期末等额回收，那么每次应回收多少，才能连本带利全部回收？即已知P、i、n，求A。其现金流量图如图2-23：A=?图2-23图2-23等额分付资本回收现金流量图等额分付资本回收公式是等额分付现值公式的逆运算式，由式(2-70)可直接导出:A—p'(1+))—P(A/pir)/n71\A—P(i+')n-1-P(A/P'n)(2-71)i(1+i)n式中】称为等额分付资本回收系数，可用符号(A/P,i,n)表示，其系(1+I)n—1数值可从复利系数表中查得。这是一个重要的系数，对工业项目进行技术经济分析时，它表示在考虑资金时间价值的条件下，对应于工业项目的单位投资，在项目寿命期内每年至少应该回收的金额。如果对应于单位投资的实际回收金额小于这个值，在项目的寿命期内就不可能将全部投资收回。资本回收系数与偿债基金系数之间存在如下关系：（A/P，i，n）=（A/F，i，n）+i〔例2-11〕某房地产公司贷款1000万元开发房地产，银行要求4年内等额收回全部贷款，若贷款利率为8%，那么该房地产公司平均每年的净收益至少应该有多少万元才能还清贷款？解：画现金流量图，如图2-24。由公式（6-71）A—Pi（1+i）n（1+i）n—1,ec8%(1+8%)4一A—1000乂(1+8%)4—1=1000X0-3019=301'9(万元)A=?i=8%由公式（6-71）A—PA=?i=8%P=1000万元图2-24〔例2-11〕现金流量图或查表计算A=P（A/P，i，n）=1000（A/P，8%，4）=1000X0.3019=301.9（万元）答：该房地产公司每年的净收益至少应有301.9万元才够还贷。3.等差序列类型在实际工作中，资金的支付每期经常是不等的，常见的有逐期递增（递减）序列现金流。在不考虑第一年末的现金流值的基础上，等差序列现金流量如图2-25。我们称其为标准等差序列现金流。0123…n-2n-1n(n-1)G图2-25等差序列现金流

等差支付序列公式常用的有三种类型。(1)等差序列终值公式(已知G求F)由一次支付终值公式得F=G(1+i)n-2+2G(1+i)n-3+3G(1+i)n-4+...+(n—2)G(1+i)n-(n-1)+(n—1)G①式乘(1+i)得F(1+i)=G(1+i)n-1+2G(1+i)n-2+3G(1+i)n-3+…+(n—2)G(1+i)2+(n—1)G(1+i)②一①得Fi=G[(1+i)n-1Fi=G[(1+i)n-1+(1+i)n-2+(1+i)n-3+…+(1+i)2+(1+i)+1]—nG-nG1-(1+i)n1—(1+i)(1+i)n-1=G-.一nTOC\o"1-5"\h\zL1」\o"CurrentDocument"厂Gr(1+i)n-1一-nG所以F=..—n=G(F/G,i,n)(2-72)式ili1r(1+i)n—1一中二-—7——n称等差支付序列终值系数，可用符号(F/G,i,n)表示，系数值可从等差序列复ii利系数表中查得。(2)等差序列现值公式(已知G求P)由等差序列终值公式和一次支付现值公式得：P=G(F/G,i,n)(P/F,i,n)1(1+i)n—11=G■_—nii(1+i)n1+in(1+i)n_=G(P/G,i,n)(2-73)1一1+in式中普1—称等差序列现值系数，可用符号(P/G,i,n)表示，系数值可从等差序列复利系数表中查得。等差序列年值公式由等差序列终值公式和等额支付序列偿债基金公式得等差序列年值公式为:

A=G•(F/G,i,n)(A/F,i,n)G「(1+i)〃-1]1=—ni\_i_|(1+i)n-1G-in=—1—i\(1+i)n—1_=G(A/G,i,n)(2-74)1「-in一一式中.1-<1称等差序列年值系数，可用符号(A/G,i,n)表示，系数值可从等差序列i(1+i)n—1复利系数表中查得。应当指出，在实际工作中，既有递增型等差支付序列，又有递减型等差支付序列，其分析处理方法基本相同。此外，在实际工作中，常常遇到年支付额不是严格的等差序列，但可采用等差支付的方法近似地分析的问题。运用等差序列公式进行计算时，应注意，各公式所表示的等差序列都是没考虑第一年末基础付款额的标准等差现金流，所表示的等差值G是从第二年末开始的，而依公式（2-73）计算的现值位于第零年末，因此，定差序列现金流所计算的现值永远位于等差开始的前两年。而依公式（2-74）计算的是标准的等额序列现金流，因此，第一个A发生的时间永远在第一个G的前一年。〔例2-12〕某企业在商场租了一间铺面展销该厂产品，租期5年，每年耗费的店租成等差序列，第一年铺租为1万元，以后每年在此基础上递增3000元，设各年的铺租都发生在年末，如果利率为10%，求5年中平均每年要提取多少资金支付铺租？解：画现金流量图，如图2-26。本题等差序列现金流含基础付款额，如图（a）所示，它可以分解为二部分，一部分为基础付款额现金流，其数值为10000元，如图（b）所示，另一部分为标准等差序列现金流，等差值为3000元，如图（c）所示。根据公式（2-74）可得：A=A1+AG=10000+300010%10%X5A=A1+AG=10000+300010%10%X5(1+10%)5—1=15430(元)答：平均每年应提取1.543万元支付铺租。

A=10000051[J」r_j巳jf100000.Ag=?(b)3000-46000-J9000■”/、12000(c)图2-26〔例2-12〕现金流量图0.Ag=?4.等比序列现金流的等值计算有些技术经济问题，其收支常呈现为以某一固定百分比h,逐期递增或递减的情形。此时，现金流量就表现为等比序列，也叫几何序列，其现金流量图如图2-27所示。等比序列现金流的通用公式为：At=Aj(1+h)t—1t=1,2,…,n(2-75)式中：A1——定值，h——等比系数。因此，等比序列现金流的现值为：P=EA(1+h)一1(1+i)t1t=1=A男(1+h)t1+ht11+i图2-27图2-27递增等比序列现金流利用等比级数求和公式可得:(i丰h)(2-76)(i=h)1—(1+h)n(1+i)-nAii—hpTlinA1〔1+i(i丰h)(2-76)(i=h)应当指出，通过适当的变换，还可以把等比序列现值公式换算为与其等值的终值公式、等额分付年值公式。〔例2-13〕若租用某仓库，目前年租金为23000元，预计租金水平今后10年内每年将上涨5%，若将该仓库买下来，需一次支付20万元，但十年后估计仍可以20万元的价格售出。按折现率15%计算，是租合算，还是买合算？解：若租用该仓库，10年内全部租金的现值为：=137993(元)P=230001—(1+5%)10(1+15%)—10115%—5%=137993(元)若购买该仓库，全部费用的现值为:P2=200000—200000(1+15%)-10=150563(元)答：租用该仓库费用更少，租合算。为了便于理解，将以上介绍的10个公式汇总于表2-4表2-4普通复利公式汇总表类别已知求公式系数系数代号次十/终值现值P终值FF=P(1+i)n(1+i)n(F/3i,n)次支付现值终值F现值P=[1+i)—n(1+i)-n(P/F,i,n)终值年值A终值犀=A-(1+i)n—1(1+i)n—1(F/A,i,n)ii偿债基金终值F年值A=F-ii(A/F,i,n)(1+i)n—1(1+i)n—1等额分付现值年值A现值TP=A-(1+i)n—1(1+i)n—1(P/A,i,n)i(1+i)ni(1+i)n资本回收现值P年值A=P-i(1+i)ni(1+i)n(A/P,i,n)(1+i)n—1(1+i)n—1终值等差G_G现值界=—i_(1+i)n—1一—n1「(1+i)n—1_(F/G,i,n)Li'"」..—niLi」等差分付现值等差GDG现值用=一i11+in111+in(P/G,i,n)ii(1+i)niLii(1+i)n_年值AG年值成=一i,in1—(1+i)n—11,in(A/G,i,n)等差Gi「—(1+i)n—1」

由普通复利的基本公式不难看出，一次支付（整付）类型、等额分付类型和等差分付类型公式的各种系数或换算因子都只与i和n有关，因此当i和n趋向某一极值时，各换算因子也将趋于某种极值，如表2-5所示。而当n趋于无穷时，相当于连续计利的情形，当i趋于零时，相当于不考虑资金时间价值的情形。表2-5换算因子极值换算因子极值(n—8)极值(i—0)极值(i—8)(F/Ei,n)818(P/F,i,n)010(F/A,i,n)8n8(A/F,i,n)01/n0(P/A,i,n)1/in0(A/P,i,n)I1/n8(F/G,i,n)8n2—n8(P/G,i,n)1/i2n2—n0(A/G,i,n)1/in—10等比分闽直年1A1

等比h现值弱方1—(1+h)〃(1+A4—i—h—等比分闽直年1A1

等比h现值弱方1—(1+h)〃(1+A4—i—h—A侦1+沪1i1(i。h)(i=h)1-(1+h)«(1+i)-n(i。h)i-h1+i)—1(i=h)(P/A,i,h,n)n(复利计算的九个基本公式都是由三个已知量，求第四个未知量。在介绍复利计算基本公式时，我们假设利率i及期数n为已知量，主要研究A、P、F、G之间的换算关系。在技术经济分析中，有时A、P、F、G已知，而需要计算i或n值。我们可以运用复利计算基本公式，采用两种方法求i或n值，即公式法和内插法。1.期数n与利率i的计算公式（1）期数n的计算式当需要计算未知量偿还年限n时，可以根据情况，选用普通复利公式中的一个公式，推导出n的计算式。例如当投资总额P，年资金回收额A，报酬率i为已知时，求投资回收期n，由式（2-69）可推导出下列公式：

P=A[(1+i)n-1]

i(1+i)nP-i(1+i)n-]1==1—AP=A[(1+i)n-1]

i(1+i)nP-i(1+i)n-]1==1—A(1+i)n(1+i)n11P-iA—P-i=1—=(1+i)nAA(1+i)n=nlg(1+i)=lgA—1gA—P-i)lgA—lgA—P-i)Igt+i)(i莉)(2-77)式（2-77）为考虑资金的时间价值的投资回收期计算公式。〔例2-14〕今年初借款100万元，每年末还12万元，年利率为9%,多少年可以还清?解：n=堕A虫A—P*)

lg(1+i)lg12—lg(12—100x0.09)lg(1+0.09)=16.086(年)^16(年)答：约16年可以还清。（2）利率i的计算式由公式（2-61）F=P(1+i)n(2-78)〔例2-15〕某人于今年初存入1000元，六年末得到1400元，银行的年利率是多少?F解：‘=npti=6'旦00—1=0.05768=5.77%61000答：银行的年利率约为5.77%。

计算期数n与利率i的内插法期数n和利率i的值，我们可以选用适当的复利计算公式，利用系数因子直接查复利系数表，然后用线性内插法进行近似计算。下面通过例题说明计算方法。（1）计算未知年数〔例2-16〕若年利率为5%，为使现在存入的1000元变成两倍，需时若干（见图2-28）？10002000Ii=10%012345…n-1n=?图2-28〔例2-16〕现金流量图解：,/P=F(P/F,i,n)1000=2000(P/F,5%,n)(P/F,5%,n)=0.500由5%的复利表，P/F列中查得，0.500介于14年与15年之间，用内插法计算:n=14时，(P/F,5%,14)=0.5051n=15时，(P/F,5%,15)=0.4810n=14+x(15-14)=14.21(年)05051-0.50.5051—0.4810n=14+x(15-14)=14.21(年)答：14.21年后，1000元可变成2000元。图2-29图2-29〔例2-16〕内插法几何图形示意图（2）计算未知利率〔例2-17〕某项目投资3000万元，五年后可回收5000万元，该项投资的报酬率为若干?(P/F,i,5)+图2-30〔例2-17〕内插法几何图形示意图